Что такое асимметрия и симметрия – Асимметрия (в искусстве) — это… Что такое Асимметрия (в искусстве)?

Содержание

Осевая и центральная симметрия — урок. Математика, 6 класс.

Симметрия — слово греческого происхождения, как и многие другие слова, которые связаны с математикой. Оно означает соразмерность, наличие определённого порядка, закономерности в расположении частей. Смотря на объекты вокруг, мы не раз восклицаем: «Какая симметрия!»


Aksiala9.jpg 


Люди с давних времён использовали симметрию в рисунках, орнаментах, предметах быта, в архитектуре, художестве, строительстве.


Но симметрия широко распространена и в природе, где не было вмешательства человеческой руки. Её можно наблюдать в форме листьев и цветов растений, в расположении различных органов животных, в форме кристаллических тел, в порхающей бабочке, загадочной снежинке, морской звезде.

 

111.jpg

 

Пока рассмотрим две симметрии на плоскости: относительно точки и прямой.

Центральная  симметрия

Симметрию относительно точки называют центральной симметрией.

Точки M и M1 симметричны относительно

некоторой точки  \(O\), если точка \(O\) является серединой отрезка MM1.

Simetrija_c_punkti.png
Точка \(O\) называется центром симметрии.

 

Алгоритм построения центрально-симметричных фигур.

Simetrija_c.png

Построим треугольник A1B1C1, симметричный треугольнику \(ABC\) относительно центра (точки) \(O\):

 

1. для этого соединим точки \(A\), \(B\), \(C\) с центром \(O\) и продолжим эти отрезки;
2. измерим отрезки \(AO\), \(BO\), \(CO\) и отложим с другой стороны от точки \(O\) равные им отрезки AO=OA1;BO=OB1;CO=OC1;
3. соединим получившиеся точки отрезками и получим треугольник A1B1C1, симметричный данному треугольнику \(ABC\).

Фигуры, симметричные относительно некоторой точки, равны.

Фигура симметрична относительно центра симметрии, если для каждой этой точки фигуры симметричная ей точка также лежит на этой фигуре. Такая фигура имеет центр симметрии (фигура с центральной симметрией).

Есть фигуры с центральной симметрией, это, например, окружность и параллелограмм. У окружности центр симметрии — это её центр, у параллелограмма центр симметрии — это точка, в которой пересекаются его диагонали. Есть очень много фигур, у которых нет центра симметрии.

Осевая симметрия

Осевая симметрия — это симметрия относительно проведённой прямой (оси).

Точки M и M1 симметричны относительно некоторой прямой (оси симметрии), если эти точки лежат на прямой, перпендикулярной данной, и на одинаковом расстоянии от оси симметрии.

Simetrija_ass_punkti.png


 

Алгоритм построения фигуры, симметричной относительно некоторой прямой.


Simetrija_ass.png

 

Построим треугольник A1B1C1, симметричный треугольнику \(ABC\) относительно красной прямой:

 

1. для этого проведём из вершин треугольника \(ABC\) прямые, перпендикулярные оси симметрии, и продолжим их дальше на другой стороне оси.
2. Измерим расстояния от вершин треугольника до получившихся точек на прямой и отложим с другой стороны прямой такие же расстояния.
3. Соединим получившиеся точки отрезками и получим треугольник A1B1C1, симметричный данному треугольнику \(ABC\).

Фигуры, симметричные относительно прямой, равны.


Фигура считается симметричной относительно прямой, если для каждой точки рассматриваемой фигуры симметричная для неё точка относительно данной прямой также находится на этой фигуре. Прямая является в этом случае осью симметрии фигуры.

Иногда у фигур несколько осей симметрии:

  • для неразвёрнутого угла существует единственная ось симметрии — это биссектриса данного угла.
  • Для равнобедренного треугольника есть единственная ось симметрии.
  • Для равностороннего треугольника — три оси.
  • Для прямоугольника и ромба существуют две оси симметрии.
  • Для квадрата — целых четыре.
  • Для окружности осей симметрии бесчисленное множество — это каждая прямая, которая проходит через центр этой фигуры.
  • Есть фигуры без осей симметрии — это параллелограмм и треугольник, все стороны которого различны.

Осевая симметрия — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Осева́я симме́три́я — тип симметрии, имеющий несколько отличающихся определений:

  • Отражение. В евклидовой геометрии осевая симметрия — вид движения (зеркального отражения), при котором множеством неподвижных точек является прямая, называемая осью симметрии. Отсюда следует, что любой точке соответствует точка, находящаяся на том же расстоянии от оси симметрии, и лежащая на одной прямой с исходной точкой и их общей проекцией на ось симметрии[1][2]. Например, плоская фигура прямоугольник в пространстве осесимметрична и имеет 3 оси симметрии (две диагонали — в плоскости фигуры; если это не квадрат с двумя дополнительными осями — медиатрисами сторон), а параллелограмм общего вида имеет одну ось симметрии (проходящую через центр перпендикулярно плоскости).
  • Вращательная симметрия
    [3]. В естественных науках под осевой симметрией понимают вращательную симметрию[4] (другие термины — радиальная, аксиальная (англ. axial – осевой), поворотная, лучевая симметрии) относительно поворотов вокруг прямой. При этом тело (фигуру, задачу, организм) называют осесимметричными, если они переходят в себя при любом (например, малом) повороте вокруг этой прямой. В этом случае, прямоугольник не будет осесимметричным телом, но, например, конус будет.

Применительно к плоскости эти два вида симметрии совпадают (считаем, что ось тоже принадлежит этой плоскости).

В кристаллографии вводят также (осевую) симметрию некоторого порядка[5]:

  • Осевая симметрия n-го порядка — симметричность относительно поворотов на угол 360°/n вокруг какой-либо оси. Описывается группой Zn.
    • Тогда симметрия в первом смысле (см. выше) является осевой симметрией второго порядка, а во втором — ∞-го порядка, так как поворот на любой сколь угодно малый угол приводит к совмещению фигуры с самой собой. Примеры: шар, цилиндр, конус.
    • Оси симметрии 2-го, 3-го, 4-го, 6-го и даже 5-го порядка (кристаллы с непериодическим пространственным расположением атомов (мозаика Пенроуза)) можно наблюдать на примере кристаллов.
  • Зеркально поворотная осевая симметрия n-го порядка — поворот на 360°/n и отражение в плоскости, перпендикулярной данной оси.

Оси симметрии порядка выше 2-го называются осями симметрии высшего порядка.

Базовые операции формообразования

Под формообразованием понимаются различные частные приемы работы с архитектурной формой. В частности, только что рассмотренный нами деструктивный подход – тоже один из приемов формообразования. Однако можно обратить внимание, что этот метод включает несколько последовательных приемов. Для того, чтобы почувствовать все возможности формообразующих способов, желательно определить наиболее простые (базовые) операции. Тогда в дальнейшем мы можем далее соединять их по своим потребностям в более сложные, «агрегированные» формообразующие приемы. Не вдаваясь в подробности, скажем, что такими базовыми операциями являются: создание

копии композиционного элемента, его перемещение, поворот, зеркальное отображение, изменение размеров с сохранением пропорций элемента («масштабирование»), удаление (стирание) элемента. Для каждого из подобных преобразований существуют строгие математические описания. Тем не менее, выполнение этих операций возможно и на эмпирическом (опытном) уровне, а также на уровне мысленных представлений. Поэтому такие операции иногда называют «геометрией без формул». К ним необходимо добавить «парные» операции, т.е. такие, в которых участвует как минимум два объекта. Это
пересечение (врез), объединение (
иногда в учебниках по композиции этот прием называют «врез» или «врезка») и разность. Графические иллюстрации базовых операций формообразования представлены на рис. I.5. Отметим, что все эти пространственные операции в различных вариантах реализованы в компьютерных пакетах 2М и 3М графики.

Рис. I.5.. Базовые операции формообразования.

Группировка элементов

Наипростейший композиционный прием, позволяющий уменьшить хаотичность исходной ситуации.

Композиционный эффект связан с возникновением упорядочения отношения «пространство-масса»: пространство начинает обтекать сгруппированные объемы организованно (рис. I.6). В ОПК это средство редко используется самостоятельно, как правило, способ организации имеет более определенный и более сложный характер, к нему присовокупляется такие средства как метрические и ритмические ряды, модульные сетки и т.п.

Рис. I.6. Группировка элементов.

Тождество, контраст и нюанс

К средствам композиции относят также понятия тождества, нюанса и контраста.

Тождество в ОПК понимается как принцип полного сходства элементов в архитектурной композиции.

Нюанс представляет собой отношение близких состояний свойств элементов архитектурной формы.

Контраст является усиленным проявлением различий в свойствах объемно-пространственных форм, противопоставлением их по какому-либо свойству.

Отметим, что в ОПК возможны такие отношения элементов, когда по одним свойствам они тождественны, а по другим – нюансны или контрастны. Например, два куба с равными размерами тождественны по этому свойству, но одновременно контрастны по цвету, если окрашены в белый и черный цвета. Белые кубы (большой и маленький) контрастны по размеру, но тождественны по цвету.

Симметрия, дисимметрия, асимметрия и антисимметрия

Наиболее широко распространенным в архитектуре видом симметрии является зеркаль­ная симметрия, симметрия левого и правого. Симметрия здесь состоит в том, что две отраженно равные части фигуры расположены одна относительно другой как пред­мет и его отражение в зеркале.

Не менее известен и такой вид симметрии, как осевая, или симметрия вращения. Линия, при полном обороте вокруг которой форма несколько раз совмещается сама собой, называется осью симметрии, а число таких совмещений называется порядком оси симметрии.

Возможны и более сложные виды симметрии. Например, при использовании переноса и симметрии вращения можно получить такой объект, как винтовая лестница.

Асимметрия — понятие, противоположное понятию симметрии. В асимметричных формах элементы симметрии отсутствуют.

Дисимметрия — нюансное отклонение от симметрии. Дисимметрия, как правило, проявляется в асимметричности деталей или их расположения в форме, которая в целом симметрична.

Антисимметрия — это симметрия с полярными или контрастными свойствами. Если одну половину квадрата выкрасить в черный цвет, а другую оставить белой, то мы получим антисимметричную форму; в том же отношении находятся, например, два куба, один из которых представлен только ребрами.

Принципиальные схемы симметрии, дисимметрии, асимметрии и антисимметрии представлены на рис. I.7.

Рис. . I.7. а) Симметрия; б) дисимметрия;

в) асимметрия; г) антисимметрия.

Симметрия-асимметрия в физических проявлениях

    1. Общие представления о симметрии

Понятия симметрии и противоположного ей объективного свойства природы — асимметрии являются одними из фундаментальных в современном естествознании. Поэтому научные исследования общеглобального характера в значительной степени основываются на рассмотрении указанных понятий. Негласный лозунг физиков-теоретиков: «правильная теория должна быть красивой» — находит свое место в построении новых теоретических моделей и связан зачастую с симметрийными представлениями, а эстетический фактор играет при этом не последнеe значение. Симметрия является одним из фундаментальных свойств природы, представление о ней складывалось в течение в течение жизни десятков сотен и тысяч поколений людей. Как говорил наш известный кристаллограф А. В. Шубников (1887—1970), посвятивший изучению симметрии всю свою жизнь, «изучение археологических памятников показывает, что человечество на заре своей культуры уже имело представление о симметрии и осуществляло ее в рисунке и в предметах быта. Надо полагать, что применение симметрии в первобытном производстве определялось не только эстетическими мотивами, но в известной мере и уверенностью человека в большей пригодности для практики правильных форм». Быть прекрасным, говорил Платон, «значит быть симметричным и соразмерным».

Интуитивно симметрия в своих простых формах понятна любому человеку, и часто мы выделяем ее как элемент прекрасного и совершенного. В известной мере симметрия отражает степень упорядоченности системы. Например, окружность, ограничивающая каплю на плоскости, более упорядочена, чем размытое пятно на этой же площади, и, следовательно, более симметрична. Поэтому можно связать изменение энтропии как характеристики упорядочения с симметрией: чем более организовано вещество, тем выше симметрия и тем меньше энтропия.

Одно из определений понятия симметрии и асимметрии дал В. Готт: симметрия – понятие отражающее, существующий в природе порядок, пропорциональность и соразмерность между элементами какой-либо системы или объекта природы, упорядоченность, равновесие системы, устойчивость, т.е., если хотите, некий элемент гармонии. Другое определение дал Г. Вейль: «Симметричным является предмет, с которым можно сделать нечто, не изменяя этого предмета». Асимметрия — понятие противоположное симметрии, отражающее разупорядочение системы, нарушение равновесия, что связано с изменением, развитием системы. Из соображений симметрии-асимметрии приходят к выводу, что развивающаяся динамическая система должна быть неравновесной и несимметричной. В ряде случаев симметрия является достаточно очевидным фактом. Например, для определенных геометрических фигур не трудно увидеть эту симметрию и показать ее путем соответствующих преобразований, в результате которых фигура не изменит своего вида. Симметрия проявляется не только в понимании геометрического строения тел в природе, но и в ряде областей человеческой деятельности. Симметрия существует в музыке, хореографии (например, в болеро Равеля многие народные песни и танцы построены симметрично), в зеркальной симметрии текста (любопытно, что при горизонтальной оси симметрии буквы зеркально отражаются и «читаются», а при вертикальной оси симметрии — нет), в начертании знаков языка (например, в китайской письменности имеется иероглиф, означающий истинную середину), архитектуре, живописи, математике, логике, строении живых организмов и растенийи др. В. И. Вернадский справедливо отмечал: «Новым в науке явилось не выявление принципа симметрии, а выявление его всеобщности».

Для живых организмов симметричное расположение частей органов тела помогает сохранять им равновесие при передвижении и функционировании, обеспечивает их жизнестойкость и лучшее приспособление к окружающему миру, что справедливо и в растительном мире. Например, ствол ели или сосны чаще всего прям и ветви равномерно расположены относительно ствола. Так дерево, развиваясь в условиях действия силы тяжести, достигает устойчивого положения. К вершине дерева ветви его становятся меньше в размерах — оно приобретает форму конуса, поскольку на нижние ветви, как и на верхние, должен падать свет. Кроме того, центр тяжести должен быть как можно ниже, от этого зависит устойчивость дерева.

Законы естественного отбора и всемирного тяготения способствовали тому, что дерево не только эстетически красиво, но устроено целесообразно. Получается, что симметрия живых организмов связана с симметрией законов природы. На житейском уровне, когда мы видим проявление симметрии в живой и неживой природе, то невольно испытываем чувство удовлетворения тем всеобщим, как нам кажется, порядком, который царит в природе.

Однако понятие симметрии гораздо шире и ее можно понимать как неизменность (инвариантность) каких-либо свойств объекта по отношению к преобразованиям, операциям, выполняемым над этим объектом. Причем это может быть не только материальный объект, но и закон, математическая формула или уравнения, в том числе и нелинейные, которые играют большую роль в самоорганизующихся процессах.

Дать более конкретное определение симметрии, чем у Готта, в общем случае затруднительно еще и потому, что она принимает свою форму в каждой сфере человеческой деятельности. В искусстве симметрия может проявиться в соразмерности и взаимосвязанности, гармонизации отдельных частей в целом произведении. В математических построениях также имеют мест симметричные многочлены, которые можно использовать для существенного упрощения решения алгебраических и дифференциальных уравнений. Особенно полезным оказалось использование симметрийных представлений в теории групп с введением инварианта, т.е. такого преобразования, когда соотношения между переменными не изменяются. Отражением связи пространства, симметрии и законов сохранения может служить мысль великого французского математика А.Пуанкаре: «Пространство это группа».

Наиболее наглядное и непосредственное применение идей симметрии имеет место в кристаллографии и физике твердого тела, изучающих физические свойства кристаллов в зависимости от их строения. Даже непосвященному человеку хорошо видна здесь ассоциация с неким совершенством, порядком и гармонией. Идеи симметрии являются для мира кристаллов естественной базой их физической сущности. Один из создателей современной физики твердого тела Дж. Займен вообще считал, что вся теория твердых тел основана на трансляционной симметрии. Здесь симметрия проявляется при совмещении геометрических тел, например правильных многогранников, при повороте их в пространстве на определенные углы, а также при перемещениях в атомной решетке на определенные величины векторов трансляции, кратных периоду решетки.

Симметрия в математике — Википедия

Симметрия встречается не только в геометрии, но и в других областях математики. Симметрия является видом инвариантности, свойством неизменности при некоторых преобразованиях.

Пусть задан структурированный объект X некоторого вида, симметрия — это отображение объекта в себя, сохраняющее структуру объекта. Симметрия встречается в разных видах. Например, если X — множество с дополнительной структурой, симметрия — это биективное отображение множества на себя, дающее начало группам перестановок. Если объект X — множество точек на плоскости с её метрической структурой или любое другое метрическое пространство, симметрия — это биекция множества на себя, сохраняющая расстояние между любой парой точек (изометрия).

В общем случае любая структура в математике будет иметь свой собственный тип симметрии и многие из них приведены в этой статье.

Симметрии элементарной геометрии (такие как отражение и поворот) описаны в основной статье о симметрии.

Абстрактная симметрия[править | править код]

Точка зрения Клейна[править | править код]

С каждым видом геометрии Феликс Клейн связывал лежащую в основе групп симметрии. Иерархия геометрий тогда представляется иерархией этих групп и иерархией их инвариантов. Например, длины, углы и площади сохраняются в евклидовой группе симметрий, в то время как только структура инцидентности и двойное отношение сохраняется в более общих проективных преобразованиях. Понятие параллельности, которое сохраняется в аффинной геометрии, не имеет смысла в проективной геометрии. Таким образом, отделяя группы симметрий от геометрий, связи между симметриями можно установить на уровне групп. Поскольку группа аффинной геометрии является подгруппой проективной геометрии, любое понятие инварианта в проективной геометрии априори имеет смысл в аффинной геометрии, что неверно в обратном направлении. Если добавить требуемые симметрии, получите более сильную теорию, но меньше понятий и теорем (которые будут глубже и более общими).

Точка зрения Тёрстона[править | править код]

Уильям Тёрстон ввёл похожую версию симметрий в геометрии. Модель геометрии — это односвязное гладкое многообразие X вместе с транзитивной операцией группы Ли G на X с компактными стабилизаторами. Группу Ли можно рассматривать как группу симметрий геометрии.

Модель геометрии называется максимальной, если G максимальна среди групп, действующих гладко и транзитивно на X с компактными стабилизаторами, то есть, если она является максимальной группой симметрий. Иногда это определение включают в определение модели геометрии.

Геометрическая структура на многообразии M — это дифференцируемый морфизм из M в X/Γ для некоторой модели геометрии X, где Γ — это дискретная подгруппа G, действующая свободно на X. Если данное многообразие допускает геометрическую структуру, то оно допускает структуру, модель которой максимальна.

Трёхмерная модель геометрии X относится к теореме геометризации, если она максимальна и если существует по меньшей мере одно многообразие с геометрической структурой на X. Тёрстон классифицировал 8 моделей геометрий, удовлетворяющих этим условиям. Эти симметрии называются иногда геометриями Тёрстона. (Существует также бесконечно много моделей геометрий компактных стабилизаторов.)

Чётные и нечётные функции[править | править код]

Чётные функции[править | править код]
ƒ(x) = x2 является примером чётной функции.

Пусть f(x) — функция вещественной переменной с вещественными значениями. f является чётной, если в области определения f

f(x)=f(−x){\displaystyle f(x)=f(-x)}

Говоря геометрически, график чётной функции симметричен относительно оси y, что означает, что он не изменится при отражении относительно оси y.

Примерами чётных функций могут служить |x|, x2, x4, cos(x) и cosh(x).

Нечётные функции[править | править код]
ƒ(x) = x3 является примером нечётной функции.

Снова пусть f(x) — функция вещественной переменной с вещественными значениями. f является нечётной, если в области определения f

−f(x)=f(−x),{\displaystyle -f(x)=f(-x)\,,}

или

f(x)+f(−x)=0.{\displaystyle f(x)+f(-x)=0\,.}

Геометрически граф нечётной функции имеет симметрию вращения относительно начала координат, в том смысле, что график функции не изменится, если его повернуть на 180 градусов относительно начала координат.

Нечётными функциями являются x, x3, sin(x), sinh(x) и erf(x).

Интегралы[править | править код]

Интеграл нечётной функции от −A до +A равен нулю (где A конечно и функция не имеет вертикальных асимптот между −A и A).

Интеграл чётной функции от −A до +A равен удвоенному интегралу от 0 до +A (где A конечно и функция не имеет вертикальных асимптот между −A и A. Это верно и для бесконечого A, но только в том случае, когда интеграл сходится).

Ряды[править | править код]

Симметрия матриц[править | править код]

В линейной алгебре симметричная матрица — это квадратная матрица, которая не меняется при транспонировании. Формально матрица A симметрична, если

A=A⊤{\displaystyle A=A^{\top }}

и, по определению равенства матриц, размеры матриц должны совпадать, так что только квадратная матрица может быть симметричной.

Элементы симметричной матрицы симметричны относительно главной диагонали. Таким образом, если элементы матрицы равны A = (aij), то aij = aji для всех индексов i и j.

Следующая матрица 3×3 симметрична:

[17374−53−56].{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&7&3\\7&4&-5\\3&-5&6\end{bmatrix}}.}

Любая квадратная диагональная матрица симметрична, поскольку все её недиагональные элементы равны нулю. Все диагональные элементы кососимметричной матрицы должны быть нулевыми, поскольку должны равняться своему отрицательному значению.

В линейной алгебре вещественная симметричная матрица представляет самосопряжённый оператор над вещественным унитарным пространством. Соответствующий объект для комплексного унитарного пространства — Эрмитова матрица с комплексными элементами, которая равна своей Эрмитово-сопряжённой матрице. Таким образом, в линейной алгебре над комплексными числами часто под симметричной матрицей подразумевается матрица с вещественными элементами. Симметричные матрицы появляются естественным образом в различных приложениях и, как правило, пакеты линейной алгебры для них имеют выделенные процедуры.

Симметрические группы[править | править код]

Симметрическая группа Sn на конечном множестве из n символов — это группа, элементами которой являются перестановки n символов и операция в этой группе — композиция таких перестановок. Эти операции трактуются как биективные функции множества символов на себя.[1]. Из того, что существует n! (n факториал) возможных перестановок множества из n символов, следует, что порядок группы (число элементов) симметрической группы Sn равен n!.

Симметрические многочлены[править | править код]

Симметрический многочлен — это многочлен P(X1, X2, …, Xn) от n переменных, не меняющийся при перестановке его переменных. Формально P — симметрический многочлен, если для любой перестановки σ индексов 1, 2, …, n имеем P(Xσ(1), Xσ(2), …, Xσ(n)) = P(X1, X2, …, Xn).

Симметрические многочлены появляются естественным образом при изучении связи корней многочлена одной переменной и его коэффициентов, поскольку коэффициенты можно выразить через полиномы от корней, и все корни в этих выражениях играют одинаковую роль. С этой точки зрения основные симметрические многочлены[en]* являются наиболее фундаментальными симметрическими многочленами. Фундаментальная теорема о симметрических многочленах[en]* утверждает, что любой симметрический многочлен может быть выражен через основные симметрические многочлены, из чего следует, что любое симметричное полиномиальное выражение[en] над корнями нормированного многочлена[en]* можно представить как полиномиальное выражение над коэффициентами многочлена.

Примеры[править | править код]

Для двух переменных X1, X2 симметрическими многочленами будут

  • X13+X23−7{\displaystyle X_{1}^{3}+X_{2}^{3}-7}
  • 4X12X22+X13X2+X1X23+(X1+X2)4{\displaystyle 4X_{1}^{2}X_{2}^{2}+X_{1}^{3}X_{2}+X_{1}X_{2}^{3}+(X_{1}+X_{2})^{4}}

Для трёх переменных X1, X2, X3 симметрическим будет, например,

  • X1X2X3−2X1X2−2X1X3−2X2X3{\displaystyle X_{1}X_{2}X_{3}-2X_{1}X_{2}-2X_{1}X_{3}-2X_{2}X_{3}}

Симметричные тензоры[править | править код]

В математике симметричный тензор  — это тензор, не меняющийся при перестановке его аргументов:

T(v1,v2,…,vr)=T(vσ1,vσ2,…,vσr){\displaystyle T(v_{1},v_{2},\dots ,v_{r})=T(v_{\sigma 1},v_{\sigma 2},\dots ,v_{\sigma r})}

для любой перестановки σ индексов {1,2,…,r}. Можно также представить симметричный тензор с валентностью r как

Ti1i2…ir=Tiσ1iσ2…iσr.{\displaystyle T_{i_{1}i_{2}\dots i_{r}}=T_{i_{\sigma 1}i_{\sigma 2}\dots i_{\sigma r}}.}

Пространство симметричных тензоров валентности r над конечномерным пространством естественно изоморфно двойственному пространству однородных многочленов степени r на V. Над полем с нулевой характеристикой градуированное векторное пространство[en] всех симметричных тензоров можно естественным образом отождествить с симметрической алгеброй на V. Связанной концепцией является антисимметричный тензор или альтернированная форма[en]. Симметричные тензоры часто встречаются в инженерном деле, физике и математике.

Теория Галуа[править | править код]

Если задан многочлен, возможно, что некоторые корни связаны различными алгебраическими уравнениями. Например, может оказаться, что для двух корней, скажем, A и B, A2+5B3=7{\displaystyle A^{2}+5B^{3}=7}. Центральной идеей теории Галуа является факт, что при перестановке корней они продолжают удовлетворять всем этим уравнениям. Важно, что при этом мы ограничиваем себя алгебраическими уравнениями, коэффициенты которых являются рациональными числами. Таким образом, теория Галуа изучает симметрии, унаследованные от алгебраических уравнений.

Автоморфизмы алгебраических объектов[править | править код]

В общей алгебре автоморфизм — это изоморфизм математического объекта на себя. Таким образом, в некотором смысле он является симметрией объекта и способом отображеннием объекта на себя с сохранением внутренней структуры. Множество всех автоморфизмов объекта образует группу, называемую группой автоморфизмов. Она является, грубо говоря, группой симметрии объекта.

Примеры[править | править код]
  • В теории множеств произвольная перестановка элементов множества X является автоморфизмом. Группа автоморфизмов X называется также симметрической группой на X.
  • В элементарной арифметике[en] множество целых чисел Z, если рассматривать его как группу по сложению, имеет единственный нетривиальный автоморфизм — отрицательное значение числа. Если же рассматривать его как кольцо, оно будет иметь только тривиальный автоморфизм. Вообще говоря, отрицание является автоморфизмом любой абелевой группы, но не кольца или поля.
  • Автоморфизм группы — это изоморфизм группы[en] группы на себя. Неформально, это перестановка элементов группы, при которой структура группы остаётся неизменной. Для любой группы G существует естественный гомоморфизм группы G → Aut(G), образ которого является группой Inn(G) внутреннего автоморфизма и ядро которого является центром G. Так, если G имеет тривиальный центр, она может быть вложена в свою собственную группу автоморфизмов[2].
  • В линейной алгебре эндоморфизм векторного пространства V — это линейный оператор VV. Автоморфизм — это обратимый линейный оператор на V. Если векторное пространство конечномерное, автоморфизм группы V — это то же самое, что полная линейная группа, GL(V).
  • Автоморфизм поля — это биективный гомоморфизм[en] поля на себя. В случае рациональных чисел (Q) и вещественных чисел (R) не существует нетривиальных автоморфизмов полей. Некоторые подполя R имеют нетривиальные автоморфизмы, которые, однако, нельзя распространить на всё поле R (поскольку они не сохраняют свойство числа иметь квадратный корень в R). В случае комплексных чисел C существует единственный нетривиальный автоморфизм, переводящий R в R — сопряжение числа, но также имеется бесконечно много (несчётно) «диких» автоморфизмов (если принимается аксиома выбора).[3] Автоморфизмы полей играют важную роль в теории расширения полей, в частности расширений Галуа. В случае расширений Галуа L/K подгруппа всех автоморфизмов L, сохраняющая K поточечно, называется группой Галуа расширения.

Симметрия в квантовой механике: бозоны и фермионы[править | править код]

В квантовой механике бозоны имеют представления, симметричные относительно перестановки операторов, а фермионы имеют антисимметричные представления.

Из этого следует принцип исключения Паули для фермионов. Фактически принцип исключения Паули с однозначной волновой функцией многих частиц эквивалентен требованию антисимметричности волновой функции. Антисимметрия состояния двух частиц представляется как сумма состояний, в котором одна частица находится в состоянии |x⟩{\displaystyle \scriptstyle |x\rangle }, а другая — в состоянии |y⟩{\displaystyle \scriptstyle |y\rangle }:

|ψ⟩=∑x,yA(x,y)|x,y⟩{\displaystyle |\psi \rangle =\sum _{x,y}A(x,y)|x,y\rangle }

и антисимметрия при обмене переменных означает, что A(x,y) = −A(y,x). Из этого следует, что A(x,x) = 0, что является исключением Паули. Утверждение остаётся верным в любом базисе, поскольку единичные изменения базиса сохраняют антисимметричные матрицы антисиметричными, хотя и, строго говоря, величина A(x,y) не является матрицей, а является антисимметричным тензором второго порядка.

Обратно, если диагональные элементы A(x,x) нулевые в любом базисе, то составляющая волновой функции

A(x,y)=⟨ψ|x,y⟩=⟨ψ|(|x⟩⊗|y⟩){\displaystyle A(x,y)=\langle \psi |x,y\rangle =\langle \psi |(|x\rangle \otimes |y\rangle )}

обязательно антисимметрична. Чтобы это проверить, рассмотрим элемент матрицы

⟨ψ|((|x⟩+|y⟩)⊗(|x⟩+|y⟩)){\displaystyle \langle \psi |((|x\rangle +|y\rangle )\otimes (|x\rangle +|y\rangle ))}

Он равен нулю, поскольку две частицы имеют нулевую вероятность одновременно оказаться в состоянии |x⟩+|y⟩{\displaystyle \scriptstyle |x\rangle +|y\rangle }. Но это эквивалентно

⟨ψ|x,x⟩+⟨ψ|x,y⟩+⟨ψ|y,x⟩+⟨ψ|y,y⟩{\displaystyle \langle \psi |x,x\rangle +\langle \psi |x,y\rangle +\langle \psi |y,x\rangle +\langle \psi |y,y\rangle }

Первый и последний член в правой части являются диагональными элементами и равны нулю, и полная сумма равна нулю. Таким образом, для элементов матрицы волновой функции выполняется

⟨ψ|x,y⟩+⟨ψ|y,x⟩=0{\displaystyle \langle \psi |x,y\rangle +\langle \psi |y,x\rangle =0}.

или

A(x,y)=−A(y,x){\displaystyle A(x,y)=-A(y,x)}

Симметричное отношение[править | править код]

Мы называем отношение симметричным, если каждый раз, когда выполняется от A к B, то выполняется и от B к A. Заметим, что симметрия не является противоположностью антисимметрии.

Симметрия в метрических пространствах[править | править код]

Изометрия в пространстве[править | править код]

Изометрия — это сохраняющее расстояние отображение метрических пространств. Пусть задано метрическое пространство, или множество и схема вычисления расстояния между элементами множества. Изометрия — это преобразование, которое отображает элементы в другое метрическое пространство, такое, что расстояние между элементами в новом метрическом пространстве равно расстоянию между элементами исходного пространства. В двумерном или трёхмерном пространстве две геометрические фигуры конгруэнтны, если они связаны изометрией — либо движением абсолютно твёрдого тела, либо композицией движения и отражения.

Симметрия дифференциальных уравнений[править | править код]

Симметрия дифференциальных уравнений — это преобразование, которое оставляет дифференциальное уравнение неизменным. Знание таких симметрий может помочь решить дифференциальное уравнение.

Симметрия Ли системы дифференциальных уравнений — это непрерывная симметрия дифференциальных уравнений. Знание симметрии Ли может помочь в упрощении обыкновенных дифференциальных уравнений путём понижения порядка[en].[4]

Для обыкновенных дифференциальных уравнений знание подходящего набора симметрий Ли позволяет явно получить первые интегралы, что сразу даёт решение без интегрирования уравнения.

Симметрии можно найти путём решения связанного множества обыкновенных дифференциальных уравнений.[4] Получить решение этих уравнений зачастую много проще, чем решить исходную систему дифференциальных уравнений.

В случае конечного числа возможных событий симметрия, учитывающая перестановки (перенумерации), даёт дискретное равномерное распределение.

В случае, когда события представляют собой интервал вещественных чисел, симметрия, учитывающая перестановки подинтервалов равной длины, соответствует непрерывному равномерному распределению.

В других случаях, таких как «выбор случайного целого» или «выбор случайного вещественного», нет симметрии вероятностного распределения, учитывающего перестановки чисел или интервалов равной длины. Другие приемлемые симметрии не приводят к конкретному распределению, или, другими словами, нет уникального распределения вероятности, обеспечивающего максимальную симметрию.

Существует один тип одномерной изометрии[en], который может сохранять распределение вероятностей неизменным, это отражение относительно точки, например, нуля.

Возможная симметрия для случайных значений с положительной вероятностью — это та, что применима к логарифмам, то есть когда событие и его обратная величина имеют одинаковое распределение. Однако эта симметрия не приводит к определённому вероятностному распределению.

Для «случайной точки» на плоскости или в пространстве можно выбрать центр и рассматривать симметрию распределения вероятностей относительно окружности или сферы.

  1. Nathan Jacobson. Basic Algebra. — New York: W.H. FREEMAN AND COMPANY, 2009. — Т. 1. — С. 31. — ISBN 0-7167-1480-9 (v1).
  2. P.J. Pahl, R. Damrath. Mathematical foundations of computational engineering. — Springer, 2001. — С. §7.5.5 Automorphisms. — ISBN 3-540-67995-2.
  3. Paul B. Yale. Automorphisms of the Complex Numbers // Mathematics Magazine. — May 1966. — Т. 39, вып. 3. — С. 135–141. — DOI:10.2307/2689301.
  4. 1 2 Peter J. Olver. Applications of Lie Groups to Differential Equations. — New York: Springer Verlag, 1986. — ISBN 978-0-387-95000-6.
  • Hermann Weyl, Symmetry. Reprint of the 1952 original. Princeton Science Library. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1989. viii+168 pp. ISBN 0-691-02374-3
  • Mark Ronan, Symmetry and the Monster, Oxford University Press, 2006. ISBN 978-0-19-280723-6 (Concise introduction for lay reader)
  • Marcus du Sautoy, Finding Moonshine: a Mathematician’s Journey through Symmetry, Fourth Estate, 2009

Что такое симметрия в математике? Определение и примеры

Понимать, что такое симметрия в математике, необходимо, чтобы в дальнейшем освоить базовые и продвинутые темы алгебры, геометрии. Немаловажно это и для понимания черчения, архитектуры, правил построения рисунка. Несмотря на тесную связь с самой точной наукой – математикой, симметрия важна и для артистов, художников, творцов, и для тех, кто занимается научной деятельностью, причем в любой области.

взаимосвязь архитектуры и математики в симметрии

Общая информация

Не только математика, но и естественные науки во многом основаны на понятии симметрии. Более того, оно встречается в повседневной жизни, является одним из базовых для природы нашей Вселенной. Разбираясь, что такое симметрия в математике, необходимо упомянуть, что существует несколько типов этого явления. Принято говорить о таких вариантах:

  • Двустороннем, то есть такой, когда симметрия зеркальная. Это явление в ученой среде принято именовать «билатеральным».
  • Эн-ном порядке. Для этого понятия ключевое явление – это угол поворота, вычисляемый разделением 360 градусов на некоторую заданную величину. Кроме того, заранее определяется ось, вокруг которой эти повороты совершаются.
  • Падиальная, когда явление симметрии наблюдают, если повороты совершатся произвольно на некоторый случайный по величине угол. Ось также выбирается независимым образом. Для описания такого явления применяют группу SO(2).
  • Сферическая. В этом случае речь идет о трех измерениях, в которых объект вращают, выбирая произвольные углы. Выделяют конкретный случай изотропии, когда явление становится локальным, свойственным среде либо пространству.
  • Вращательная, соединившая в себе две описанные ранее группы.
  • Лоренц-инвариативная, когда имеют место произвольные вращения. Для этого типа симметрии ключевым понятием становится «пространство-время Минковского».
  • Супер, определяемая как замена бозонов фермионами.
  • Высшая, выявляемая в ходе группового анализа.
  • Трансляционная, когда имеются сдвиги пространства, для которых ученые выявляют направление, расстояние. На основе полученных данных проводят сравнительный анализ, позволяющий выявить симметрию.
  • Калибровочная, наблюдаемая в случае независимости калибровочной теории при соответствующих преобразованиях. Здесь особенное внимание обращают на теорию поля, в том числе фокусируются на идеях Янга-Миллса.
  • Кайно, принадлежащая к классу электронных конфигураций. О том, что представляет собой такая симметрия, математика (6 класс) представления не имеет, ведь это наука высшего порядка. Явление обусловлено вторичной периодичностью. Было открыто в ходе научной работы Е. Бирона. Терминология введена С. Щукаревым.
проект математике симметрия

Зеркальная

Во время обучения в школе учащихся практически всегда просят сделать работу «Симметрия вокруг нас» (проект по математике). Как правило, ее рекомендуют к выполнению в шестом классе обычной школы с общей программой преподавания предметов. Чтобы справиться с проектом, необходимо сперва ознакомиться с понятием симметрии, в частности, выявить, что представляет собой зеркальный тип как один из базовых и наиболее понятных для детей.

Для выявления явления симметрии рассматривают конкретную геометрическую фигуру, а также выбирают плоскость. Когда говорят о симметричности рассматриваемого объекта? Сперва на нем выбирают некоторую точку, а затем находят для нее отражение. Между ними двумя проводят отрезок и вычисляют, под каким углом к выбранной ранее плоскости он проходит.

Разбираясь, что такое симметрия в математике, помните, что выбранная для выявления этого явления плоскость будет называться именно плоскостью симметрии и никак иначе. Проведенный отрезок должен пересекаться с ней под прямым углом. Расстояние от точки до этой плоскости и от нее до второй точки отрезка должно быть равным.

центральная симметрия в математике

Нюансы

О чем еще интересном можно узнать, разбирая такое явление, как симметрия? Математика (6 класс) рассказывает, что две фигуры, считающиеся симметричными, совсем не обязательно идентичны друг другу. Понятие равности существует в узком и широком смысле. Так вот, симметричные объекты в узком – не одно и то же.

Какой пример из жизни можно привести? Элеметарный! Что скажете насчет наших перчаток, варежек? Мы все привыкли их носить и знаем, что терять нельзя, ведь вторую такую в пару уже не подобрать, а значит, покупать придется обе заново. А все почему? Потому что парные изделия, хотя и симметричны, но рассчитаны на левую и правую руку. Это – типичный пример зеркальной симметрии. Что касается равности, то такие объекты признают «зеркально равными».

А что с центром?

Рассматривать центральную симметрию начинают с определения свойств тела, применительно к которому необходимо оценить явление. Чтобы назвать его симметричным, сперва выбирают некоторую точку, расположенную по центру. Далее выбирают точку (условно назовем ее А) и ищут для нее парную (условно обозначим Е).

При определении симметричности точки А и Е соединяют между собой прямой линией, захватывающей центральную точку тела. Далее измеряют получившуюся прямую. Если отрезок от точки А до центра объекта равен отрезку, отделяющему центр от точки Е, можно говорить о том, что найден центр симметрии. Центральная симметрия в математике – одно из ключевых понятий, позволяющих далее развивать теории геометрии.

математика поворот и центральная симметрия

А если вращаем?

Разбирая, что такое симметрия в математике, нельзя упустить из внимания понятие вращательного подтипа этого явления. Для того чтобы разобраться с терминами, берут тело, имеющее центральную точку, а также определяют целое число.

В ходе эксперимента заданное тело вращают на угол, равный результату деления 360 градусов на выбранный целый показатель. Для этого необходимо знать, что такое ось симметрии (2 класс, математика, школьная программа). Эта ось – прямая, соединяющая две выбранные точки. О симметрии вращения можно говорить, если при выбранном угле поворота тело будет находиться в том же положении, как и до проведения манипуляций.

В том случае, когда натуральным числом было выбрано 2, и обнаружено явление симметрии, говорят, что определена осевая симметрия в математике. Такая характерна для ряда фигур. Типичный пример: треугольник.

что такое ось симметрии 2 класс математика

О примерах подробнее

Практика многолетнего преподавания математики и геометрии в средней школе показывает, что проще всего с явлением симметрии разобраться, объясняя его на конкретных примерах.

Для начала рассмотрим сферу. Для такого тела одновременно свойственны явления симметричности:

  • центральной;
  • зеркальной;
  • вращательной.

В качестве главной выбирают точку, расположенную точно по центру фигуры. Чтобы подобрать плоскость, определяют большой круг и словно бы «нарезают» его на пласты. О чем говорит математика? Поворот и центральная симметрия в случае шара – понятия взаимосвязанные, при этом диаметр фигуры будет служить осью для рассматриваемого явления.

Еще один наглядный пример – круглый конус. Для этой фигуры свойственна осевая симметрия. В математике и архитектуре это явление нашло широкое теоретическое и практическое применение. Обратите внимание: в качестве оси для явления выступает ось конуса.

Наглядно демонстрирует изучаемое явление прямая призма. Этой фигуре свойственна зеркальная симметрия. Плоскостью выбирают «срез», параллельный основаниям фигуры, удаленный от них на равные промежутки. Создавая геометрический, начертательный, архитектурный проект (математике симметрия важна не меньше, чем точным и начертательным наукам), помните о применимости на практике и пользе при планировании несущих элементов явления зеркальности.

симметрия математика 6 класс

А если более интересные фигуры?

О чем нам может рассказать математика (6 класс)? Центральная симметрия есть не только в таком простом и понятном объекте, как шар. Она свойственна и более интересным и сложным фигурам. Например, таков параллелограмм. Для такого объекта центральной точкой становится та, в которой пересекаются его диагонали.

А вот если рассматривать равнобедренную трапецию, то это будет фигура с осевой симметрией. Выявить ее можно в том случае, если правильно выбрать ось. Тело симметрично относительно линии, перпендикулярной основанию и пересекающей его ровно посередине.

Симметрия в математике и архитектуре обязательно учитывает ромб. Эта фигура примечательна тем, что одновременно объединяет в себе два типа симметричности:

  • осевой;
  • центральный.

В качестве оси необходимо выбрать диагональ объекта. В том месте, где диагонали ромба пересекаются, расположен его центр симметрии.

О красоте и симметрии

Формируя проект математике, симметрия для которого была бы ключевой темой, обычно в первую очередь вспоминают мудрые слова великого ученого Вейля: «Симметрия – это идея, которую долгие века пытается понять обычный человек, ведь именно она создает совершенную красоту через уникальный порядок».

Как известно, иные предметы кажутся большинству прекрасными, в то время как другие отталкивают, даже если в них нет очевидных изъянов. Почему так происходит? Ответ на этот вопрос показывает взаимосвязь архитектуры и математики в симметрии, ведь именно это явление и становится основой оценки предмета как эстетически привлекательного.

Одна из самых красивых женщин на нашей планете – это супермодель Кисти Тарликтон. Она уверена, что к успеху пришла в первую очередь благодаря уникальному явлению: ее губы симметричны.

Как известно, природа и тяготеет к симметрии, и не может ее достичь. Это не общее правило, но взгляните на окружающих людей: в человеческих лицах практически не найти абсолютной симметрии, хотя очевидно стремление к ней. Чем более симметрично лицо собеседника, тем он кажется красивее.

что такое симметрия в математике

Как симметрия стала идеей о прекрасном

Удивительно, что на симметричности основано восприятие человеком красоты окружающего его пространства и объектов в нем. Долгие века люди стремятся понять, что же кажется прекрасным, а что отталкивает нелицеприятностью.

Симметричность, пропорции – вот то, что помогает визуально воспринимать некоторый объект и оценивать его положительно. Все элементы, части должны быть сбалансированы и находиться в разумных пропорциях друг с другом. Уже давно выяснили, что асимметричные предметы нравятся людям гораздо меньше. Все это связывают с понятием «гармония». Над тем, почему это так важно для человека, с древних пор ломали головы мудрецы, артисты, художники.

Стоит приглядеться к геометрическим фигурам, и явление симметрии станет очевидным и доступным для понимания. Наиболее типичные симметричные явления в окружающем нас пространстве:

  • горные породы;
  • цветы и листья растений;
  • парные наружные органы, присущие живым организмам.

Описанные явления имеют источником саму природу. А вот что можно увидеть симметричного, приглядевшись к изделиям человеческих рук? Заметно, что люди тяготеют к созданию именно такового, если стремятся сделать нечто красивое или функциональное (или и такое, и такое одновременно):

  • узоры и орнаменты, популярные с древних времен;
  • строительные элементы;
  • элементы конструкций техники;
  • рукоделие.

О терминологии

«Симметрия» – слово, пришедшее в наш язык от древних греков, впервые обративших на это явление пристальное внимание и попытавшихся изучить его. Термин обозначает наличие некоторой системы, а также гармоничное сочетание частей объекта. Переводя слово «симметрия», можно подобрать в качестве синонимов:

  • пропорциональность;
  • одинаковость;
  • соразмерность.

С древних пор симметрия является важным понятием для развития человечества в разных областях и отраслях. Народы с древности имели общие представления об этом явлении, преимущественно рассматривая его в широком смысле. Симметрия обозначала гармоничность и уравновешенность. В наше время терминологию преподают в обычной школе. Например, что такое ось симметрии (2 класс, математика) детям рассказывает учительница на обычном занятии.

Как идея это явление зачастую становится начальным посылом научных гипотез и теорий. Особенно популярно это было в прежние столетия, когда по всему миру властвовала идея математической гармонии, присущей самой системе мироздания. Знатоки тех эпох были убеждены, что симметричность есть проявление божественной гармонии. А вот в Древней Греции философы уверяли, что симметрична вся Вселенная, и все это базировалось по постулате: «Симметрия прекрасна».

математика 6 класс центральная симметрия

Великие греки и симметрия

Симметричность будоражила умы известнейших ученых Древней Греции. До наших дней дошли свидетельства того, что Платон призывал отдельно восхищаться правильными многогранниками. По его мнению, такие фигуры – это олицетворения стихий нашего мира. Существовала следующая классификация:

Стихия

Фигура

Огонь

Тетраэдр, поскольку вершина его стремится ввысь.

Вода

Икосаэдр. Выбор обусловлен «катучестью» фигуры.

Воздух

Октаэдр.

Земля

Самый устойчивый объект, то есть куб.

Вселенная

Додекаэдр.

Во многом именно из-за этой теории принято именовать правильные многогранники платоновыми телами.

А вот терминологию ввели еще раньше, и тут не последнюю роль сыграл скульптор Поликлет.

Пифагор и симметрия

В период жизни Пифагора и в последующем, когда его учение переживало свой расцвет, явление симметрии удалось четко оформить. Именно тогда симметричность подверглась научному анализу, давшему важные для практического применения результаты.

Согласно полученным выводам:

  • Симметрия базируется на понятиях пропорций, однообразности и равенства. При нарушении того или иного понятия фигура становится менее симметричной, постепенно переходя в полностью асимметричную.
  • Существует 10 противоположных пар. Согласно учению, симметрия представляет собой явление, сводящее в единое противоположности и тем самым формирующее вселенную в целом. Этот постулат долгие века оказывал сильное влияние на ряд наук как точных, так и философских, а также естественных.

Пифагор и его последователи выделяли «совершенно симметричные тела», к которым причисляли удовлетворяющие условиям:

  • каждая грань – многоугольник;
  • грани встречаются в углах;
  • фигура должна иметь равные стороны и углы.

Именно Пифагор первым сказал, что таковых тел существует всего лишь пять. Это великое открытие положило начало геометрии и исключительно важно для современной архитектуры.

симметрия вокруг нас проект по математике

А вы хотите своими глазами увидеть самое прекрасное явление симметрии? Поймайте зимой снежинку. Удивительно, но факт – это крошечный кусочек падающего с неба льда имеет не только крайне сложную кристаллическую структуру, но еще и идеально симметричен. Рассмотрите ее внимательно: снежинка действительно прекрасна, а ее сложные линии завораживают.

Центральная симметрия — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Центра́льной симметри́ей относительно точки A называют преобразование пространства, переводящее точку X в такую точку X′, что A — середина отрезка XX′. Центральная симметрия с центром в точке A обычно обозначается через ZA{\displaystyle Z_{A}}, в то время как обозначение SA{\displaystyle S_{A}} можно перепутать с осевой симметрией. Фигура называется симметричной относительно точки A, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки A также принадлежит этой фигуре. Точка A называется центром симметрии фигуры. Говорят также, что фигура обладает центральной симметрией.

Другие названия этого преобразования — симметрия с центром A. Центральная симметрия в планиметрии является частным случаем поворота, точнее, является поворотом на 180 градусов.

  • Пусть G — оператор центральной симметрии, точка A задана радиус-вектором rA→{\displaystyle {\vec {r_{A}}}}, а преобразовываемая точка задается радиус-вектором x→{\displaystyle {\vec {x}}}. Тогда имеет место следующая формула:
    G(x→)=2rA→−x→{\displaystyle G({\vec {x}})=2{\vec {r_{A}}}-{\vec {x}}}
  • Если фигура переходит в себя при симметрии относительно точки A, то A называют центром симметрии этой фигуры.
    • При этом сама фигура называется центрально-симметричной.
G({\vec  {x}})=2{\vec  {r_{A}}}-{\vec  {x}} Композиция двух центральных симметрий.
  • В n-мерном пространстве если преобразование R является последовательным отражением относительно n взаимно перпендикулярных гиперплоскостей, то R — центральная симметрия относительно общей точки этих гиперплоскостей. Как следствие:
    • В чётномерных пространствах центральная симметрия сохраняет ориентацию, а в нечётномерных — не сохраняет.
  • Центральную симметрию можно представить также как гомотетию с центром A и коэффициентом −1 (HA−1{\displaystyle H_{A}^{-1}}).
  • На плоскости (в 2-мерном пространстве) симметрия с центром A представляет собой поворот на 180° с центром A (RA180{\displaystyle R_{A}^{180}}). Центральная симметрия на плоскости, как и поворот, сохраняет ориентацию.
  • Центральную симметрию в трёхмерном пространстве можно представить как композицию отражения относительно плоскости, проходящей через центр симметрии, с поворотом на 180° относительно прямой, проходящей через центр симметрии и перпендикулярной вышеупомянутой плоскости отражения.
  • В 4-мерном пространстве центральную симметрию можно представить как композицию двух поворотов на 180° вокруг двух взаимно перпендикулярных плоскостей (перпендикулярных в 4-мерном смысле, см. Перпендикулярность плоскостей в 4-мерном пространстве), проходящих через центр симметрии.

About Author


admin

Отправить ответ

avatar
  Подписаться  
Уведомление о