Чотирикутники в архітектурі: Чотирикутники в архітектурі та живописі – Трикутники, що використовуються в архітектурі

Чотирикутники в архітектурі та живописі

Учнівське дослідження. Естети.

Питання «Чому художники та архітектори полюбляють чотирикутники?»

1 тиждень. Щоб дати відповідь на запитання потрібно знайти інформацію. Цікаво. Почали.

3 тиждень. Ось що ми знайшли.

Чотирикутники в архітектурі використовуються із давніх часів.
Так, давньогрецький історик Геродот писав, що Скіфія — це чотирикутник, один бік якого простягся на 20 днів шляху вздовж Чорного моря від Істру (Дунай) до Танаїсу (Дон). На таку ж саму відстань (20 днів шляху) розкинулася Скіфія вглиб суші.

Племена Трипільської культури жили у поселеннях, забудованих дерев’яно-глинобитними наземними спорудами, розташованими переважно одним чи кількома концентричними колами. В основному це були родові або племінні тривалі поселення, що нараховували кілька десятків садиб. Будівлі мали форму чотирикутника правильної форми. У землю вбивали дубові стовпи, між якими плели стіни з хмизу, котрий вимащували глиною, зверху накривали соломою чи очеретом. Дах був двосхилий, з отвором для диму, долівку мазали глиною, посеред хати стояла велика піч, біля якої розташовували лежанки з випаленої глини. Стіни і піч іноді розмальовували.

Жовква – районний центр Львівської області. Розташований приблизно в 30 кілометрах північніше Львова.

Середмістя площею близько 15 га рівномірно розширювалось від замку. Мабуть воно було задумане у вигляді п’ятикутника, але місцевий рельєф та напрямок дороги Львів – Глиняни трохи вплинули на його форму. Однотипні житлові будинки з арковими галереями внизу, бастіонні укріплення та композиційна роль костелу Св.Лаврентія в ансамблі ринкової площі відображали особливості ренесансного містобудування. Міські брами, що були влаштовані по периметру міських мурів, мали класичний вигляд для того часу. Нажаль, зараз залишилась цілою лише Звіринецька брама, яка побудована у вигляді тріумфальної арки з красивим фронтоном.

В єдиний комплекс міської забудови включався й замок власника міста. Ось що пише Ольга Оконченко у статті про Жовківський замок у “Галицькій брамі”:
“Замок отримав регулярний чотирикутний нарис з чотирма триярусними п’ятикутними баштами на наріжниках і триярусною баштою над в’їздною брамою посередині північно-східного прясла замкових укріплень»
Національний заповідник «Буша», що має назву однойменного села, цікавий унікальним наскельним рельєфом, створеним у дохристиянські часи. На камені вирізьблено дерево без листя, півня, оленя, людину, що стоїть навколішки, і таємничий чотирикутник. Дослідники сходяться на думці, що це – частина стародавнього язичницького храму чи капища, подібного якому не знайти в жодній країні світу. Цей рельєф відкрив для науки професор Антонович у 1883 році.

Палац Потоцьких (пам’ятка архітектури XVІІІ cт. (Тульчин)

На початку XVIII ст. місто Тульчин стає власністю роду Потоцьких, одного з найбагатших і найвельможніших родів Польщі. Окрасою міста стає двоповерховий палац Станіслава Потоцького, збудований в 1782 році у класичному стилі. Проектував палац французький архітектор Ла Круа. Палац був покритий мідним дахом, складався із головного двоповерхового корпусу з прикрашеним парадним під’їздом на 10 колонах з 8 пілястрами, а далі два бокових корпуси в такому ж стилі. З головним корпусом бокові споруди з’єднані скляними галереями.

Вхід до палацу був через великий вестибюль, прикрашений мармуровими східцями, оздобленими металевими плетіннями. Картинна галерея палацу складалася з полотен видатних майстрів Європи. Тут постійно звучала музика, відбувалися танці та розваги. При палаці діяв театр, який мав у репертуарі 5-7 опер та 2-3 концерти. Співали в основному на італійській мові. Нині майже завершено реставрацію палацу, він відкритий для відвідувачів, також у його стінах розташовується бібліотека та класи школи мистецтв.

Золочівський замок, збудований на зразок цитаделі бастіонового типу, зберігся до сьогодні майже повністю. Це подовжений чотирикутник, оточений високими валами, укріплений ззовні тесаними кам‘яними плитами. На кожному розі добре видно п‘ятикутні бастіони, що закінчуються шестибічними сторожовими вежами, які після перебудови в 19 ст. мають лише декоративний вигляд.

Архітектурний ансамбль давньої Олімпи

Перегляньте цікаві будинки світу.

4 тиждень. Чотирикутники в архітектурі м. Кіровоград

5 тиждень

Абстракціоні́зм, абстрактне мистецтво, безпредметне мистецтво, конфігуративне мистецтво — одна з течій авангардистського мистецтва початку XX ст. Філософсько-естетична основа абстракціонізму — ірраціоналізм, відхід від ілюзорно-предметного зображення, абсолютизація чистого враження та самовираження митця засобами геометричних фігур, ліній, кольорових плям, звуків. Напрям сучасного абстрактного мистецтва в скульптурі і живописі виник в Європі та Північній Америці в 1910 — 1920. Здавна люди намагалися відобразити красу навколишнього світу, сцени зі життя жінок у малюнках, картинах. Згодом картини найталановитіших людей перетворилися на витвори мистецтва. З’явилося багато різних напрямів мистецтва: імпресіонізм, модернізм, класицизм, романтизм, натуралізм, символізм, реалізм, сюрреалізм, абстракціонізм та інших.

Чотирикутник — Вікіпедія

Чотирикутник — це частина площини, обмежена простою замкненою ламаною, яка містить чотири (4) ланки. Вона складається з чотирьох (4) вершин (точок) і чотирьох сторін (відрізків), що послідовно їх сполучають. При цьому жодні три з даних точок не повинні лежати на одній прямій. Вершини чотирикутника називаються сусідніми, якщо вони є кінцями однієї з його сторін. Несусідні вершини називаються протилежними. Відрізки, що сполучають протилежні вершини чотирикутника, називаються діагоналями.

Зображення 1. Приклад чотирикутника

У чотирикутнику на зображені 1 діагоналями є відрізки AC і BD.

Сторони чотирикутника, що виходять з однієї вершини, називаються сусідніми сторонами. Сторони, які не мають спільного кінця, називаються протилежними сторонами. У чотирикутнику на даному малюнку протилежними сторонами є сторони AB і CD, BC і AD. Чотирикутник позначають, записуючи його вершини. Наприклад, чотирикутник на зображені 1 позначено так: ABCD. У позначенні чотирикутника вершини, що стоять поряд, повинні бути сусідніми. Чотирикутник ABCD можна також позначити BCDA або DCBA. Але не можна позначити ABDC (B і D — не сусідні вершини).

Внутрішні кути простого чотирикутника ABCD мають в сумі 360 градусів, тобто

∠A+∠B+∠C+∠D=360∘.{\displaystyle \angle A+\angle B+\angle C+\angle D=360^{\circ }.}

Сума довжин усіх сторін чотирикутника називається периметром.

Прості чотирикутники[ред. | ред. код]

Будь-який чотирикутник, сторони якого не перетинаються є простим чотирикутником.

Опуклі чотирикутники[ред. | ред. код]

В опуклих чотирикутників всі внутрішні кути є меншими за 180°, а дві діагоналі знаходяться в середині чотирикутника.

Неправильний чотирикутник: не має паралельних сторін.
Трапеція: одна пара протилежних сторін є паралельною.
Рівнобічна трапеція: одна пара протилежних сторін є паралельними, а кути нахилу сторін при основі є рівними. Альтернативними визначеннями є: чотирикутник що має вісь симетрії, яка перетинає пару протилежних сторін, або трапеція із діагоналями рівної довжини.
Паралелограм: чотирикутник із двома парами паралельних сторін. еквівалентною умовою є те, що його протилежні сторони мають однакову довжину; що протилежні кути рівні; або що діагоналі перетинаються і ділять одна одну навпіл. До паралелограмів відноситься ромб, прямокутник, а також квадрат.
Ромб: всі чотири сторони мають однакову довжину. Або еквівалентно: діагоналі перпендикулярні і перетином ділять навпіл одна одну. Не формально це є «сплюснутий квадрат» (але строго математично квадрат теж є ромбом).
Ромбоїд: паралелограм в якого суміжні сторони мають різні довжини а деякі кути тупими (не має прямих кутів). Деякі джерела називають його паралелограмом, що не є ромбом.^[1]
Прямокутник: всі чотири кути є прямими кутами. Еквівалентно: діагоналі мають однакову довжину і при перетині діляться навпіл. До прямокутників відноситься і квадрат.
Квадрат (правильний прямокутник): всі чотири сторони мають однакову довжину, а чотири кути є прямими. Діагоналі перетинають одна одну навпіл і під прямим кутом, а також мають однакову довжину. Чотирикутник є квадратом тоді і лише тоді, коли він одночасно є ромбом і прямокутником (чотири рівні сторони і чотири однакові кути).
Дельтоїд: дві пари прилеглих сторін мають однакову довжину. З цього випливає, що одна з діагоналей розділяє дельтоїд на конгруентні трикутники, і два кути між парами нерівних сторін мають однакову величину. Також, його діагоналі є перпендикулярними. До дельтоїдів відноситься ромб.

Увігнуті чотирикутники[ред. | ред. код]

В увігнутих чотирикутників, один із внутрішніх кутів є більшим за 180° а одна із двох діагоналей лежить за межами чотирикутника.

Складні чотирикутники[ред. | ред. код]

Антипаралелограм

До складних чотирикутників відносять не правильні чотирикутники, грані яких перетинаються. Такі чотирикутники перетинають самі себе і мають ряд не формальних назв: перехрещений чотирикутник, чотирикутник-метелик або бантик. Сума внутрішніх кутів перехрещеного чотирикутника буде дорівнювати 720°, а два внутрішні кути в ньому є розгорнутими і знаходяться ззовні. Тобто перехрещеного чотирикутника, чотири «внутрішні» кути знаходяться по обидві сторони перетину (два гострих і два розгорнутих, всі з лівої сторони або з правою, в залежності від того в якому порядку перераховуються).^[2]

Перехрещена трапеція^[3]: перехрещений чотирикутник, в якому (як у трапеції) одна пара не суміжних сторін є паралельною
Антипаралелограм: перехрещений чотирикутник в якого (як в паралелограма) кожна пара не суміжних сторін мають однакову довжину.
Перехрещений прямокутник: це антипаралелограм, сторонами якого є дві протилежні сторони і дві діагоналі звичайного прямокутника, таким чином від має одну пару протилежних сторін, що є паралельними.
Перехрещений квадрат: особливий випадок перехрещеного прямокутника, в якого дві сторони перетинаються під прямими кутами.

Двома діагоналями опуклого чотирикутника є відрізки, що сполучають протилежні вершини.

Двома бімедіанами (англ. bimedians) опуклого чотирикутника є відрізки, що сполучають середини протилежних сторін^[4]. Вони перетинаються у точці, яка називається «центроїдом» вершин чотирикутника.

Також в опуклому чотирикутнику бівисотою (англ. maltitude) будемо називати висоту, яка має основу у середині протилежної сторони^[5]. Всього у чотирикутнику можна провести чотири бівисоти.

Існує декілька загальних формул розрахунку площі S опуклого чотирикутника ABCD із сторонами a = AB, b = BC, c = CD і d = DA.

Тригонометричні формули[ред. | ред. код]

Площа чотирикутника може бути задана за допомогою тригонометричних функцій наступним чином:

S=12ef⋅sin⁡θ,{\displaystyle S={\tfrac {1}{2}}ef\cdot \sin \theta ,}

де довжини кожної діагоналі задані як e і f, а кут між ними дорівнює θ.^[6] У випадку коли діагоналі перпендикулярні (тобто для ромба, квадрата і дельтоїда), ця формула спрощується до S=12ef{\displaystyle S={\tfrac {1}{2}}ef} оскільки θ дорівнює 90°.

Площу можна розрахувати через бімедіани наступним чином^[7]

S=mn⋅sin⁡φ,{\displaystyle S=mn\cdot \sin \varphi ,}

Де довжини медіан дорівнюють m і n, а кут між ними дорівнює φ.

Формула Бретшнайдера^[8] визначає площу черед дві сторони і два протилежних кута:

S=(s−a)(s−b)(s−c)(s−d)−12abcd[1+cos⁡(∠A+∠C)]=(s−a)(s−b)(s−c)(s−d)−abcd[cos2⁡(∠A+∠C2)]{\displaystyle {\begin{aligned}S&={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-{\tfrac {1}{2}}abcd\;[1+\cos(\angle A+\angle C)]}}\\&={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\left[\cos ^{2}\left({\tfrac {\angle A+\angle C}{2}}\right)\right]}}\end{aligned}}}

де сторони відповідно задані як a, b, c, d, і де s є півпериметром, а A і C є двома (будь-якими) протилежними кутами. Для вписаного чотирикутника цей вираз спрощується до формули Брамагупти, оскільки A + C = 180°.

Іншою формулою для розрахунку площі через кути і сторони, де кут C знаходиться між сторонами b і c, а кут A між сторонами a та d, є

S=12ad⋅sin⁡A+12bc⋅sin⁡C.{\displaystyle S={\tfrac {1}{2}}ad\cdot \sin {A}+{\tfrac {1}{2}}bc\cdot \sin {C}.}

У випадку із вписаним чотирикутником, остання формула скорочується до S=12(ad+bc)sin⁡A.{\displaystyle S={\tfrac {1}{2}}(ad+bc)\sin {A}.}

Для паралелограма, де обидві пари протилежних сторін і кутів є рівними, ця формула в свою чергу спрощується до виразу S=ab⋅sin⁡A.{\displaystyle S=ab\cdot \sin {A}.}

Альтернативним чином, можна визначити площу чотирикутника через сторони і кут перетину його діагоналей θ, для тих випадків доки цей кут не дорівнює 90°:^[9]

S=|tgθ|4⋅|a2+c2−b2−d2|.{\displaystyle S={\frac {|{\mathrm {tg} \,\theta }|}{4}}\cdot \left|a^{2}+c^{2}-b^{2}-d^{2}\right|.}

У випадку з паралелограмом, остання формула буде виглядати як S=12|tgθ|⋅|a2−b2|.{\displaystyle S={\tfrac {1}{2}}|{\mathrm {tg} \,\theta }|\cdot \left|a^{2}-b^{2}\right|.}

Іншою формулою, що містить сторони a, b, c, d є^[7]

S=14(2(a2+c2)−4×2)(2(b2+d2)−4×2)sin⁡φ{\displaystyle S={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {(2(a^{2}+c^{2})-4x^{2})(2(b^{2}+d^{2})-4x^{2})}}\sin {\varphi }}

де x є відстанню між середніми точками діагоналей, а φ є кутом між бімедіанами.

І ще однією тригонометричною формулою, що містить сторони a, b, c, d і кут α між a і b є:

S=12ab⋅sin⁡α+144c2d2−(c2+d2−a2−b2+2ab⋅cos⁡α)2,{\displaystyle S={\tfrac {1}{2}}ab\cdot \sin {\alpha }+{\tfrac {1}{4}}{\sqrt {4c^{2}d^{2}-(c^{2}+d^{2}-a^{2}-b^{2}+2ab\cdot \cos {\alpha })^{2}}},}

що може використовуватися і як площа увігнутого чотирикутника (що має увігнуту частину протилежну до кута α) змінивши перший знак + на — .

Не-тригонометричні формули[ред. | ред. код]

Дві наступні формули задають площу S чотирикутника через сторони a, b, c, d, напівперіметр s, і діагоналі e, f:

S=(s−a)(s−b)(s−c)(s−d)−14(ac+bd+ef)(ac+bd−ef),{\displaystyle S={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-{\tfrac {1}{4}}(ac+bd+ef)(ac+bd-ef)}},}^[10]

S=144e2f2−(a2+c2−b2−d2)2.{\displaystyle S={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {4e^{2}f^{2}-\left(a^{2}+c^{2}-b^{2}-d^{2}\right)^{2}}}.}^[11]

Перше рівняння зводиться до формули Брахмагупти для вписаного чотирикутника, оскільки в такому випадку ef = ac + bd.

Площу також можна задати через бімедіани m, n і діагоналі e, f:

S=12(m+n+e)(m+n−e)(m+n+f)(m+n−f),{\displaystyle S={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {(m+n+e)(m+n-e)(m+n+f)(m+n-f)}},}^[12]

S=12e2f2−(m2−n2)2.{\displaystyle S={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {e^{2}f^{2}-(m^{2}-n^{2})^{2}}}.}^[13]^{:Thm. 7}

Насправді, будь-яке з трьох значень m, n, e, і f є достатнім для визначення площі, оскільки для будь-якого чотирикутника ці чотири значення пов’язані рівнянням e2+f2=2(m2+n2).{\displaystyle e^{2}+f^{2}=2(m^{2}+n^{2}).}^[14]^{:p. 126} Відповідними спрощеними виразами будуть наступні рівняння для розрахунку площі:^[15]

S=12[(m+n)2−e2]⋅[e2−(m−n)2],{\displaystyle S={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {[(m+n)^{2}-e^{2}]\cdot [e^{2}-(m-n)^{2}]}},}

якщо дані довжини двох бімедіан і діагональ, і^[15]

S=14[(e+f)2−4m2]⋅[4m2−(e−f)2],{\displaystyle S={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {[(e+f)^{2}-4m^{2}]\cdot [4m^{2}-(e-f)^{2}]}},}

якщо відомі довжини двох діагоналей і одна бімедіана.

Векторна форма[ред. | ред. код]

Площу чотирикутника ABCD можна розрахувати за допомогою векторів. Нехай вектори AC і BD утворюють діагоналі від A до C і від B до D. Площа чотирикутника тоді дорівнюватиме

S=12|AC×BD|,{\displaystyle S={\tfrac {1}{2}}|\mathbf {AC} \times \mathbf {BD} |,}

що є половиною величини векторного добутку векторів AC і BD. У двовимірному Евклідовому просторі, вектор AC можна задати у вигляді вектора у Декартовому просторі як (x₁,y₁) і вектор BD як (x₂,y₂), тому рівняння можна переписати наступним чином:

S=12|x1y2−x2y1|.{\displaystyle S={\tfrac {1}{2}}|x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}|.}

Добутки площ трикутників, утворених частинами діагоналей від їх країв до їх перетину і протилежними сторонами чотирикутника, рівні.
Сума кутів опуклого чотирикутника дорівнює 360°.
У будь-якому вписаному чотирикутнику суми протилежних кутів дорівнють 180°.
У будь-якому описаному чотирикутнику суми протилежних сторін рівні.

Довжина діагоналей[ред. | ред. код]

Довжини діагоналей опуклого чотирикутника ABCD із відповідними вершинами A, B, C, D і сторонами a = AB, b = BC, c = CD, і d = DA, довжини діагоналей p = AC і q = BD можна розрахувати за допомогою теореми косинусів для кожного трикутника, що утворені діагоналями і двома сторонами чотирикутника. Таким чином

p=a2+b2−2abcos⁡B=c2+d2−2cdcos⁡D{\displaystyle p={\sqrt {a^{2}+b^{2}-2ab\cos {B}}}={\sqrt {c^{2}+d^{2}-2cd\cos {D}}}}

q=a2+d2−2adcos⁡A=b2+c2−2bccos⁡C.{\displaystyle q={\sqrt {a^{2}+d^{2}-2ad\cos {A}}}={\sqrt {b^{2}+c^{2}-2bc\cos {C}}}.}

Інші, більш симетричні формули для знаходження довжин діагоналей:^[16]

p=(ac+bd)(ad+bc)−2abcd(cos⁡B+cos⁡D)ab+cd{\displaystyle p={\sqrt {\frac {(ac+bd)(ad+bc)-2abcd(\cos {B}+\cos {D})}{ab+cd}}}}

q=(ab+cd)(ac+bd)−2abcd(cos⁡A+cos⁡C)ad+bc.{\displaystyle q={\sqrt {\frac {(ab+cd)(ac+bd)-2abcd(\cos {A}+\cos {C})}{ad+bc}}}.}

Узагальнення правила паралелограма і теореми Птолемея[ред. | ред. код]

Для будь-якого опуклого чотирикутника ABCD, сума квадратів чотирьох сторін дорівнює сумі квадратів двох діагоналей плюс чотири квадрати лінійного сегменту, що сполучає середні точки діагоналей. Тобто

a2+b2+c2+d2=p2+q2+4×2{\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=p^{2}+q^{2}+4x^{2}}

де x це відстань між середніми точками діагоналей.^[14]^:p.126 Це рівняння відоме як теорема Ейлера про чотирикутник^[en] і є узагальненням для правила паралелограма.

Німецький математик Карл Антон Бретшнейдер^[en] в 1842 вивів наступне узагальнення для теореми Птолемея, стосовно добутку діагоналей опуклого чотирикутника^[17]

p2q2=a2c2+b2d2−2abcdcos⁡(A+C).{\displaystyle p^{2}q^{2}=a^{2}c^{2}+b^{2}d^{2}-2abcd\cos {(A+C)}.}

Це рівняння можна вважати аналогічним до теореми косинусів для чотирикутника. Для вписаного чотирикутника, в якого A + C = 180°, це рівняння спрощується до pq = ac + bd. Оскільки cos (A + C) ≥ −1, таким чином, це також доводить нерівність Птолемея.

$p^{2}q^{2}=a^{2}c^{2}+b^{2}d^{2}-2abcd\cos {(A+C)}.$ Паралелограм Варіньона EFGH

Бімедіанами чотирикутника є такі лінійні відрізки, що сполучають середні точки його протилежних сторін. Перетином бімедіан є центроїд вершин чотирикутника.^[18]

Середні точки будь-якого чотирикутника (опуклого, увігнутого або перехрещеного) є вершинами паралелограма, що називається паралелограмом Варіньона. Він має наступні властивості:

Кожна пара протилежних сторін паралелограма Варіньона є паралельними діагоналі початкового чотирикутника.
Сторона паралелограма Варіньона має довжину, що дорівнює половині довжини діагоналі початкового чотирикутника до якої ця сторона є паралельною.
Площа паралелограма Варіньона дорівнює половині площі початкового чотирикутника. Це є вірним для опуклих, увігнутих і перехрещених чотирикутників, де площа останнього задається як різниці площ трикутників з яких він складається.^[19]
Периметр паралелограма Варіньона дорівнює сумі довжин діагоналей початкового чотирикутника.
Діагоналі паралелограма Варіньона є бімедіанами початкового чотирикутника.

Дві бімедіани чотирикутника і лінійні відрізки, що сполучають середні точки діагоналей в тому чотирикутнику є конкурентними прямими і всі поділяються навпіл точкою їх перетину.^[14]^:p.125

Для опуклого чотирикутника із сторонами a, b, c і d, довжина бімедіани, що сполучає середні точки сторін a і c дорівнюватиме

m=12−a2+b2−c2+d2+p2+q2{\displaystyle m={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {-a^{2}+b^{2}-c^{2}+d^{2}+p^{2}+q^{2}}}}

де p і q є довжинами діагоналей.^[20] Довжина бімедіани, що сполучає середні точки сторін b і d дорівнює

n=12a2−b2+c2−d2+p2+q2.{\displaystyle n={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {a^{2}-b^{2}+c^{2}-d^{2}+p^{2}+q^{2}}}.}

Отже^[14]^:p.126

p2+q2=2(m2+n2).{\displaystyle \displaystyle p^{2}+q^{2}=2(m^{2}+n^{2}).}

Це також є наслідком застосування правила паралелограма до паралелограма Варіньона.

Довжину бімедіан також можна виразити через дві протилежні сторони і відстань x між середніми точками діагоналей. Це можна отримати застосувавши теорему Ейлера для чотирикутників щодо вищезгаданих формул. Звідки отримаємо^[13]

m=122(b2+d2)−4×2{\displaystyle m={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2(b^{2}+d^{2})-4x^{2}}}}

n=122(a2+c2)−4×2.{\displaystyle n={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2(a^{2}+c^{2})-4x^{2}}}.}

Зверніть увагу, що дві протилежні сторони в цих формулах не є тими двома сторонами, що сполучає бімедіана.

Для опуклого чотирикутника є справедливим наступний дуальний взаємозв’язок між бімедіанами і діагоналями:^[21]

Дві бімедіани мають однакову довжину тоді і лише тоді, коли дві діагоналі є перпендикулярними.
Дві бімедіани є перпендикулярними, толі і лише тоді, коли дві діагоналі мають однакову довжину.

Тригонометричні тотожності[ред. | ред. код]

Чотири кути простого чотирикутника ABCD задовольняють наступним рівнянням:^[22]

sin⁡A+sin⁡B+sin⁡C+sin⁡D=4sin⁡A+B2sin⁡A+C2sin⁡A+D2{\displaystyle \sin {A}+\sin {B}+\sin {C}+\sin {D}=4\sin {\frac {A+B}{2}}\sin {\frac {A+C}{2}}\sin {\frac {A+D}{2}}}

tan⁡Atan⁡B−tan⁡Ctan⁡Dtan⁡Atan⁡C−tan⁡Btan⁡D=tan⁡(A+C)tan⁡(A+B).{\displaystyle {\frac {\tan {A}\tan {B}-\tan {C}\tan {D}}{\tan {A}\tan {C}-\tan {B}\tan {D}}}={\frac {\tan {(A+C)}}{\tan {(A+B)}}}.}

Також,^[23]

tan⁡A+tan⁡B+tan⁡C+tan⁡Dcot⁡A+cot⁡B+cot⁡C+cot⁡D=tan⁡Atan⁡Btan⁡Ctan⁡D.{\displaystyle {\frac {\tan {A}+\tan {B}+\tan {C}+\tan {D}}{\cot {A}+\cot {B}+\cot {C}+\cot {D}}}=\tan {A}\tan {B}\tan {C}\tan {D}.}

В двох останніх формулах, жоден з кутів не може бути прямим кутом, оскільки тангенс 90° є не визначеним.

Площа[ред. | ред. код]

Якщо опуклий чотирикутник має сторони a, b, c, d і діагоналі p, q, тоді його площа S задовольняє нерівностям^[24]

S≤14(a+c)(b+d){\displaystyle S\leq {\tfrac {1}{4}}(a+c)(b+d)}, що буде рівністю лише для прямокутника.

S≤14(a2+b2+c2+d2){\displaystyle S\leq {\tfrac {1}{4}}(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})} , що буде рівністю лише для квадрата.

S≤14(p2+q2){\displaystyle S\leq {\tfrac {1}{4}}(p^{2}+q^{2})}, що буде рівністю лише якщо дві діагоналі є перпендикулярними і мають однакову довжину.

«Що є цікаве у чотирикутників?» — Iteach WIKI

Назва проекту

Чотирикутники навколо нас

Автори проекту

Група «Журналісти»

Тема дослідження

Застосування чотирикутників

Проблема дослідження

Де ми зустрічаємось з чотирикутниками?

Гіпотеза дослідження

Застосування зображень та властивостей чотирикутників нескінченно.

Мета дослідження

Продемонструвати глибину й красу древньої та загадкової науки математики, зокрема у використанні чотирикутників.

Результати дослідження

Чорний квадрат — найвідоміша робота Казимира Малевича, створена в 1915 році. Являє собою полотно розміром 79,5 на 79,5 сантиметрів, на якому зображений чорний квадрат на білому тлі. У чорного квадрата також є 2 «брата». Червоний квадрат і білий квадрат. Малевич писав квадрат тонким пензликом, є версія, що там щось вже було намальовано.

Ще в давні часи помічено, що прямокутник, у якому сторони становлять частини відрізка, поділеного за правилом золотого поділу, справляє приємне зорове враження. Тому такої форми спеціально надають багатьом предметам: поштовим листівкам, маркам, картинам. А тепер помандруємо за “квадратними” дивами ботаніки: Ізраїль. Інститут сільськогосподарських досліджень „квадратні помідори, які легко пакувати”. США. На замовлення авіакомпаній генетики „винайшли” кукурудзу, що має „квадратні” зерна. Під час „повітряних обідів” вони не скочуються з тарілки. Заглянемо і до „Книги рекодів Гінеса”: 1985 року в Шотландії надруковано найменшу в світі книгу „Старий король Коул” (85 екземплярів її мають квадратні аркуші розміром 1χ1 мм.), читати її можна лише перегортаючи сторінки голкою. Сузір’я ОРІОН (зірки утворюють трапецію) Більше 100 парашутистів зробили найбільший ромб у світі

Застосування ромба у житті. Ромб – це симетрична фігура  Г.Вейль сказав:” Симетрія… Є тією ідеєю, за допомогою якої людина впродовж століть намагалася осягнути і створити порядок,красу й досконалість”  Ромб, трикутник, квадрат, прямокутник і коло та інші геометричні фігури створюють базу для вдалого застосування цих фігур у дизайні.  Симетрія в природі, в мистецтві, в техніці є одним із принципів побудови світу. Симетрія використовується в архітектурі, ткацтві, кераміці тощо.

Застосування у житті чотирикутників.

Висновки

Зображення чотирикутників ми можемо спостерігати скрізь:вдома, на вулиці, у музеї, фото-студіях, ізо-студіях та інше. Світ застосування як зображень, так і властивостей чотирикутників у житті, побуті, мистецтві, архітектурі нескінченний. Подивись навкруги і ти помітиш цей чарівний світ чотирикутників!

Корисні ресурси

Застосування чотирикутників

Конспект підсумкового уроку геометрії у 8 класі з теми «Чотирикутники»

Тетяна Трипуз

учитель математики

Калинівський навчально-виховний комплекс

Снігурівський район

Миколаївська область

Тема: Чотирикутники

Мета:

Узагальнити та систематизувати знання учнів про чотирикутники. Дати поняття про дельтоїд – чотирикутник, що не вивчається в школі. Показати застосування чотирикутників у роботах художників-абстракціоністів ХХ ст. та в архітектурі країн світу;
Розвивати логічне мислення учнів, пам’ять, уяву, увагу, привчати до пошуку різних способів доведення;
Виховувати творчу активність, пізнавальну самостійність та культуру математичного мовлення.

Обладнання: демонстраційні таблиці, презентація.

«Геометрія – це прообраз краси світу»

(І. Кеплер)

Перебіг уроку

І. Мотивація навчальної діяльності

Учитель. Важко уявити собі життя без чотирикутників. Розгляньте предмети побуту, окремі конструкції будівель, зайдіть до супермаркету чи в картинну галерею, — і ви побачите безліч речей у вигляді чотирикутників.

Художники ХХ ст.. Джозеф Альберс – видатний американський мистецтвознавець-абстракціоніст, французький художник Вазарелі, голландський мистецтвознавець Тео ван Дусбург, російський художник (дитинство та юнацькі роки якого пройшли на Україні) К.Малевич, стали початківцями створеного ними напряму в абстрактному мистецтві – супрематизму (від латинського слово supremus, що означає «найвищий»).

Супрематизм – комбінування зафарбованих найпростіших фігур: квадрат, трикутник, прямокутник, коло.

Демонстрація картин

Дж. Альберс. Дань поваги серії квадратів. 1958р. (Найбільш відомими роботами художника є серія картин, на яких зображено квадрати, написані чистими кольорами).

Вазарелі. Марсан. 1962р. (Композиція, що побудована виключно на простих геометричних фігурах. Елементи картини утворюють врівноважену за кольором і формою композицію).

Тео ван Дусбург. Арифметична композиція. 1930р. (Під час створення простої арифметичної композиції художник використав простий математичний розрахунок: сторони кожного квадрата та відстані між ними дорівнюють половині виміру попереднього квадрата).

Казимир Малевич. Супрематизм. 1915р. (Композиція в дусі супрематизму. Чорний квадрат. 1913р.)

15 грудня 1920 року на Марсовому полі, в одному з художніх салонів відкрилася виставка, на якій Малевич вперше показав 49 супрематичних полотен. «Супрематизм – початок нової культури, — писав він. Ключі супрематизму ведуть мене до відкриття нового, ще неосмисленого. Новий мій живопис не належить виключно Землі. Дивлюсь на Землю неначе з Космосу. При цьому погляді предметність ніби розпливається, рветься зв’язок з напрямом. Виникає самостійний світ…»

Супрематизм значно вплинув на розвиток декоративно оздоблювального мистецтва та стиль меблів, посуду, одягу, зачісок і навіть на оформлення друкованих видань та виготовлення різнокольорової тари, що має чотирикутні форми.

В Україні та ряді інших країн світу супрематизм вплинув на розвиток конструктивізму в архітектурі. Підтвердженням є архітектурні споруди 20-30рр. ХХ ст.. у Києві, Москві, Петербурзі, Нью-Йорку. Це палаци, музеї, картинні галереї (продемонструвати).

Автовокзал

Адмінбудівля

Палац культури

ІІ. Актуалізація опорних знань

Гра «Острів правильних та неправильних відповідей» (перевірка теоретичних знань)

Чи правильні твердження?

Діагоналі ромба рівні. (ні)
Якщо протилежні сторони чотирикутника рівні, то він паралелограм. (ні)
У ромба протилежні кути рівні. (так)
У паралелограма всі сторони рівні. (ні)
Діагоналі паралелограма рівні. (ні)
У прямокутника всі кути прямі. (так)
Сума протилежних кутів паралелограма 180⁰. (ні)
У ромба сума кутів, що прилягають до однієї сторони – 180⁰. (так)
Діагоналі квадрата і прямокутника рівні. (так)
У паралелограма діагоналі є бісектрисами його кутів. (ні)
У прямокутника діагоналі взаємно перпендикулярні. (ні)
Діагоналі ромба є бісектрисами його кутів. (так)
Діагоналі паралелограми точкою перетину діляться навпіл. (так)
Якщо діагоналі паралелограма рівні, то він прямокутник. (так)
Діагоналі ромба взаємно перпендикулярні. (так)
У прямокутника всі сторони рівні. (ні)
Квадрат – це ромб з прямими кутами. (так)
Середня лінія трикутника паралельна третій стороні. (так)
Діагональ прямокутника ділить його на два рівних трикутника. (так)
Середня лінія трапеції паралельна основам і дорівнює їх півсумі. (так)

Учитель. З метою повторення основних властивостей та ознак чотирикутників, що вивчалися, пропоную розв’язати задачі за малюнками:

Дати означення та назвати основні властивості геометричних фігур:

квадрат

паралелограм

ромб

прямокутник

Довести ознаку паралелограма двома способами (за малюнком)
Дано: АВСД – чотирикутник
ВС=АД, ВС‖АД
Довести, що АВСД — паралелограм

С
В
Дано: АВСД – прямокутник
АВ=3м, ВО=5м
Знайти: АС -? Р АОВ- ?
,
О
А

Сума двох кутів паралелограма 76⁰. Знайти градусні міри всіх кутів паралелограма.
Дано: АВСД – ромб
ВСД = 50⁰
Знайти: ДАС- ?
?
Д
С
В
А

Розв’язати задачу на прямокутнику:

Знайти: S прямокутника — ?

Р = 80см

6а

2а

Розв’язати задачу на трапеції, якщо ОД‖МN‖КР.

OD – середня лінія трапеції

М N = 18м, КР = 26м

Знайти: OD — ?

ІІІ. Осмислення та вивчення нових знань

Учитель. Додому вам було завдання дослідити ще один вид чотирикутників з попарно рівними сусідніми сторонами. Як називається такий вид чотирикутників та назвати його властивості.

Відшукайте такі чотирикутники на малюнках:

9 9

14 14

Означення дельтоїда

Дельтоїд — це чотирикутник, що володіє двома парами сусідніх сторін однакової довжини.
На відміну від паралелограма, рівними є не протилежні, а саме дві пари сусідніх сторін.

Дельтоїд має форму, схожу на

повітряного змія.

Опуклий та неопуклий дельтоїд

Властивості дельтоїда:

У дельтоїда внутрішні кути між сторонами нерівної довжини рівні.
Діагональ дельтоїда, що з’єднує дві вершини нерівних кутів лежить на бісектрисах нерівних кутів.
Діагональ дельтоїда, що з’єднує дві вершини рівних кутів, являється основою двох рівнобедрених трикутників, на які вона розділяє дельтоїд.
Діагональ дельтоїда, що з’єднує дві вершини рівних кутів, утворює з рівними сторонами дельтоїда рівні кути.
Діагоналі дельтоїда перетинаються під прямим кутом і розділяють його на дві пари рівних прямокутних трикутники.

∆ δ – дельта буква грецького алфавіту. За формою цієї букви отримали назву дельтоїд, дельтовидний м’яз, дельтаплан.

Дельтаплан – літальний апарат важчий за повітря, виконаний за схемою безхвостка зі стріловидним крилом, управління польотом якого виконується зміщенням центра маси за рахунок переміщення пілота відносно точки підвіски (балансу планера). Характерна особливість – старт з ноги і посадка на ноги.

ІV. Закріплення набутих знань

Задача. Доведіть, що середні лінії ∆АВС, ∆ВСD, ∆DAB, ∆АСD утворюють прямокутник.

Доведення

NK‖AC і MP‖AC  NK‖MP
NK= AC; MP = AC;  NK = MP
KP‖BD і NM‖BD  KP‖NM
KP=BD; MN = BD;  KP = MN

Отже, чотирикутник MNKP – прямокутник, що й треба було довести.

V. Підсумок уроку

Учитель. Геометрія – це не тільки школа логічного мислення, але й джерело , що сприяє розвитку асоціативного мислення. Кожен з вас намалюйте геометричну фігуру, що вам до вподоби: або квадрат, або прямокутник.

Квадрат. Символізує такі позитивні риси характеру людини як потреба довести справу до кінця, терпіння, методичність, впорядкованість. Хто обирає квадрат, — спроможні концентруватися на головній меті.

Прямокутник. Свідчить про перехідний стан особистості, невпевненість, непослідовність, але водночас відкритість до нових ідей, цікавість та сміливість. Вибір прямокутника, як правило, свідчить, з одного боку, про низьку самооцінку, а з іншого боку — про довірливість.

VІ. Домашнє завдання

Повторити §§1-9, запитання 1-12 на стр.76, тестові завдання №3 на стр.77.

25 запаморочливих прикладів романської архітектури, які повинен побачити кожен

Для архітектурного стилю, який зародився в середньовічній Європі, характерні напівкруглі арки, які відрізняються від готичних стрілчастих. Оскільки приклади романської архітектури можна зустріти по всьому європейському континенту, цей стиль часто розглядається як перший пан-європейський архітектурний стиль з часів Римської імперії. Крім напівкруглих арок, напрям відрізняється масивними формами, товстими стінами, міцними опорами, хрестовими склепіннями і великими баштами. З 6 по 10 століття більшість церков і монастирів у Європі будувалося саме в цьому величному стилі. Ми відібрали для вас 25 найкращих і вражаючих прикладів романського стилю в архітектурі, які просто необхідно побачити!

Собор Успіння Діви Марії, Гурк, Австрія. 12 століття

25 запаморочливих прикладів романської архітектури, які повинен побачити кожен

Ця базиліка вважається однією з найбільш важливих романських будівель в країні. Вона має дві вежі, три апсиди, склеп і галереї.

Собор Нотр-Дам, Турне, Бельгія. 17 століття

З 1936 року вважається головною визначною пам’яткою і спадщиною Валлонії. Неможливо не відзначити важкий і серйозний характер споруди, романський неф і кластер з п’яти дзвіниць і напівкруглих арок.

Ротонда св. Лонгіна, Прага. 12 століття

Заснована в якості парафіяльної церкви в невеликому селі біля Праги, вона була майже зруйнована на початку 19 століття, але відновлена пізніше.

Собор Святого Трофима, Арль, Франція. 15 століття

Один з найбільш важливих прикладів романської архітектури у Франції.

Сен-Савен-сюр-Гартамп, Франція. Середина 11 століття

Церква, яка увійшла до списку об’єктів Всесвітньої спадщини ЮНЕСКО в 1983 році, має квадратну вежу і п’ять променевих капел з багатокутною апсидою.

Бамберзький кафедральний собор, Бамберг, Німеччина. 13 століття

Церква, заснована в 1012 році імператором Генріхом II, відома своїми чотирма великими баштами. Собор був частково зруйнований пожежею у 1081 році, але відновлений до 1111 року.

Собор у Клонферте, Ірландія. 12 століття

чотирикутник — с украинского на все языки

чотирикутник — а, ч. Геометрична фігура, ламана гранична лінія якої утворює чотири кути. || у знач. присл. чотирику/тником. У формі такої фігури. || Простір, предмет у формі такої фігури … Український тлумачний словник

чотирикутник — іменник чоловічого роду … Орфографічний словник української мови

антипаралелограм — а, ч., мат. Плоский непростий чотирикутник, який має одну вісь симетрії; контрпаралелограм … Український тлумачний словник

дельтоїд — а, ч., мат. Опуклий чотирикутник, який має лише одну вісь симетрії, що містить його діагональ … Український тлумачний словник

клітка — и, ж. 1) Закрите приміщення для птахів, тварин і т. ін. із стінками з металевих або дерев яних прутів. || розм. Про маленьку, тісну кімнату або хату. •• Грудна/ клі/тка верхня частина кістяка людини й тварини, що складається з груднини, грудних… … Український тлумачний словник

паралелограм — а, ч. Чотирикутник, протилежні сторони якого рівні й паралельні. •• Паралелогра/м сил фіз. геометрично побудований паралелограм, сторони якого зображають дані дві сили, а діагональ – рівнодійну силу … Український тлумачний словник

прямокутник — а, ч. Чотирикутник, у якого всі кути прямі. || Який має форму такого чотирикутника … Український тлумачний словник

тетрагон — а, ч. Чотирикутник … Український тлумачний словник

трапеція — ї, ж. 1) мат. Чотирикутник, у якому дві протилежні сторони (основи) паралельні, а дві інші (бічні) – не паралельні. || Про те, що схоже на цю геометричну фігуру. 2) спорт. Гімнастичний прилад, що складається з горизонтальної поперечки, підвішеної … Український тлумачний словник

чотирикутний — а, е. Який має чотири кути. || Який формою нагадує чотирикутник … Український тлумачний словник

квадр — (лат. чотирикутник) Обтесаний з шести боків камінь чіткої призматичної форми. Інколи чільний бік набував форму піраміди. Мурування К. було введено античними греками, які розглядали його як елемент пропорційної системи, завдяки чому стіна набувала … Архітектура і монументальне мистецтво

Узагальнюючий урок по темі «Чотирикутники» (8 клас)

Розробка уроку з геометрії 8 клас

Тема: Узагальнення та систематизація вивченого матеріалу розділу «Чотирикутники» (частина 2)

(підручник: Геометрія. 8 клас Автори: А. П. Єршова, В.В. Голобородько, О.Ф. Крижановський, С.В. Єршов Харків АН ГРО ПЛЮС 2008 § 5-8 )

Вчитель: Назаров Олександр Васильович

вчитель вищої категорії, вчитель Новоолександрівської ЗОШ І-ІІІ ст. Вовчанської районної ради Харківської області

Мета: 1. Повторити, систематизувати та узагальнити знання щодо змісту:

означення, ознак та властивостей трапеції;
теореми Фалеса;
означення та властивостей кутів у колі;
означення вписаних та описаних чотирикутників, їх властивостей та ознак.

Повторити, систематизувати та узагальнити вміння застосовувати вивчені твердження для:

виконання геометричних об’єктів за даним описом;
«читання задач — рисунків»;
побудови правильних міркувань під час розв’язування задач різних типів.

2. Розвивати пам’ять, мислення, мову, пізнавальний інтерес, розумові операції.

3. Виховувати культуру математичних міркувань, та записів, сприяти в учнів інтересу до предмету.

Обладнання:

1. кросворд

2. портрети, ілюстрації

3. комп’ютерна презентація за програмою Pоwer Point

Тип уроку: узагальнення знань, умінь, навичок

Форма уроку: прес –конференція математиків

ХІД УРОКУ:

Організаційний момент. Постановка мети уроку.

( слайди 1,2)

Девіз уроку. Читають хором.

(слайд 3)

(слайди 4, 5 )

Вчитель: На прес-конференції присутні журналісти (учні класу) з різних газет та журналів (наприклад, «У світі математики», «Математика», «Новини геометрії», «Математична магістратура», «Скринька пана Така», «Вісті вектора», «Математична скринька», «Учені сучасності», «Піфагорові учні сьогодення», «Математика в школах України», « Відкритий урок: розробки, технології, досвід» та. ін.).

Учні — журналісти ставлять запитання від газет та журналів по черзі членам президії, які мають дати усні відповіді, супроводжуючи їх малюнками та оформити опорний конспект на дошці.

До президії обирають сім учнів класу, яким можна присвоїти учені звання — магістр, кандидат, доктор фізико-математичних наук, президент освітянської корпорації, заслужений учитель України, учень-вундеркінд тощо ( в майбутньому…). Учені звання записують на візитках, які розміщують на столі перед кожним членом президії.

І. Повторення вивченого матеріалу:

Запитання журналістів:

1. Що називається трапецією?

2. Що називається прямокутною трапецією?

3. Що називається рівнобедреною трапецією?

4. Сформулюйте властивість рівнобедреної трапеції?

5. Сформулюйте ознаку рівнобедреної трапеції.

6. Сформулюйте теорему Фалеса.

7. Сформулюйте означення середньої лінії трикутника.

8. Сформулюйте означення середньої лінії трапеції.

9. Сформулюйте властивість середньої лінії трикутника.

10. Сформулюйте властивість середньої лінії трапеції.

11. Сформулюйте означення центрального кута в колі.

12. Як пов’язана градусна міра дуги кола з градусної мірою відповідного центрального кута?

13. Сформулюйте означення вписаного кута в колі.

14.Сформулюйте теорему про вписаний кут.

15.Сформулюйте три наслідки теореми про вписаний кут.

16. Сформулюйте означення, який чотирикутник є вписаним в коло.

17. Назвіть властивості вписаного чотирикутника.

18. Сформулюйте ознаки вписаного чотирикутника.

19. Який чотирикутник називається описаним навколо кола.

20. Сформулюйте властивості описаного чотирикутника?

21. Сформулюйте ознаки описаного чотирикутника.

ІІ. Розв’язування задач: Учні розв’язують задачі – рисунки

(слайди 6-8)

(слайди 9-10)

(слайд 11)

Матеріал про вписані та описані чотирикутники. (слайди 12- 13)

Розв‘язування задач: ( слайди 14- 21)

Хвилинка релаксії (супроводжується музичним твором). (слайд19)

Задача розв’язується письмово біля дошки.

ІІІ. Узагальнення вивченого матеріалу:

1.Розв’язати кросворд:

(слайд 23)

Завдання:

1)….. кутом у колі називається плоский кут із вершиною в центрі кола

(Центральним)

2) Чотирикутник називається … навколо кола, якщо всі його сторони дотикаються до цього кола

(Описаним)

3) Ім’я вченого, який довів теорему про паралельні прямі, які перетинають сторони кута

(Фалес)

4) Середня лінія трикутника паралельна одній з його сторін і дорівнює цієї сторони

(Половині)

5) Вписаний кут вимірюється половиною …., на яку він спирається

(Дуги)

6) Чотирикутник, у якого дві сторони паралельні, а дві інші не паралельні

(Трапеція)

7) Вписані кути що спираються на одну дугу, …

(Рівні)

8) Якщо ви все виконали, то ви…

(Молодці)

2. Що я вивчив на уроці, повторив, закріпив, узагальнив…

(слайд 24)

ІY. Домашнє завдання: §8, п.8.1, 8.2. прочитати п. 8.3. № 282, 258 (2)

(слайд 25)

Y. Підсумок уроку. Оцінки, їх мотивація. (слайд 26)