Что такое асимметрия и симметрия – Асимметрия (в искусстве) — это… Что такое Асимметрия (в искусстве)?

Симметрия Википедия

Равнобедренный треугольник с зеркальной симметрией. Пунктирная линия является осью симметрии Рисунок бабочки с двусторонней симметрией

(др.-греч. συμμετρία = «соразмерность»; от συμ- «совместно» + μετρέω «мерю»), в широком смысле — соответствие, неизменность (инвариантность), проявляемые при каких-либо изменениях, преобразованиях (например: положения, энергии, информации, другого). Так, например, сферическая симметрия тела означает, что вид тела не изменится, если его вращать в пространстве на произвольные углы (сохраняя центр на месте и если поверхность тела однородна). Двусторонняя симметрия означает, что правая и левая сторона относительно какой-либо плоскости выглядят одинаково.

Симметрия - основополагающий принцип самоорганизации материальных форм в природе и формообразования в искусстве[1]. Отсутствие или нарушение симметрии называется асимметрией или диссимметрией

[2].

Общие симметрийные свойства описываются с помощью теории групп.

Симметрии могут быть точными или приближёнными.

Симметрия в геометрии[ | ]

Два треугольника с точечной симметрией отражения в плоскости. Треугольник А’В’С может быть получен из треугольника ABC поворотом на 180 ° вокруг точки O. Simetria-rotacion.svg

Геометрическая симметрия — это наиболее известный тип симметрии для многих людей. Геометрический объект называется симметричным, если после того как он был преобразован геометрически, он сохраняет некоторые исходные свойства. Например, круг, повёрнутый вокруг своего центра, будет иметь ту же форму и размер, что и исходный круг. Поэтому круг называется симметричным относительно вращения (имеет осевую симметрию). Виды симметрий, возможных для геометрического объекта, зависят от множества доступных геометрических преобразований и того, какие свойства объекта должны оставаться неизменными после преобразования.

Виды геоме

асимметрия - это... Что такое асимметрия?

        АСИММЕТРИЯ (от лат. asymmetria — несоразмерность) — характеристика системы, изменяющей свое исходное состояние (положение) в зависимости от пространственного переноса, поворота; а также систем, в которых проводится различение правого и левого. В асимметричной системе одна сторона может функционально доминировать по отношению к другой; такую систему называют еще киральной или хиральной (от греч. ) ( e i p — ручной, т. е. отличающий правое от левого и путающий их).

        Первые утверждения, что в мире есть «правое и левое», исходили от пифагорейцев. Аристотель в трактате «О Небе» (кн. 2, гл. 2) связал правую и левую стороны — наряду с «верхом и низом», «передом и тылом» — с темой возвращения Вселенной к исходному равновесию и гармонии. Это разделение в полной мере присуще только Универсуму, а также тем вещам, которые «содержат причину в самих себе». За основу Аристотель взял движение звезд, или «вращение Неба». Так, если «правильно» сориентироваться между «верхней» и «нижней» частями Вселенной, то правой будет сторона, где восходят звезды, а левой — где звезды заходят. Движение звезд, по Аристотелю, представляется восстановлением нарушенного равновесия Космоса, поэтому левая сторона имеет «более высокое достоинство», чем правая, так как указывает направление движения к некоторой фиксированной точке — «естественному месту» во Вселенной. Однако отдельные вещи, находящиеся в окружении человека, не имеют внутреннего, присущего звездам различения сторон. В этом случае правое и левое устанавливаются путем соотнесения с представлениями людей.

        И. Кант анализировал А. на примере невозможности взаимного замещения двух «вполне одинаковых» предметов, напр., правой руки и ее зеркального отображения, которое представляется как левая рука («Пролегомены...». §13). По Канту, мы не можем осуществить какое-то внутреннее различение этих не замещаемых друг другом одинаковых предметов, так как истинный коррелят в вещах самих по себе не может быть познан. Поэтому А. рассматривается им как явление, возможность которого вытекает из соединения априорных форм чувственности с непосредственным созерцанием. Таким образом, в аристотелевской телеологии А. представляется онтологически — как нарушенная гармония
Универсума,
и гносеологически — как разделение сторон предметов по усмотрению самого человека. В кантовском трансцендентальном идеализме А. рассматривается как парадокс, возникающий в отношении неизвестных самих по себе вещей и априорных форм нашего чувственного восприятия.

        А. часто противопоставляется симметрии, а сама оппозиция «симметрия—асимметрия» рассматривается в качестве одного из эпистемологических принципов. Выявление тождественных отношений среди различных объектов здесь выступает как идеализированная цель познания, интуитивно связанная со стремлением к порядку и гармонии. Если принять за симметрию теоретической системы ее тождественность себе и инвариантность по отношению к описываемым объектам и явлениям, то развитие научного знания представляется как движение от А. к симметрии в познании. Такой подход воплощал в себе идеалы классического естествознания. Он широко представлен в различных каузально-детерминистских моделях знания конца 19 — середины 20 вв.

        Эпистемологическая трактовка А. распространяется на широкий спектр понятий, категорий, явлений и объектов. Рассматриваются различные виды А.: сторон противоречий, добра и зла, доказательства и опровержения, тендерных отношений, полушарий головного мозга и др. На эмпирическом уровне отмечают функциональную А. левых и правых конечностей у человека. Установлено, к напр., что доминирование правшей примерно одинаково у всех народов и не зависит от культурного уровня. Нечто подобное обнаруживается в растительном и животном мире: по обе стороны экватора за редким исключением доминируют правоспиральные раковины, все вьющиеся растения (за исключением жимолости) закручиваются как правый винт. Спиральная структура живых организмов обнаружена и на уровне бактерий.

        Примерно с 20-х гг. 20 в. А. стала рассматриваться учеными как данность в каждой конкретной области науки. По мере развития научного знания все четче очерчивался ее онтологический статус. А. обнаруживается в молекулярных структурах основных носителей жизни, в химических реакциях, в атомных и ядерных взаимодействиях.

        А. живого. В 1848 Луи Пастер исследовал под микроскопом одну из солей винной кислоты. Он разделил два типа кристаллов, растворил их в воде и, пропустив через растворы луч света, обнаружил, что в одном растворе плоскость поляризации вращалась по часовой стрелке, в другом — в обратном направлении. Позже, в 1857, он установил, что оптически нейтральный (не вращающий плоскость поляризации) «неживой» раствор становится оптически активным после того, как в нем вырастает плесень. Был сделан вывод, что химические процессы в живых организмах асимметричны: в них доминируют оптические L- или D изомеры (от лат. Levo — левый и Dextro—правый). В современной литературе для обозначения асимметричности правого и левого используется термин «зеркальная асимметрия», а для L- и D-изомеров — «левые» «правые» молекулы.

        В 20 в. было установлено, что оптические изомеры имеют практически все молекулы основных носителей жизни — белков и нуклеиновых кислот. Так, белки построены из L-аминокислот и только в редких случаях содержат D-аминокислоты, которым отводится особая биологическая роль. Молекулы нуклеиновых кислот ДНК и РНК включают только оптический D-изомер сахара. Оказалось, что от выстроенных таким образом пространственных структур зависят каталитические способности ферментов всего живого. Свойства киральности белков и нуклеиновых кислот (L-аминокислот и D-сахаров) тесно связаны друг с другом в процессе репликации (воспроизведения) всего живого и составляют самую эффективную из возможных комбинаций. Известно также, что химические процессы в живом организме вследствие киральности основных биомолекул очень чувствительны к оптической изометрии синтезированных компонентов лекарств и продуктов. Вместе с тем вопросы, почему в составе белков обнаруживаются только L-аминокислоты, а в нуклепротеидах — D-caxapa, и как это произошло, остаются до сих пор без убедительного ответа.

        А. на субъядерном и атомарном уровнях. Известно, что электромагнитные взаимодействия сохраняют четность, когда с одинаковой вероятностью происходят прямые процессы и их зеркальные отображения. В 1950-х было обнаружено, что слабые ядерные взаимодействия четность не сохраняют. Оказалось, что процесс испускания бета-частиц при радиоактивном распаде зеркально асимметричен: левые электроны намного превосходят правые по числу (электроны квалифицированы как левые или правые в зависимости от движения: вдоль направления спина или против него). При бета-распаде также обнаружена зеркальная А. электрически нейтральных частиц — нейтрино и антинейтрино. Во Вселенной пока не найдены правые нейтрино и левые антинейтрино. Разработанная в 1970-х теория объединения электромагнитного и слабого взаимодействий (С. Вайнберг, А. Салам, Ш. Глешоу) позволила выдвинуть гипотезу, согласно которой атомы и молекулы, которые прежде считались зеркально симметричными, могут приобретать киральность. В последующем эта гипотеза получила экспериментальное подтверждение.

        Исследования 1980-х (С. Мейсон и Дж. Трантер) были направлены на установление влияния А., вызванной слабыми взаимодействиями, на энергии молекул, когда энергия одного из оптических изомеров возрастает, а другого — уменьшается. Этот расчет позволил выдвинуть аргумент в пользу обоснования на субатомном уровне количественного превосходства L-аминокислот. Однако установленное экспериментально количественное превосходство L- над D-изомерами очень мало и соответствует примерно 1:1010. Такое ничтожно малое различие оставляет открытым вопрос о влиянии слабых ядерных взаимодействий на установившийся на Земле тип ки-ральности живых организмов.

        А. и вопрос происхождения жизни на Земле. Одной из аксиом современной биологии следует считать утверждение: любая научная гипотеза, объясняющая происхождение жизни, должна включать в себя объяснение условий, при которых из первоначально симметричной системы возникла кирально чистая система. Когда и как произошел переход к киральной чистоте биомолекул, определившей существующую форму жизни?

        На вопрос «когда?» дается три варианта ответов. Согласно первому, А. возникла уже на стадии химической эволюции от неживого к живому, согласно второму — на промежуточном уровне сложности между химическим и биологическим, согласно третьему — киральность появилась позже, на стадии биологической эволюции. Каждый из подходов имеет специфические проблемы обоснования. Так, если А. возникла на уровне химических реакций, то является ли она необходимым условием появления жизни? И почему тогда природой выбран именно этот вариант и отсутствуют его антиподы? Гипотеза о возникновении А. на биологической стадии эволюции также требует ответа на вопрос: каким образом киральная жизнь стала артефактом процессов жизнедеятельности?

        Большинство ученых отмечают чрезвычайно малую вероятность первого варианта — перехода к А. на уровне химических реакций. Второй, промежуточный, вариант, разрабатываемый Д.С. Чернавским, основан на гипотезе, что кирально чистые гиперциклы обеих форм возникли, когда ДНК не выполняли еще полноценно биологическую функцию (кодирование), но уже выполняли химическую функцию (гетерогенный катализ), обладающую свойством биологической специфичности. Третий вариант указывает на решающую роль биологического цикла и строится на двух основных предположениях: 1) первая клетка в «первичном бульоне» полностью состояла из L-аминокислот, либо в ней случайно возник их небольшой избыток, а эволюционный отбор благоприятствовал этой форме жизни; 2) спонтанное нарушение симметрии, которое привело к существующей киральной однородности, произошло во многих местах зарождения жизни. Согласно последней позиции, которой придерживаются Р. Хегстрем и Д. Кондепуди, жизнь возникла как в L -, так и в D-формах. D-форма «вымерла» в итоге межвидовой борьбы за существование.

        Общей для всех вариантов проблемой является установление причин нарушения симметрии. Теоретические модели, реконструирующие процесс нарушения симметрии (отвечающие на вопрос «как?»), строятся либо на основании представлений о спонтанной самоорганизации, либо на принятии в расчет влияния внешних несимметричных воздействий, либо на суммирующем эффекте того и другого. Одним из первых проблему спонтанного нарушения симметрии сформулировал в 1970-х Л.Л. Морозов. В дальнейшем на основе теории самоорганизации е е разработка осуществлялась В. И. Гольданским, В. А. Аветистовым, В. В. Кузьминым, Д.С. Чернавским и др. Состояние симметрии между двумя видами молекул неустойчиво для открытых систем. Вследствие этого могла возникнуть как химическая, так и биологическая А., т. е. неравное количество L- и D-форм. И как только численность одних превысила численность других, система самопроизвольно эволюционировала в сторону асимметричного состояния. Предпочтение одной формы жизни перед другой в этом случае определяется случайной статистической флуктуацией.

        Нарушение симметрии могли также вызвать внешние несимметричные воздействия. Это — влияние киральных минералов (напр., кварца) и циркулярно поляризованного света. Особое место в рамках этой гипотезы отводится потокам нейтрино, возникающим при взрыве сверхновых звезд. Не сохраняющие четность слабые взаимодействия могли благоприятствовать киральности биомолекул. Хотя многие ученые считают, что столь слабым влиянием можно пренебречь, выдвигаются и доводы, что малое внешнее воздействие может запускать спонтанный процесс и тем самым определять выбор конечного состояния.

        Прогресс в познании роли А. на всех уровнях реальности позволяет рассматривать как великое научное предвидение слова Пастера: «Жизнь, открытая нам, есть продолжение асимметрии мира и ее следствий... Я даже думаю, что все виды жизни в изначальной своей структуре, в своих внутренних формах являются порождением космической асимметрии».

        Е.Н. Ивахненко

        Лит.: Аристотель. Гарднер М. Этот правый, левый мир. М, 1967; О Небе // Соч.: В 4 т. Т. 3. М., 1981; Бушья М.-А., Потье Л. Несохранение четности в атомных системах // В мире науки. 1984. № 8; Морозов ЯЛ. Поможет ли физика понять, как возникла жизнь ? // Природа. 1984. № 12; Хегстрем Р., Кондепуди Д. Зеркальная асимметрия Вселенной // В мире науки. 1990. № 3; Аветистов В.А., Гольданский В.И. Физические аспекты нарушения зеркальной симметрии биоорганического мира // Успехи физических наук. 1996. Т. 166. № 8; Чернавский Д.С. Проблема происхождения жизни с точки зрения современной физики // Успехи физических наук. 2000. Т. 170. №2.

Энциклопедия эпистемологии и философии науки. М.: «Канон+», РООИ «Реабилитация». И.Т. Касавин. 2009.

Симметрия - это... Что такое Симметрия?

Симме́три́я (др.-греч. συμμετρία «соразмерность», от μετρέω — «меряю»), в широком смысле — соответствие, неизменность (инвариантность), проявляемые при каких-либо изменениях, преобразованиях (например: положения, энергии, информации, другого). Так, например, сферическая симметрия тела означает, что вид тела не изменится, если его вращать в пространстве на произвольные углы (сохраняя одну точку на месте). Двусторонняя симметрия означает, что правая и левая сторона относительно какой-либо плоскости выглядят одинаково.

Отсутствие или нарушение симметрии называется асимметри́ей[1] или аритмией.[2]

В математике — симметрийные свойства описываются с помощью теории групп.

Симметрии могут быть точными или приближёнными.

Список симметрий

Типы симметрий, встречающиеся в математике и в естественных науках:

Симметрия в науке

Симметрии в физике

В теоретической физике, поведение физической системы описывается некоторыми уравнениями. Если эти уравнения обладают какими-либо симметриями, то часто удаётся упростить их решение путём нахождения сохраняющихся величин (интегралов движения). Так, уже в классической механике формулируется теорема Нётер, которая каждому типу непрерывной симметрии сопоставляет сохраняющуюся величину. Из неё, например, следует, что инвариантность уравнений движения тела с течением времени приводит к закону сохранения энергии; инвариантность относительно сдвигов в пространстве — к закону сохранения импульса; инвариантность относительно вращений — к закону сохранения момента импульса.

Симметрии в биологии

Сложные узоры на крыльях бабочки являются одним из примеров двусторонней симметрии

Симметрия в биологии — это закономерное расположение подобных (одинаковых) частей тела или форм живого организма, совокупности живых организмов относительно центра или оси симметрии. Тип симметрии определяет не только общее строение тела, но и возможность развития систем органов животного. Строение тела многих многоклеточных организмов отражает определённые формы симметрии. Если тело животного можно мысленно разделить на две половины, правую и левую, то такую форму симметрии называют билатеральной. Этот тип симметрии свойственен подавляющему большинству видов, а также человеку. Если тело животного можно мысленно разделить не одной, а несколькими плоскостями симметрии на равные части, то такое животное называют радиально-симметричным. Этот тип симметрии встречается значительно реже.

Асимметрия — отсутствие симметрии. Иногда этот термин используется для описания организмов, лишённых симметрии первично, в противоположность диссимметрии — вторичной утрате симметрии или отдельных её элементов.

Понятия симметрии и асимметрии альтернативны. Чем более симметричен организм, тем менее он асимметричен и наоборот. Небольшое количество организмов полностью асимметричны. При этом следует различать изменчивость формы (например у амёбы) от отсутствия симметрии. В природе и, в частности, в живой природе симметрия не абсолютна и всегда содержит некоторую степень асимметрии. Например, симметричные листья растений при сложении пополам в точности не совпадают.

Симметрия в химии

Основная статья: Симметрия молекул

Симметрия важна для химии, так как она объясняет наблюдения в спектроскопии, квантовой химии и кристаллографии.

Симметрия в истории, религии и культуре

Симметрия в религиозных символах

Предполагается, что тенденция людей видеть цель в симметрии, является одной из причин, почему симметрия часто является неотъемлемой частью символов мировых религий. Вот лишь некоторые из многих примеров, изображённые на рисунке справа.

Симметрия в социальных взаимодействиях

Люди наблюдают симметричную природу (также включающую асимметричный баланс) социального взаимодействия в различных контекстах. Они включают оценки взаимности, эмпатии, извинения, диалога, уважения, справедливости и мести. Симметричные взаимодействия посылают сигналы «мы одинаковые», а асимметричные взаимодействия выражают мысль «я особый, лучше, чем ты». Взаимоотношения со сверстниками строятся на основе симметрии, а властные отношения — на асимметрии[3].

См. также

Примечания

Ссылки

Группы симметрии — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Группа симметрии (также группа симметрий) некоторого объекта (многогранника или множества точек из метрического пространства) ― группа всех движений, для которых данный объект является инвариантом, с композицией в качестве групповой операции. Как правило, рассматриваются множества точек n-мерного евклидова пространства и движения этого пространства, но понятие группы симметрии сохраняет свой смысл и в более общих случаях.

  • Группа симметрии отрезка в одномерном пространстве содержит два элемента: тождественное преобразование и отражение относительно середины отрезка. Но в двумерном евклидовом пространстве существует уже 4 движения, переводящих заданный отрезок в себя. В трехмерном пространстве отрезок обладает бесконечным множеством симметрий (элементами группы симметрии будут, в частности, повороты на произвольный угол вокруг прямой, содержащей этот отрезок).
  • Группа симметрии равностороннего треугольника на плоскости состоит из тождественного преобразования, поворотов на углы 120° и 240° вокруг центра треугольника и отражений относительно его высот. В этом случае группа симметрии состоит из 6 преобразований, которые осуществляют все возможные перестановки вершин треугольника. Следовательно, эта группа изоморфна симметрической группе S3. Однако группа симметрии квадрата имеет порядок 8, а симметрическая группа S4 изоморфна группе симметрии правильного тетраэдра.
  • Группа симметрии разностороннего треугольника тривиальна, то есть состоит из одного элемента ― тождественного преобразования.
  • Если считать, что человеческое тело зеркально симметрично, то его группа симметрии состоит двух элементов: тождественного преобразования и отражения относительно плоскости, которая делит тело на симметричные друг другу правую и левую части.
  • Произвольное периодическое замощение плоскости (или орнамент[1]) имеет группу симметрии, элементы которой всеми возможными способами совмещают некий фиксированный элемент замощения с каждым конгруэнтным ему элементом. Это частный (двумерный) случай кристаллографических групп, о которых сказано далее.
  • Группы симметрии решёток. В различных областях математики используются различные понятия решётки. В частности:
    • В физике твёрдого тела и теории кристаллографических групп кристаллическая решётка — это обладающее трансляционной симметрией множество точек аффинного пространства. Симметрии этого множества должны сохранять расстояние между точками, то есть быть движениями. Группа этих движений — это кристаллографическая группа (либо сюръективно гомоморфно отображается в кристаллографическую группу)[2].
    • В теории групп решётка — это группа, изоморфная Zn{\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}, с билинейной формой на ней (в трёхмерном евклидовом пространстве соответствует решётке Браве из теории кристаллографических групп с выделенным началом координат). Симметрии такой решётки должны быть автоморфизмами группы. Группа таких автоморфизмов, в отличие от кристаллографической группы, конечна, если билинейная форма решётки соответствует евклидову пространству[3].

Ниже предполагается, что для каждой точки x∈En{\displaystyle x\in \mathbb {E} ^{n}} множество образов {g(x)|g∈G}{\displaystyle \{g(x)|g\in G\}}, где G{\displaystyle G} — группа симметрии, топологически замкнуто.

Одномерное пространство[править | править код]

Каждое движение одномерного пространства является либо переносом всех точек прямой на некоторое фиксированное расстояние, либо отражением относительно некоторой точки. Множество точек одномерного пространства обладает одной из следующих групп симметрии:

  • тривиальная группа C1
  • группа, состоящая из тождественного преобразования и отражения относительно точки (изоморфна циклической группе C2)
  • бесконечные группы, состоящие из степеней некоторого переноса (изоморфны бесконечной циклической группе)
  • бесконечные группы, для которых образующими являются некоторый перенос и отражение относительно некоторой точки;
  • группа всех переносов (изоморфна аддитивной группе действительных чисел)
  • группа всех переносов и отражений относительно каждой точки прямой

Двумерное пространство[править | править код]

В двумерном случае группы симметрии делятся на следующие классы:

  • циклические группы C1, C2, C3, … состоящие из поворотов вокруг неподвижной точки на углы, кратные 360°/n
  • диэдральные группы D1, D2, D3, …
  • специальная ортогональная группа SO(2)
  • ортогональная группа O(2)
  • 7 групп бордюра
  • 17 группа орнамента (или плоских кристаллографических групп)
  • бесконечные группы, которые получаются из одномерных групп симметрии добавлением переносов вдоль направления, перпендикулярного исходной прямой
  • предыдущий пункт, к которому добавляется симметрия относительно исходной прямой.

Трехмерное пространство[править | править код]

Перечень конечных групп симметрии состоит из 7 бесконечных серий и 7 случаев, рассматриваемых отдельно. В этот перечень входят 32 точечные кристаллографические группы и группы симметрии правильных многогранников.

Непрерывные группы симметрии включают:

  1. ↑ В математике замощение пространства называется мозаикой или паркетом
  2. Pascal Auscher, T. Coulhon, Alexander Grigoryan. Heat Kernels and Analysis on Manifolds, Graphs, and Metric Spaces. — AMS, 2003. — P. 288. — ISBN 0-8218-3383-9.
  3. J. H. Conway and N. J. A. Sloane. Sphere Packings, Lattices and Groups. — 3rd ed. — Springer-Verlag New York, Inc., 1999. — P. 90. — ISBN 0-387-98585-9.

Коэффициент асимметрии — Википедия

Коэффицие́нт асимметри́и в теории вероятностей — величина, характеризующая асимметрию распределения данной случайной величины.

Пусть задана случайная величина X{\displaystyle X}, такая что E|X|3<∞{\displaystyle \mathbb {E} |X|^{3}<\infty }. Пусть μ3{\displaystyle \mu _{3}} обозначает третий центральный момент: μ3=E[(X−EX)3]{\displaystyle \mu _{3}=\mathbb {E} \left[(X-\mathbb {E} X)^{3}\right]}, а σ=D[X]{\displaystyle \sigma ={\sqrt {\mathrm {D} [X]}}} — стандартное отклонение X{\displaystyle X}. Тогда коэффициент асимметрии задаётся формулой:

γ1=μ3σ3{\displaystyle \gamma _{1}={\frac {\mu _{3}}{\sigma ^{3}}}}.
  • Неформально говоря, коэффициент асимметрии положителен, если правый хвост распределения длиннее левого, и отрицателен в противном случае.
  • Если распределение симметрично относительно математического ожидания, то его коэффициент асимметрии равен нулю.
  • Коэффициент эксцесса
  • Моменты случайной величины
Two red dice 01.svgЭто заготовка статьи по теории вероятностей. Вы можете помочь проекту, дополнив её.

Высшая симметрия — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Вы́сшая симме́трия (обобщённая симметрия) — одно из фундаментальных понятий раздела математики — группового анализа.

Высшую симметрию k-го порядка для дифференциального уравнения в частных производных вида

ut=f(u,ux,uxx,...),(1){\displaystyle u_{t}=f(u,u_{x},u_{xx},...),\,(1)}

можно определить как уравнение вида

uτ=ω(u,ux,uxx,...,uk),(2){\displaystyle u_{\tau }=\omega (u,u_{x},u_{xx},...,u_{k}),\,(2)}

такое, что дифференцирование уравнения (1){\displaystyle (1)} по τ{\displaystyle \tau } дает верное тождество:

(ut−f)τ|ut=f=0.(3){\displaystyle (u_{t}-f)_{\tau }|_{u_{t}=f}=0.\,(3)}

Иначе говорят, что дифференцирование (1){\displaystyle (1)} в силу уравнения (2){\displaystyle (2)} дает верное тождество. Вспомогательная независимая переменная τ{\displaystyle \tau } является аналогом группового параметра a{\displaystyle a} в классических симметриях.

Легко показать, что условие (3){\displaystyle (3)} можно записать в симметричном виде:

(ut)τ=(uτ)t.(4){\displaystyle (u_{t})_{\tau }=(u_{\tau })_{t}.\,(4)}

Для вычисления высших симметрий удобно применить оператор рекурсии. Например, уравнение Бюргерса

ut=uxx+2uux{\displaystyle u_{t}=u_{xx}+2uu_{x}}

допускает оператор рекурсии

R=Dx+u+u1Dx−1.{\displaystyle R=D_{x}+u+u_{1}D_{x}^{-1}.}

Важным вопросом при исследовании интегрируемости дифференциального уравнения является наличие бесконечной иерархии высших симметрий. Очень часто это свойство принимается за определение интегрируемого уравнения. Такое определение настолько эффективно, что позволяет классифицировать интегрируемые уравнения и отвечать на вопрос, является ли заданное уравнение интегрируемым.

  • Олвер П. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям. — М.: Мир, 1989. — 639 с.

About Author


admin

Отправить ответ

avatar
  Подписаться  
Уведомление о