Асимметричные фигуры – Презентация по геометрии по теме «Предметы, фигуры симметричные относительно оси».

самая несовершенная, но истинная красота

Вы заметили, что левый глаз выше правого глаза? Или наоборот? На самом деле, в этом нет ничего странного и эта асимметрия, которая в большинстве случаев заметна только для вас, совершенно нормальна для каждого человека. Тем не менее, некоторые ученые смело утверждают, что чем более симметричны две половины тела, тем здоровее и умнее мы должны быть. Во всех культурах с древних времен симметрия, являющаяся выражением гармонии, является синонимом красоты.

Пока еще не доказано, что врожденная асимметрия полностью закладывается в нас пока мы находимся в утробе матери. Однако известно, что человеческий эмбрион абсолютно симметричен до момента образования сердца. Затем идет линия диспропорции.

Тело человека можно разделить на две половины – два симметричных полушария головного мозга, два глаза, две ноздри, две руки, две ноги и т.д., которые, хотя, казалось бы, быть зеркало, глядят на друг на друга, но мы находим некоторые различия. У нас есть два легких и левое разделено на три части, в то время как правое имеет два. Наше сердце – еще одна вещь, которая она не расположена симметрично в груди. В других внутренних органах также много различий. Два полушария также появляется симметричными на первый взгляд, но на самом деле отдельные части имеют различный размер и разную функцию. Другим интересным фактом является движение мышц, потому что тела являются несоразмерными.

Асимметрия в цифрах

Данные в цифрах следующие: у более чем 88% людей правая рука лучше развита. Правая нога длиннее у 81%, а около 72% из нас лучше видят на правый глаз. Более чем 60% слышат лучше на правое ухо.

Асимметрия лица

асимметрияасимметрияасимметрия

Что касается лиц, здесь мы можем много говорить об асимметрии. Современная психология утверждает, что симметрия в чертах лица является одним из основных критериев, по которым мы определяем человека как непривлекательного или очень привлекательного. Вы наверное слышали об одном из самых распространенных требований известных моделей, певцов и артистов – снимать только с левой или правой стороны. И это совершенно понятно, на фотографическом языке – у всех есть их более фотогеничная половина.

Джон Бэк – эксперимент с асимметрией

джон бек асимметрияджон бек асимметрияДжон Бек асимметрияДжон Бек асимметрияДжон Бек асимметрияДжон Бек асимметрия

Существует очень интересный эксперимент фотографа Алекса Джона Бэка, который представляет несколько человеческих лиц с идеальной симметрией двух половинок лица посредством фотосъемки. Бек делает это, когда лицо человека состоит только из левой половины и ее зеркального отображения, а в другом только правой и ее копии. Результаты потрясающие – часто два изображения настолько отличаются, что вы даже можете задаться вопросом, являются ли фотографии изображения одного и того же человека. Отсюда можем с уверенностью заключить, что асимметрия лиц – это набор огромного количества черт, которые составляют общий образ, который можно назвать намного более приятным, чем тот, который сделан отдельно из левой или правой половины.

Асимметрия не является пороком. Это то, чем каждый обладает в большей или меньшей степени. Асимметрия повсюду вокруг нас, и мы должны рассматривать ее как естественное положение деталей. Роза, вероятно, самый асимметричный цветок. Вот почему красота и симметрия не всегда являются синонимами. Самое главное помнить, что красота заключается в ощущении себя, в уверенности, в общем восприятии. Асимметричное лицо привлекает внимание, есть небольшая разница, которая делает его уникальным.

 

асимметрия это что такое асимметрия: определение — Философия.НЭС

Асимметрия

отсутствие симметрии. Асимметричная фигура не имеет никаких элементов симметрии, т. е. не может совмещаться с собой никакими операции симметрии, кроме единичной операции — формальной операции оставления фигуры на месте. Примером асимметричных фигур может служить рука человека. Всякая асимметричная фигура может быть построена в двух модификациях — правой и левой, при этом нет никакого абсолютного критерия для отличия правизны от левизны, значение играет принятая условность.

Оцените определение:

Источник: Начала современного естествознания: тезаурус

АСИММЕТРИЯ

греч. а—отрицательная частица и — соразмерность) — отсутствие элементов симметрии в природных или теоретических объектах. Понятие асимметрии соотносительно с понятием симметрии. Если фигура не имеет ни одного элемента симметрии, то она называется асимметричной. Явление асимметрии рассматривается как полное нарушение симметрии — отсутствие всех известных элементов симметрии. Асимметрию следует отличать от диссимметрии, которая понимается как пониженная симметрия, отсутствие лишь некоторых ее элементов. Но даже полное отсутствие всех известных элементов симметрии в предмете не означает невозможности найти такие преобразования, в которых обнаружится особый, неизвестный ранее тип симметрии. К примеру, все асимметричные фигуры могут быть отображены в зеркале. Такое зеркально равное изображение называют энантиоморфным, а соответствующее явление — энантиоморфизмом. Одну из зеркально равных фигур (произвольно выбранную) называют правой, а другую—левой. Если фигура недиссимметрична, то ее зеркальное отображение ничем не отличается от оригинала. Понятие асимметрии необходимо также отличать от понятия антисимметрии. Фигуры или вообще любые объекты можно различать не только по знаку правизны или левизны, но и по некоторым другим признакам, имеющим противоположное значение. Напр., в физике частиц наряду с положительно заряженными протонами (+р) существуют соответствующие им античастицы—антипротоны (—отрицательно заряженные/частицы; нейтронам противостоят антинейтроны, противоположность которых нейтронам определяется их поведением и может описываться своеобразным отрицательным зарядом. В физике частиц формулируется принцип зарядового сопряжения (каждой частице соответствует своя античастица), выступающий как своеобразный принцип антисимметрии.

Овчинников

Оцените определение:

Источник: Новая философская энциклопедия

асимметрия

АСИММЕТРИЯ (от лат. asymmetria — несоразмерность) — характеристика системы, изменяющей свое исходное состояние (положение) в зависимости от пространственного переноса, поворота; а также систем, в которых проводится различение правого и левого. В асимметричной системе одна сторона может функционально доминировать по отношению к другой; такую систему называют еще киральной или хиральной (от греч. ) ( e i p — ручной, т. е. отличающий правое от левого и путающий их).         Первые утверждения, что в мире есть «правое и левое», исходили от пифагорейцев. Аристотель в трактате «О Небе» (кн. 2, гл. 2) связал правую и левую стороны — наряду с «верхом и низом», «передом и тылом» — с темой возвращения Вселенной к исходному равновесию и гармонии. Это разделение в полной мере присуще только Универсуму, а также тем вещам, которые «содержат причину в самих себе». За основу Аристотель взял движение звезд, или «вращение Неба». Так, если «правильно» сориентироваться между «верхней» и «нижней» частями Вселенной, то правой будет сторона, где восходят звезды, а левой — где звезды заходят. Движение звезд, по Аристотелю, представляется восстановлением нарушенного равновесия Космоса, поэтому левая сторона имеет «более высокое достоинство», чем правая, так как указывает направление движения к некоторой фиксированной точке — «естественному месту» во Вселенной. Однако отдельные вещи, находящиеся в окружении человека, не имеют внутреннего, присущего звездам различения сторон. В этом случае правое и левое устанавливаются путем соотнесения с представлениями людей.         И. Кант анализировал А. на примере невозможности взаимного замещения двух «вполне одинаковых» предметов, напр., правой руки и ее зеркального отображения, которое представляется как левая рука («Пролегомены...». §13). По Канту, мы не можем осуществить какое-то внутреннее различение этих не замещаемых друг другом одинаковых предметов, так как истинный коррелят в вещах самих по себе не может быть познан. Поэтому А. рассматривается им как явление, возможность которого вытекает из соединения априорных форм чувственности с непосредственным созерцанием. Таким образом, в аристотелевской телеологии А. представляется онтологически

Асимметрия в создании одежды | Журнал Ярмарки Мастеров

Асимметрия очень популярна в женской одежде, особенно в платьях. Идеальный инструмент для девушек педпочитающих оригинальность. Нельзя недооценивать и функциональность асимметрии, ведь именно с её помощью легко одновременно и скрыть недостатки и акцентировать внимание на достоинствах фигуры

Вариантов асимметрии безграничное множество. Поэтому почти каждая девушка поэкспериментируя, может подобрать именно свой. Конечно нужно быть очень внимательным и здраво оценивать композицию в целом, чтобы не переборщить и не перегрузить образ.

Наиболее распоостронённый вид асимметрии - это изделие на одно плечо, либо с одним рукавом

Асимметрия в создании одежды, фото № 1

Асимметрия в создании одежды, фото № 2

Он, безусловно, сделает Ваш образ привлекательным и изящным. Но не следует забывать, что использовать его лучше для создания вечерних, коктейльных и пляжных нарядов.

Ещё один, не менее популярный вид асимметрии - это неровная длина низа.Здесь нам предлагают тоже большое многообразие вариантов: от мини до макси. Самый эфектный - это сочетание мини с длинным шлейфом сзади или сбоку. Идеальный варинт для девушек, которые хотят показать стройность своих ног, но не казаться при этом вульгарной.

Шлейф - один из самых популярных элементов данного вида асимметрии. Идеальная деталь для создания вечерних нарядов.

Асимметрия в создании одежды, фото № 3

Ещё одна модная тенденция этого сезона - это асимметричный низ в прямом изделии. Суть заключается в том, что задняя часть заметно длиннее передней. Широко используется в блузах - рубашках, платьях - рубашках и трикотажных изделиях.

Асимметрия в создании одежды, фото № 4

А вот асиммерию в вырезе горловины, я бы посоветовала подбирать с особой тщательностью, дабы не сделать не нужный акцент на недостатках фигуры. Плюс избежать дискомфорта в носке. Всё таки асимметричный крой горловины усложняет посадку на фигуре. А вот асимметричный воротник, в ровной горловине, вполне может являться элементом деловой одежды.

Асимметрия в создании одежды, фото № 5

Асимметрию в одежде можно передать не только кроем, но и расцветкой изделия.

Асимметрия в создании одежды, фото № 6

Совет: асимметричное платье само по себе уже является главным акцентом в вашем образе. Поэтому подбирать к нему украшения будет излишне. Максимум, что можно себе позволить это кольцо или браслет к варианту на одно плечо. К изделию с корсетом можно подобрать красивые серьги, либо небольшую цепочку на шею, но что-то одно.

Лично я являюсь большим поклонником асимметрии и очень часто использую ее в своих коллекциях. Все модели , используемые в статье вы можете приобрести в нашем магазине www.livemaster.ru%2Fsteffox&cc_key=" target="_blank">https://www.livemaster.ru/steffox -

АСИММЕТРИЯ ИНДИВИДУАЛЬНОСТЬ! выглядите! Я смотрю, насколько вы недооценили себя!

Все в природе стремится в гармонии! И принято считать, что именно СИММЕТРИЯ красива!

!!!НО!!! последние годы творения дизайнеров говорят об обратном!

Асимметричные модели одежды не просто красивы, они еще помогают выразить индивидуальность их носителя!

Ведь надевая одежду, в которой нарушена симметричность, вы можете проявить протест,  смелость, равнодушие принятому мению, юмор, бесшабашность, даже сумасшедший темперамент или наоборот показать свою закрытость, стремление к покою и отдыху или всему новому, создавать визуальные иллюзии, добиваясь интересных эффектов.

 

Асимметрия в одежде выполняется кроем или цветом,

а также необычным или непривычным размещением деталей и пропорций.

 

Рассмотрим варианты создания асимметрии и то, как они могут помочь вам улучшить свой внешний вид.

 

1) Асимметрия всегда привлекает внимание

 

 

2) Требует смелости, уверенности в себе и адекватной оценки своего внешнего вида

Если в вас этого нет, то она поможет их в себе развить.

 

 

 

3) Помогает скорректировать фигуру

Например, вытянуть силуэт, сузить его, сделать длиннее ноги, и т.д

 

 

 

4) Помогает создать эффект бесконечно длинных ног

Конечно речь идет о боковых разрезах на юбках.

 

 

 

5) Помогает провести коррекцию лица и формы головы

Первое -это прическа.

Если вы являетсесь представителем экстравагантного вектора стиля, то асимметричные стрижки и прически могут стать вашей эффектной изюминкой!

Второе -это головные уборы (надетые набок или необычных форм).

 

 

 

6) Помогают привлечь внимание к определенным частям вашей фигуры

!!!не обнажая всю часть тела!!!

Например, это прекрасно работает с модным трендом ОТКРЫТЫЕ ПЛЕЧИ...точнее ОДНО открытое плечо! ИЛИ несимметричные вырезы/разрезы.

Вам выбирать, где может быть вырез или разрез на топе...

 

 

 

7) Асимметрия - это ДИНАМИКА

Асимметрия на любях материалах создает динамику в образе. Это прекрасно видно на летящих юбках.

В тонких струящихся тканях короткая спереди и длинная сзади юбка создает чудесный летящий эффект, а значит такой же легкий женственный образ.

На более плотных тканях дает более стабильный и сильный вектор движения. 

 

 

 

8) Асимметрия смотрит из настоящего В БУДУЩЕЕ

Асимметрия очень часто применяется в одежде авангардного, фантазийном стилях.

Наверное, так и будет выглядеть одежда будущего.

 

 

 

9) Помогает создать расслабленный или элегантный вид

Все дело в материале одежды. Чем мягче материал и больше его эластичность, тем более расслабленный вид созадется

Особенно эта разница видна в трикотаже и лаконичной монохромной одежде в стиле минимализма (в этом стиле именно крой является основной).

 

 

 

10) РОСКОШНА в вечерних нарядах

Именно в образах на вечер (особенно в длине МАКСИ) асимметрия наиболее элеганта и красива

Предлагаем вам полюбоваться и присмотреть для себя что-нибудь из самых интересных нарядов сезон весна-лето 2017.

А 2018 год вообще пройдет под ЗНАКОМ АСИММЕТРИИ!

Поэтому уже сейчас присматривайте лдя себя подходящие варианты!

Это преркасная инвестиция в модный гардероб 2018!

 

 

11) Асимметрия - способ проявления ИНДИВИДУАЛЬНОСТИ

Вот несколько интересных модных фишек:

- одна длинная серьга, или две разные (смелый, сексуальный и игривый образ)

 

 

- носочки и даже туфли разного цвета и фасона в одном образе (игриво и кокетливо!)

 

 

 

 

Конечно, это не все, что можно было рассказать про асимметрнию в гардеробе.

Но тем интереснее. Асимметрия -это прекрасный способ для вас поэкспериментировать с новым гардеробом!

 

 

Если возникнут трудности, не стесняйтесь обращаться за помощью к профессионалам.

Это поможет вам сэкономить время, деньги и нервы при выборе наряда!

Вы можете получить личную консультацию Елены Штогриной 

или пройти обучение в Школе Персонального Имиджа  по любой интересующей вас тематике:

-деловой имидж

-персональный стиль,

-идеальный силуэт, 

-лучшие цвета, 

-сексуальный имидж и т.д.)!

Подробно о курсах и продуктах Школы вы можете узнать в разделе интернет-магазин и Обучение

 

 

Будьте красивыми и интересными всегда!

Ваша, Школа Персонального Имиджа.

 

Выкройка на асимметричную фигуру | Школа шитья ARMALINI

05 06 2018      Лина Фролова       19 комментариев

Согласны мы с этим или нет, но асимметрия в фигуре есть у большинства людей.

Не будем сейчас углубляться в медицинские причины этого (проблемы с позвоночником и т.д.), но что есть, то есть. Асимметрия в фигуре — явление не редкое. У 95% людей.

Даже известные модели на подиумах (стройные и длинноногие) нередко тоже имеют асимметричные фигуры.

Выкройка на асимметричную фигуру

Разница лишь в том, что у кого-то она очень слабовыраженная, а у кого-то довольно заметная. У любого человека, который придёт заказывать пошив одежды, это может наблюдаться.

Как правило, в жизни, когда человек находится в одежде и в движении, мы не замечаем асимметрии. Никому и в голову не придёт, стоять и присматриваться асимметричная фигура или нет. Но когда дело касается пошива одежды и хорошей посадки изделия на фигуре — это уже другая история. И когда человек стоит ровно перед зеркалом в нательном белье, то фигура в статике обнаруживает много «интересностей».

Посмотрите, как это проявляется потом в изделии. Перед нами брючки в клетку, которые отлично обнаруживают асимметрию на девушке-модели. Разновысокость бёдер создает перекос ткани и клетка в области бёдер уже ложится неровно.

Выкройка на асимметричную фигуру

Выкройка на асимметричную фигуру

Какие фигуры можно считать со слабой асимметрией, а какие с большой асимметрией?

Обычно асимметрия наблюдается на боках. Именно разная выпуклость (а иногда и высота) боков доставляет самые большие затруднения в посадке изделия на фигуре. Очень-очень редко (в единичных случаях) может быть асимметрия на ягодицах или животе (разная высота выступающих точек). В большинстве случаев это всё-таки бока.

Когда мы с вами выполняем измерения на фигуре, снимаем мерки, то выпуклость бёдер мы измеряем с вами в Армалини-крое при помощи угловых линеек. Такими угловыми линейками пользуются как минимум в пяти известных мне методах кроя. Это очень удобно, так как позволяет учитывать все особенности контура фигуры и её выступающих частей.

Так вот. Когда мы измеряем глубину и высоту бёдер, то если вы наблюдаете асимметрию в фигуре, сто́ит измерить глубину и высоту правого и левого боков. Сравнить эти значения.

Если глубина правого и левого бедра отличается, то насколько. Можно игнорировать небольшие расхождения до 2см. В этом случае фигуру можно считать условно симметричной и строить на неё выкройку, ориентируясь на значение чуть более выступающего бока.

После примерки скорее всего ничего не придётся менять на изделии для такой фигуры. Либо придётся немного больше поработать утюгом и выполнить сутюжку.

А вот с большой асимметрией (более двух сантиметров) нужно быть поосторожнее.

На мягких тканях, хорошо поддающихся сутюжке и оттяжке, небольшие дефекты посадки можно легко нивелировать этими приёмами влажно-тепловой обработки. А вот на сухих тканях (хлопок, плотные костюмки, джинса и прочие) разновысокость бёдер может доставить массу хлопот. Может появиться масса дефектов посадки, которые усложнят вам работу и придётся увеличить количество примерок, чтобы довести изделие до хорошего внешнего вида и хорошей посадки на фигуре.

Что делать с фигурами, у которых ярко выраженная асимметрия в фигуре? Как на них строить выкройку и шить одежду?

Если глубина бёдер отличается на 2 и более сантиметра, то лучше всего строить выкройку в полный разворот с учётом разновысокости бёдер. Таким образом все корректировки, которые вам пришлось бы делать на примерках, вы сделаете сразу на выкройке и существенно облегчите себе работу.

И не важно насколько большая асимметрия в фигуре того или иного человека. С нашим Армалини-кроем все возможные проблемы отойдут в сторону. Мы с вами предпочтём чуть больше потратить времени на построение выкройки, но при этом свести все возможные дефекты посадки и количество примерок к минимуму.

На асимметричные фигуры мы можем также шить изделия всего лишь с одной примеркой. Нет никакой разницы, когда знаешь, что нужно делать. Даже если в ней есть асимметрия. И даже если она ярко выраженная.

Итак, давайте смотреть урок, как строить выкройки на асимметричные фигуры.

Не забывайте оставлять ваши комментарии, я их всегда читаю, ваше мнение важно для меня 🙂


Автор Лина Фролова

Копирование материалов сайта разрешено только с обязательной ссылкой на источник и указанием автора


Вконтакте

Facebook

Twitter

Google+

Pinterest

LiveJournal

LinkedIn

Одноклассники

Мой мир

Симметрия в фотографии | fotoadvice.ru

Симметрия в фотографии стоит ли ее использовать и если да, то в каких случаях? Начнем рассматривать по порядку. При расположении объекта в самом центре снимка кадр средней вертикальной линией как бы делиться пополам. Эта линия будет являться его осью. Вдоль этой оси выгодно располагать такой объект, обе половины которого имеют одинаковую форму, т. е. обладают симметрией.

В окружающем нас мире полная симметрия очень редкое явление. Количество объектов имеющих частичную симметрию гораздо больше. Например, фигура или лицо человека в фас, некоторые фасады зданий, автомобили и т. п. В качестве примера построения снимка с использованием симметрии можно привести следующий.

симметрия в фотографии

Использование симметрии в фотографии

Симметричная композиция довольно часто придает снимку искусственность. Надо стараться избегать этого путем добавления дополнительных линий или дополнительных тональных пятен.

В снимке, построенном симметрично, центр кадра может быть незаполненным, а объекты располагаться в правой и левой частях кадра симметрично относительно вертикальной центральной линии кадра. Примером такой композиции является снимок ниже.

симметрия в фотографии

В детском саду

Несмотря на пустоту в центре снимка сам кадр является уравновешенным. Обе девочки на снимке имеют равноценное значение. Эта особенность рассматриваемой фотографии часть помогает фотографу снять два объекта таким образом, что в кадре они займут в одинаковой мере выгодное положение без взаимного соподчинения.

Для более лучшего понимания сути построения симметричной композиции можно провести аналогию с весами. Если на правую и левую чашки весов положить одинаковый груз, то весы уравновесятся. В нашем случае с фотографией девочек композиция тоже является уравновешенной. Стоит только ввести какой-либо дополнительный элемент к любой из сторон в композиции, то сразу получим дисбаланс.

Симметрия в фотографии и симметричные геометрические фигуры

Следующим моментом, касающимся симметрии в фотографии является расположение объекта или объектов на снимке в форме треугольника. Причем равнобедренный треугольник, стоящий на основании, олицетворяет собой статику, покой, устойчивость.

Такое построение очень легко применить в протрете при съемке в фас, сидящего за столом человека, который облокотился обеими руками. Его фигура будет заполнять кадр в виде треугольника.

Можно создать видимость треугольника из объектов, расположив их в кадре так, чтобы они при мысленном соединении линиями образовывали треугольник. При этом не обязательно, чтобы эти объекты находились в одном плане. Нахождение их в разных планах будет только на руку фотографу, так как это придаст эффект объема снимку.

Кроме треугольника есть овал, который также является симметричным. Круг в перспективном представлении предстает перед зрителем овалом. Съемка гимнастических упражнений, хороводов и ряда прочих сюжетов позволяет строить кадр именно таким образом.

симметрия в фотографии

В некоторых случаях овал слегка намечен и тогда в кадре теряется строгая симметрия. Однако при этом такие кадры являются более убедительными. Использование построения в форме овала позволяет удачно заполнить снимок при съемках групп людей.

P. S. Если данная статья была полезна для Вас, поделитесь ею со своими друзьями в социальных сетях! Для этого просто кликните по кнопкам ниже и оставьте свой комментарий!

С этой статьей так же читают:

Симметрия фигур в пространстве

Центральная симметрия

Две фигуры называются симметричными относительно какой-либо точки О пространства, если каждой точке А одной фигуры соответствует в другой фигуре точка А’, расположенная на прямой ОА по другую сторону от точки О, на расстоянии, равном расстоянию точки А от точки О (черт. 114). Точка О называется центром симметрии фигур.

Пример таких симметричных фигур в пространстве мы уже встречали (§ 53), когда, продолжая за вершину рёбра и грани многогранного угла, получали многогранный угол, симметричный данному. Соответственные отрезки и углы, входящие в состав двух симметричных фигур, равны между собой. Тем не менее фигуры в целом не могут быть названы равными: их нельзя совместить одну с другой вследствие того, что порядок расположения частей в одной фигуре иной, чем в другой, как это мы видели на примере симметричных многогранных углов.

В отдельных случаях симметричные фигуры могут совмещаться, но при этом будут совпадать несоответственные их части. Например, возьмём прямой трёхгранный угол (черт. 115) с вершиной в точке О и рёбрами ОХ, OY, OZ.

Построим ему симметричный угол ОХ’Y’Z’. Угол OXYZ можно совместить с OX’Y’Z’ так, чтобы ребро ОХ совпало с OY’, а ребро OY c OX’. Если же совместить соответственные рёбра ОХ с ОХ’ и OY с OY’, то рёбра OZ и OZ’ окажутся направленными в противоположные стороны.

Если симметричные фигуры составляют в совокупности одно геометрическое тело, то говорят, что это геометрическое тело имеет центр симметрии. Таким образом, если данное тело имеет центр симметрии, то всякой точке, принадлежащей этому телу, соответствует симметричная точка, тоже принадлежащая данному телу. Из рассмотренных нами геометрических тел центр симметрии имеют, например:

  1. параллелепипед,
  2. призма, имеющая в основании правильный многоугольник с чётным числом сторон.

Правильный тетраэдр не имеет центра симметрии.

Симметрия относительно плоскости

Две пространственные фигуры называются симметричными относительно плоскости Р, если каждой точке А в одной фигуре соответствует в другой точка А’, причём отрезок АА’ перпендикулярен к плоскости Р и в точке пересечения с этой плоскостью делится пополам.

Теорема. Всякие два соответственных отрезка в двух симметричных фигурах равны между собой.

Пусть даны две фигуры, симметричные относительно плоскости Р. Выделим две какие-нибудь точки А и В первой фигуры, пусть А’ и В’ - соответствующие им точки второй фигуры (черт. 116, на чертеже фигуры не изображены).

Пусть далее С - точка пересечения отрезка АА’ с плоскостью Р, D - точка пересечения отрезка ВВ’ с той же плоскостью. Соединив прямолинейным отрезком точки С и D, получим два четырёхугольника ABDC и A’B’DC. Так как AС = A’С, BD = B’D и

∠ACD = ∠ACD, ∠BDC = ∠В’DC, как прямые углы, то эти четырёхугольники равны (в чём легко убеждаемся наложением). Следовательно, АВ = А’В’. Из этой теоремы непосредственно вытекает, что соответствующие плоские и двугранные углы двух фигур, симметричных относительно плоскости, равны между собой. Тем не менее совместить эти две фигуры одну с другой так, чтобы совместились их соответственные части, невозможно, так как порядок расположения частей в одной фигуре обратный тому, котoрый имеет место в другой. Простейшим примером двух фигур, симметричных относительно плоскости, являются: любой предмет и его отражение в плоском зеркале; всякая фигура, симметрична со своим зеркальным отражением относительно плоскости зеркала.

Если какое-либо геометрическое тело можно разбить на две части, симметричные относительно некоторой плоскости, то эта плоскость называется плоскостью симметрии данного тела.

Геометрические тела, имеющие плоскость симметрии, чрезвычайно распространены в природе и в обыденной жизни. Тело человека и животного имеет плоскость симметрии, разделяющую его на правую и левую части.

На этом примере особенно ясно видно, что симметричные фигуры нельзя совместить. Так, кисти правой и левой рук симметричны, но совместить их нельзя, что можно видеть хотя бы из того, что одна и та же перчатка не может подходить и к правой и к левой руке. Большое число предметов домашнего обихода имеет плоскость симметрии: стул, обеденный стол, книжный шкаф, диван и др. Некоторые, как например обеденный стол, имеют даже не одну, а две плоскости симметрии (черт. 117).

Обычно, рассматривая предмет, имеющий плоскость симметрии, мы стремимся занять по отношению к нему такое положение, чтобы плоскость симметрии нашего тела, или по крайней мере нашей головы, совпала с плоскостью симметрии самого предмета. В этом случае симметричная форма предмета становится особенно заметной.

Симметрия относительно оси. Ось симметрии второго порядка.

Две фигуры называются симметричными относительно оси l (ось-прямая линия), если каждой точке А первой фигуры соответствует точка А’ второй фигуры, так что отрезок АА’ перпендикулярен к оси l, пересекается с нею и в точке пересечения делится пополам. Сама ось l называется осью симметрии второго порядка.

Из этого определения непосредственно следует, что если два геометрических тела, симметричных относительно какой-либо оси, пересечь плоскостью, перпендикулярной к этой оси, то в сечении получатся две плоские фигуры, симметричные относительно точки пересечения плоскости с осью симметрии тел.

Отсюда далее легко вывести, что два тела, симметричных относительно оси, можно совместить одно с другим, вращая одно из них на 180° вокруг оси симметрии. В самом деле, вообразим все возможные плоскости, перпендикулярные к оси симметрии.

Каждая такая плоскость, пересекающая оба тела, содержит фигуры, симметричные относительно точки встречи плоскости с осью симметрии тел. Если заставить скользить секущую плоскость саму по себе, вращая её вокруг оси симметрии тела на 180°, то первая фигура совпадает со второй.

Это справедливо для любой секущей плоскости. Вращение же всех сечений тела на 180° равносильно повороту всего тела на 180° вокруг оси симметрии. Отсюда и вытекает справедливость нашего утверждения.

Если после вращения пространственной фигуры вокруг некоторой прямой на 180° она совпадает сама с собой, то говорят, что фигура имеет эту прямую своею осью симметрии второго порядка.

Название "ось симметрии второго порядка " объясняется тем, что при полном обороте вокруг этой оси тело будет в процессе вращения дважды принимать положение, совпадающее с исходным (считая и исходное). Примерами геометрических тел, имеющих ось симметрии второго порядка, могут служить:

1) правильная пирамида с чётным числом боковых граней; осью её симметрии служит её высота;

2) прямоугольный параллелепипед; он имеет три оси симметрии: прямые, соединяющие центры его противоположных граней;

3) правильная призма с чётным числом боковых граней. Осью её симметрии служит каждая прямая, соединяющая центры любой пары её противоположных граней (боковых граней и двух оснований призмы). Если число боковых граней призмы 2k, то число таких осей симметрии будет k + 1. Кроме того, осью симметрии для такой призмы служит каждая прямая, соединяющая середины её противоположных боковых рёбер. Таких осей симметрии призма имеет А.

Таким образом, правильная 2k-гранная призма имеет 2k+1 осей, симметрии.

Зависимость между различными видами симметрии в пространстве.
Между различными видами симметрии в пространстве - осевой, плоскостной и центральной - существует зависимость, выражаемая следующей теоремой.

Теорема. Если фигура F симметрична с фигурой F’ относительно плоскости Р и в то же время симметрична с фигурой F" относительно точки О, лежащей в плоскости Р, то фигуры F’ и F" симметричны относительно оси, проходящей через точку О и перпендикулярной к плоскости Р.

Возьмём какую-нибудь точку А фигуры F (черт. 118). Ей соответствует точка А’ фигуры F’ и точка А" фигуры F" (сами фигуры F, F’ и F" на чертеже не изображены).

Пусть B - точка пересечения отрезка АА’ с плоскостью Р. Проведeм плоскость через точки А, А’ и О. Эта плоскость будет перпендикулярна к плоскости Р, так как проходит через прямую АА’, перпендикулярную к этой плоскости. В плоскости АА’О проведём прямую ОН, перпендикулярную к ОВ. Эта прямая ОН будет перпендикулярна и к плоскости Р. Пусть далее С-точка пересечения прямых А’А" и ОН.

B треугольнике АА’А" отрезок ВО соединяет середины сторон АА’ и АА", следовательно, ВО || А’А", но ВО⊥ОН, значит, А’А"⊥ОН. Далее, так как О - середина стороны АA", и СО || АА’, то А’С = А"С. Отсюда заключаем, что точки А’ и А" симметричны относительно оси ОН. То же самое справедливо и для всех других точек фигуры. Значит, наша теорема доказана. Из этой теоремы непосредственно следует, что две фигуры, симметричные относительно плоскости, не могут быть совмещены так, чтобы совместились их соответственные части. В самом деле, фигура F’ совмещается с F" путём вращения вокруг оси ОН на 180°. Но фигуры F" и F не могут быть совмещены как симметричные относительно точки, следовательно, фигуры F и F’ также не могут быть совмещены.

Оси симметрии высших порядков

Фигура, имеющая ось симметрии, совмещается сама с собой после поворота вокруг оси симметрии на угол в 180°. Но возможны случаи, когда фигура приходит к совмещению с исходным положением после поворота вокруг некоторой оси на угол, меньший 180°. Таким образом, если тело сделает полный оборот вокруг этой оси, то в процессе вращения оно несколько раз совместится со своим первоначальным положением. Такая ось вращения называется осью симметрии высшего порядка, причём число положений тела, совпадающих с первоначальным, называется порядком оси симметрии. Эта ось может и не совпадать с осью симметрии второго порядка. Так, правильная треугольная пирамида не имеет оси симметрии второго порядка, но её высота служит для неё осью симметрии третьего порядка. В самом деле, после поворота этой пирамиды вокруг высоты на угол в 120° она совмещается сама с собой (черт. 119).

При вращении пирамиды вокруг высоты она может занимать три положения, совпадающие с исходным, считая и исходное. Легко заметить, что всякая ось симметрии чётного порядка есть в то же время ось симметрии второго порядка.

Примеры осей симметрии высших порядков:

1) Правильная n-угольная пирамида имеет ось симметрии n-го порядка. Этой осью служит высота пирамиды.

2) Правильная n-угольная призма имеет ось симметрии n-го порядка. Этой осью служит прямая, соединяющая центры оснований призмы.

Симметрия куба.
Как и для всякого параллелепипеда, точка пересечения диагоналей куба есть центр его симметрии.

Куб имеет девять плоскостей симметрии: шесть диагональных плоскостей и три плоскости, проходящие через середины каждой четвёрки его параллельных рёбер.

Куб имеет девять осей симметрии второго порядка: шесть прямых, соединяющих середины его противоположных рёбер, и три прямые, соединяющие центры противоположных граней (черт. 120).

Эти последние прямые являются осями симметрии четвёртого порядка. Кроме того, куб имеет четыре оси симметрии третьего порядка, которые являются его диагоналями. В самом деле, диагональ куба АG (черт. 120), очевидно, одинаково наклонена к рeбрам АВ, АD и АЕ, а эти рёбра одинаково наклонены одно к другому. Ecли соединить точки В, D и Е, то получим правильную треугольную пирамиду АDВЕ, для которой диагональ куба AG служит высотой. Когда при вращении вокруг высоты эта пирамида будет совмещаться сама с собой, весь куб будет совмещаться со своим исходным положением. Других осей симметрии, как нетрудно убедиться, куб не имеет. Посмотрим, сколькими различными способами куб может быть совмещён сам с собой. Вращение вокруг обыкновенной оси симметрии даёт одно положение куба, отличное от исходного, при котором куб в целом совмещается сам с собой.

Вращение вокруг оси третьего порядка даёт два таких положения, и вращение вокруг оси четвёртого порядка - три таких положения. Так как куб имеет шесть осей второго порядка (это обыкновенные оси симметрии), четыре оси третьего порядка и три оси четвёртого порядка, то имеются 6•1 + 4•2 + 3•3 = 23 положения куба, отличные от исходного, при которых он совмещается сам с собой.

Легко убедиться непосредственно, что все эти положения отличны одно от другого, а также и от исходного положения куба. Вместе с исходным положением они составляют 24 способа совмещения куба с самим собой.

About Author


alexxlab

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *