Ферма сопромат – Примеры расчета рам, ферм, балок. Расчет рамы, фермы, балки он-лайн (на прочность)!! СОПРОМАТ, СТРОЙМЕХ (СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА)

Фермы | ПроСопромат.ру

Ферма — это шарнирно- стержневая система или решетчатая балка. По назначению фермы бывают: стропильные, мостовые, крановые, стойки ЛЭП. По материалу фермы бывают: стальные, деревянные, металлодеревянные и железобетонные. Для расчета ферм нагрузку прикладывают в узлах. Стержни фермы работают на растяжение и сжатие. По направлению опорных реакций фермы бывают балочные (безраспорные) и арочные (распорные).

Элементы фермы

По очертанию поясов фермы бывают:

По типу решетки фермы бывают:

Кинематический анализ фермы делают по формуле: С_ф ≥ 2У -3, где:

С_ф — число стержней фермы, У — число узлов фермы. Если С_ф= 2У -3, ферма геометрически неизменяемая и статически определимая. Если С_ф > 2У -3, ферма статически неопределимая, т.е. имеет лишние связи.

Опорные реакции фермы определяют так же, как в балке.

Для симметричных ферм с симметричной нагрузкой опорные реакции можно

определить из условия:

Усилия в стержнях фермы определяют аналитическими и графическими способами. Подробнее про аналитические способы — см. рубрику«Расчет простой плоской статически определимой фермы»

Нулевые стержни в фермах

В некоторых фермах встречаются «нулевые» стержни, усилие в которых равно нулю. Их роль — обеспечить геометрическую неизменяемость фермы.

Правила определения нулевых стержней:

— в двухстержневом незагруженном узле оба стержня нулевые;

— в трехстержневом незагруженном узле усилия в стержнях, расположенных на одной прямой, равны между собой, третий стержень нулевой;

— если в двухстержневом загруженном узле внешняя сила совпадает с направлением одного из стержней, усилие в этом стержне равно внешней силе, второй стержень нулевой

Также в ферме если в трехстержневом узле внешняя сила совпадает с направлением одного из стежней, усилие в этом стержне равно внешней силе, а усилия в стержнях, расположенных на одной прямой, равны между собой

Расчет статически определимой фермы | ПроСопромат.ру

Статически определимая ферма. Задача

. Определить усилия в стержнях фермы второй панели слева и стойки справа от панели, а также срединной стойки аналитическими методами. Дано: d=2м; h=3м; ℓ=16м; F=5кН.

Рассмотрим ферму с симметричным загружением.

Сначала обозначим опоры буквами А и В, нанесем опорные реакции R_А и R_В.

Определим реакции из уравнений статики. Поскольку загрузка фермы симметрична, реакции будут равны между собой:

Если загрузка фермы

несимметричная, то реакции определяются как для балки с составлением уравнений равновесия ∑М_А=0 (находим R_В), ∑М_В=0 (находим R_А), ∑у=0 (проверка).

Теперь обозначим элементы фермы:

«О» — стержни верхнего пояса (ВП),

«U» — стержни нижнего пояса (НП),

«V» — стойки,

«D» — раскосы.

С помощью этих обозначений удобно называть усилия в стержнях, н.р., О₄— усилие в стержне верхнего пояса; D₂ – усилие в раскосе и т.д.

Затем обозначим цифрами узлы

фермы. Узлы А и В уже обозначены, на остальных расставим цифры слева направо с 1 по 14.

Согласно заданию, нам предстоит определить усилия в стержнях О₂, D₁, U₂ (стержни второй панели), усилие в стойке V₂, а также усилие в срединной стойке V₄ . Существуют три аналитических метода определения усилий в стержнях.

Метод моментной точки (метод Риттера),
Метод проекций,
Метод вырезания узлов.

Первые два метода применяется только тогда, когда ферму можно рассечь на две части сечением, проходящим через 3 (три)

стержня. Проведем сечение 1-1 во второй панели слева.

Сеч. 1-1 рассекает ферму на две части и проходит по трем стержням — О₂, D₁, U₂. Рассматривать можно любую часть – правую или левую, неизвестные усилия в стержнях направляем всегда от узла, предполагая в них растяжение.

Рассмотрим левую часть фермы, покажем ее отдельно. Направляем усилия, показываем все нагрузки.

Сечение проходит по трем стержням, значит можно применить метод моментной точки. Моментной точкой для стержня называется точка пересечения двух других стержней, попадающих в сечение.

Определим усилие в стержне О₂.

Моментной точкой для

О₂будет т.14, т.к. именно в ней пересекаются два других стержня, попавших в сечение, — это стержни D₁ и U₂ .

Составим уравнение моментов относительно т. 14 (рассматриваем левую часть).

О₂мы направили от узла, полагая растяжение, а при вычислении получили знак «-», значит, стержень О₂ – сжат.

Далее в скобках будет указывать деформацию стержня – сжат или растянут.

Определяем усилия в стержне U₂. Для U₂ моментной точкой будет т.2, т.к. в ней пересекаются два других стержня —

О₂и D₁.

Теперь определяем моментную точку для D₁. Как видно из схемы, такой точки не существует, поскольку усилия О₂и U₂ не могут пересекаться, т.к. параллельны. Значит, метод моментной точки неприменим.

Воспользуемся методом проекций. Для этого спроецируем все силы на вертикальную ось У. Для проекции на данную ось раскоса D₁ потребуется знать угол α. Определим его.

Определим усилие в правой стойке

V₂. Через эту стойку можно провести сечение, которое проходило бы по трем стержням. Покажем сечение 2-2, оно проходит через стержни О₃, V₂, U₂. Рассмотрим левую часть.

Как видно из схемы, метод моментной точки в данном случае неприменим, применим метод проекций. Спроектируем все силы на ось У.

Теперь определим усилие в срединной стойке V₄. Через эту стойку нельзя провести сечение, чтобы оно делило ферму на две части и проходило бы через три стержня, значит, методы моментной точки и проекций здесь не подходят. Применим

метод вырезания узлов. Стойка V₄ примыкает к двум узлам – узлу 4 (вверху) и к узлу 11 (внизу). Выбираем узел, в котором наименьшее количество стержней, т.е. узел 11. Вырезаем его и помещаем в координатные оси таким образом, чтобы одно из неизвестных усилий проходило бы по одной из осей (в данном случае V₄ направим по оси У). Усилия, как и прежде, направляем от узла, предполагая растяжение.

Узел 11.

Проецируем усилия на координатные оси

∑х=0, —U₄+ U₅=0, U₄= U₅

∑у=0, V₄=0.

Таким образом, стержень V₄ — нулевой.

Нулевым стержнем называется стержень фермы, в которой усилие равно 0.

Правила определения нулевых стержней — смотреть здесь.

Если в симметричной ферме при симметричном загружении требуется определить усилия во всех стержнях, то следует определить усилия любыми методами в одной части фермы, во второй части в симметричных стержнях усилия будут идентичны.

Все усилия в стержнях удобно свести в таблицу (на примере рассматриваемой фермы). В графе «Усилия» следует проставить значения.

Расчет усилий в стержнях фермы

Сервис ЭПЮРЫ ОНЛАЙН / РАСЧЕТ ФЕРМЫ может помочь Вам расчитать любую ферму, а если она является статически определимой (а фермы в большинстве случаев делают статически определимыми) — то и расписать уравнения равновесия во всех узлах фермы, как показано на рисунке.

Кроме этого, сервис выдает усилия в стержнях фермы в табличном виде

Поскольку количество стержней бывает большое, расстояния неудобные, то напрямую вводить данные в расчетчике долго. Для упрощения мы создали ГЕНЕРАТОР ОДНОСКАТНОЙ ФЕРМЫ, в котором достаточно указать основные размеры фермы — и расчетная схема будет создана автоматически.

Если уж Вы решили самостоятельно расчитать ферму (даже с помощью этого сайта), неплохо бы ознакомиться с основными понятиями в теории расчета ферм 🙂

Фермой называется конструкция, состоящая из стержней, соединённых между собой шарнирами, которые называются узлами фермы. Внешняя нагрузка на ферму передаётся через эти узлы. Каждый стержень в ферме находится в условиях простого осевого растяжения – сжатия, но общая деформация фермы – изгибная, то есть ферма работает на изгиб.

Пролет фермы — это расстояние между опорами. Расстояние между узлами фермы по горизонтали называется панелью фермы и обозначается d.

Выполнить расчет фермы, это значит, что в первую очередь нужно определить усилия в стержнях фермы. Общепринятые обозначения усилий в стержнях фермы:

O – усилие в стержнях верхнего пояса,

U – усилие в стержнях нижнего пояса,

V – усилие в стойках,

D – усилие в раскосах.

Расчет фермы начинают с определения опорных реакций. Опорные реакции в ферме определяются как в простой балке, работающей на изгиб.

Для определения усилий в стержнях ферм существуют несколько способов. Рассмотрим некоторые из них (аналитические):

а) Способ моментной точки. Применяется, когда можно разрезать ферму на две части так, чтобы в разрез попало три стержня. Для нахождения усилия в одном из них необходимо найти точку пересечения двух других разрезанных стержней (моментная точка) и записать уравнение равновесия (сумма моментов всех сил вокруг этой точки) любой отсечённой части фермы.

б) Способ проекций. Применяется, когда можно разрезать ферму на две части так, чтобы в разрез попало три стержня. При нахождении усилия в одном из них два других стержня оказываются параллельны (т.е. моментная точка оказывается в бесконечности). Записывается сумма проекций сил на вертикальную ось У любой отсечённой части фермы. Способ проекций чаще всего применяется для нахождения усилий в раскосах или стойках фермы с параллельными поясами.

в) Способ вырезания узлов. Применяется, когда два предыдущих способа не неприменимы, т.е. нельзя провести сечение через три стержня. Данный способ заключается в вырезании узла, к которому принадлежит искомый стержень и рассмотрении равновесия этого узла.

ПЕРЕЙТИ К РАСЧЕТУ ОДНОСКАТНОЙ ФЕРМЫ >>

Основы расчёта ферм: ручной и машинный счёт

Фермами называют плоские и пространственные стержневые конструкции с шарнирными соединениями элементов, загружаемые исключительно в узлах. Шарнир допускает вращение, поэтому считается, что стержни под нагрузкой работают только на центральное растяжение-сжатие. Фермы позволяют значительно сэкономить материал при перекрытии больших пролётов.

Рисунок 1

Фермы классифицируются:

по очертанию внешнего контура;
по виду решётки;
по способу опирания;
по назначению;
по уровню проезда транспорта.

Также выделяют простейшие и сложные фермы. Простейшими называют фермы, образованные последовательным присоединением шарнирного треугольника. Такие конструкции отличаются геометрической неизменяемостью, статической определимостью. Фермы со сложной структурой, как правило, статически неопределимы.

Для успешного расчёта необходимо знать виды связей и уметь определять реакции опор. Эти задачи подробно рассматриваются в курсе теоретической механики. Разницу между нагрузкой и внутренним усилием, а также первичные навыки определения последних дают в курсе сопротивления материалов.

Рассмотрим основные методы расчёта статически определимых плоских ферм.

Способ проекций

На рис. 2 симметричная шарнирно-опёртая раскосная ферма пролётом L = 30 м, состоящая из шести панелей 5 на 5 метров. К верхнему поясу приложены единичные нагрузки P = 10 кН. Определим продольные усилия в стержнях фермы. Собственным весом элементов пренебрегаем.

Рисунок 2

Опорные реакции определяются путём приведения фермы к балке на двух шарнирных опорах. Величина реакций составит R (A) = R (B) = ∑P/2 = 25 кН. Строим балочную эпюру моментов, а на её основе — балочную эпюру поперечных усилий (она понадобится для проверки). За положительное направление принимаем то, что будет закручивать среднюю линию балки по часовой стрелке.

Рисунок 3

Метод вырезания узла

Метод вырезания узла заключается в отсечении отдельно взятого узла конструкции с обязательной заменой разрезаемых стержней внутренними усилиями с последующим составлением уравнений равновесия. Суммы проекций сил на оси координат должны равняться нулю. Прикладываемые усилия изначально предполагаются растягивающими, то есть направленными от узла. Истинное направление внутренних усилий определится в ходе расчёта и обозначится его знаком.

Рационально начинать с узла, в котором сходится не более двух стержней. Составим уравнения равновесия для опоры, А (рис. 4).

∑ F (y) = 0: R (A) + N (A-1) = 0

∑ F (x) = 0: N (A-8) = 0

Очевидно, что N (A-1) = -25кН. Знак «минус» означает сжатие, усилие направлено в узел (мы отразим это на финальной эпюре).

Условие равновесия для узла 1:

∑ F (y) = 0: -N (A-1) — N (1−8)∙cos45° = 0

∑ F (x) = 0: N (1−2) + N (1−8)∙sin45° = 0

Из первого выражения получаем N (1−8) = —N (A-1)/cos45° = 25кН/0,707 = 35,4 кН. Значение положительное, раскос испытывает растяжение. N (1−2) = -25 кН, верхний пояс сжимается. По этому принципу можно рассчитать всю конструкцию (рис. 4).

Рисунок 4

Метод сечений

Ферму мысленно разделяют сечением, проходящим как минимум по трём стержням, два из которых параллельны друг другу. Затем рассматривают равновесие одной из частей конструкции. Сечение подбирают таким образом, чтобы сумма проекций сил содержала одну неизвестную величину.

Проведём сечение I-I (рис. 5) и отбросим правую часть. Заменим стержни растягивающими усилиями. Просуммируем силы по осям:

∑ F(y) = 0: R(A) — P + N(9−3)

N(9−3) = P — R(A) = 10 кН — 25 кН = -15 кН

Стойка 9−3 сжимается.

Рисунок 5

Способ проекций удобно применять в расчётах ферм с параллельными поясами, загруженными вертикальной нагрузкой. В этом случае не придётся вычислять углы наклона усилий к ортогональным осям координат. Последовательно вырезая узлы и проводя сечения, мы получим значения усилий во всех частях конструкции. Недостатком способа проекций является то, что ошибочный результат на ранних этапах расчёта повлечёт за собой ошибки во всех дальнейших вычислениях.

Способ моментной точки

Способ моментной точки требует составлять уравнение моментов относительно точки пересечения двух неизвестных сил. Как и в методе сечений, три стержня (один из которых не пересекается с остальными) разрезаются и заменяются растягивающими усилиями.

Рассмотрим сечение II-II (рис. 5). Стержни 3−4 и 3−10 пересекаются в узле 3, стержни 3−10 и 9−10 пересекаются в узле 10 (точка K). Составим уравнения моментов. Суммы моментов относительно точек пересечения будут равняться нулю. Положительным принимаем момент, вращающий конструкцию по часовой стрелке.

∑ m(3) = 0: 2d∙R(A) — d∙P — h∙N(9−10) = 0

∑ m(K) = 0: 3d∙R(A) — 2d∙P — d∙P + h∙N(3−4) = 0

Из уравнений выражаем неизвестные:

N(9−10) = (2d∙R(A) — d∙P)/h = (2∙5м∙25кН — 5м∙10кН)/5м = 40 кН (растяжение)

N(3−4) = (-3d∙R(A) + 2d∙P + d∙P)/h = (-3∙5м∙25кН + 2∙5м∙10кН + 5м∙10кН)/5м = -45 кН (сжатие)

Способ моментной точки позволяет определить внутренние усилия независимо друг от друга, поэтому влияние одного ошибочного результата на качество последующих вычислений исключено. Данным способом можно воспользоваться в расчёте некоторых сложных статически определимых ферм (рис. 6).

Рисунок 6

Требуется определить усилие в верхнем поясе 7−9. Известны размеры d и h, нагрузка P. Реакции опор R(A) = R(B) = 4,5P. Проведём сечение I-I и просуммируем моменты относительно точки 10. Усилия от раскосов и нижнего пояса не попадут в уравнение равновесия, так как сходятся в точке 10. Так мы избавляемся от пяти из шести неизвестных:

∑ m(10) = 0: 4d∙R(A) — d∙P∙(4+3+2+1) + h∙O(7−9) = 0

O(7−9) = -8d∙P/h

Аналогично можно рассчитать остальные стержни верхнего пояса.

Признаки нулевого стержня

Нулевым называют стержень, в котором усилие равно нулю. Выделяют ряд частных случаев, в которых гарантированно встречается нулевой стержень.

Равновесие ненагруженного узла, состоящего из двух стержней, возможно только в том случае, если оба стержня нулевые.
В ненагруженном узле из трёх стержней одиночный (не лежащий на одной прямой с остальными двумя) стержень будет нулевым.

Рисунок 7

В трехстержневом узле без нагрузки усилие в одиночном стержне будет равно по модулю и обратно по направлению приложенной нагрузке. При этом усилия в стержнях, лежащих на одной прямой, будут равны друг другу, и определятся расчётом N(3) = -P, N(1) = N(2).
Трехстержневой узел с одиночным стержнем и нагрузкой, приложенной в произвольном направлении. Нагрузка P раскладывается на составляющие P’ и P» по правилу треугольника параллельно осям элементов. Тогда N(1) = N(2) + P’, N(3) = -P».

Рисунок 8

В ненагруженном узле из четырёх стержней, оси которых направлены по двум прямым, усилия будут попарно равны N(1) = N(2), N(3) = N(4).

Пользуясь методом вырезания узлов и зная правила нулевого стержня, можно проводить проверку расчётов, проведённых другими методами.

Расчёт ферм на персональном компьютере

Современные вычислительные комплексы основаны на методе конечного элемента. С их помощью осуществляют расчёты ферм любого очертания и геометрической сложности. Профессиональные программные пакеты Stark ES, SCAD Office, ПК Лира обладают широким функционалом и, к сожалению, высокой стоимостью, а также требуют глубокого понимания теории упругости и строительной механики. Для учебных целей и подойдут бесплатные аналоги, например Полюс 2.1.1.

В Полюсе можно рассчитывать плоские статически определимые и неопределимые стержневые конструкции (балки, фермы, рамы) на силовое воздействие, определять перемещения и температурное воздействие. Перед нами эпюра продольных усилий для фермы, изображённой на рис. 2. Ординаты графика совпадают с полученными вручную результатами.

Рисунок 9

Порядок работы в программе Полюс

На панели инструментов (слева) выбираем элемент «опора». Размещаем помещаем элементы на свободное поле кликом левой кнопки мыши. Чтобы указать точные координаты опор, переходим в режим редактирования, нажав на значок курсора на панели инструментов.
Двойной клик по опоре. Во всплывающем окне «свойства узла» задаём точные координаты в метрах. Положительное направление осей координат — вправо и вверх соответственно. Если узел не будет использоваться в качестве опоры, установите флажок «не связан с землёй». Здесь же можно задать приходящие в опору нагрузки в виде точечной силы или момента, а также перемещения. Правило знаков такое же. Удобно разместить крайнюю левую опору в начале координат (точка 0, 0).
Далее размещаем узлы фермы. Выбираем элемент «свободный узел», кликаем по свободному полю, точные координаты прописываем для каждого узла в отдельности.
На панели инструментов выбираем «стержень». Кликаем на начальном узле, отпускаем кнопку мышки. Затем кликаем на конечном узле. По умолчанию стержень имеет шарниры на двух концах и единичную жёсткость. Переходим в режим редактирования, двойным кликом по стержню открываем всплывающее окно, при необходимости изменяем граничные условия стержня (жёсткая связь, шарнир, подвижный шарнир для опорного конца) и его характеристики.
Для загружения ферм используем инструмент «сила», нагрузка прикладывается в узлах. Для сил, прикладываемых не строго вертикально или горизонтально, устанавливаем параметр «под углом», после чего вводим угол наклона к горизонтали. Альтернативно можно сразу ввести значение проекций силы на ортогональные оси.
Программа считает результат автоматически. На панели задач (вверху) можно переключать режимы отображения внутренних усилий (M, Q, N), а также опорных реакций (R). Результатом будет эпюра внутренних усилий в заданной конструкции.

В качестве примера рассчитаем сложную раскосную ферму, рассмотренную в методе моментной точки (рис. 6). Примем размеры и нагрузки: d = 3м, h = 6м, P = 100Н. По выведенной ранее формуле значение усилия в верхнем поясе фермы будет равно:

O(7−9) = -8d∙P/h = -8∙3м∙100Н/6м = -400 Н (сжатие)

Эпюра продольных усилий, полученная в Полюсе:

Рисунок 10

Значения совпадают, конструкция смоделирована верно.

Список литературы

Дарков А. В., Шапошников Н. Н. — Строительная механика: учебник для строительных специализированных вузов — М.: Высшая школа, 1986.
Рабинович И. М. — Основы строительной механики стержневых систем — М.: 1960.

Как рассчитать ферму онлайн?

Продолжаем серию статей о расчетах сопромата онлайн. В этой статье я хочу поделиться онлайн-сервисами, которые позволяют рассчитывать фермы. С помощью сайтов, указанных в этой статье, Вы узнаете, как произвести расчет фермы онлайн: определить реакции в опорах и узнать усилия, возникающие в стержнях.

В такой отрасли, как строительство, ферма — элемент, который ничем нельзя заменить. Ее используют для построения мостов, ангаров, стадионов. Без нее не обойдется строительство павильонов, сцен, подиумов. Кузов автомобиля, корпус корабля, самолета также считают фермой. Что немаловажно, при создании проекта корабля или самолета расчеты прочности производят так же, как и при подсчете силы действия на структуру.

Данная система уникальна тем, что она неизменна под действием факторов внешней среды. Нагрузки на нее приходятся очень больше, но благодаря своему строению она заслужила особого внимания. Ферма — это огромное количество стержней, соединенных в одну систему. Давление приходится на места, в которых соединяются детали. На сегодняшний день в строительной отрасли отдают предпочтение жесткому скреплению, а не шарнирному.

Free Truss and Roof Calculator

Данный сервис расположен по адресу — skyciv.com/free-truss-calculator

Авторы данного проекта позиционируют свой онлайн-калькулятор как инструмент для проектирования ферм, который позволяет рассчитывать продольные усилия в стержнях, определить реакции, возникающие в опорах фермы и д.р.

Создатели также отмечают, что данный софт особенно полезен для проектирования мостовых ферм и стропильных систем деревянных крыш.

Сразу оговорюсь, бесплатный функционал программы имеет определенные ограничения: можно добавить не более 12-ти стержней, 2-ух опор и 5-ти сосредоточенных внешних сил. В платной версии ограничений нет. Для расчета простых ферменных конструкций, бесплатного функционала вполне хватает.

Пример расчета фермы онлайн

В этом разделе я покажу как создать расчетную схему простейшей фермы и получить результаты расчета.

Задаем узлы фермы

Первым делом необходимо задать узлы будущей фермы, которые дальше будут учитываться в расчете как простые шарниры. Для создания нового узла нужно выбрать кнопку – «Nodes».

Каждый задаваемый узел имеет свой уникальный идентификатор, к которому по ходу формирования расчетной схемы будем обращаться: при создании стержней фермы и приложении нагрузок. Для того чтобы создать новый узел, нужно задать его координаты по X и Y:

Примечание: рекомендуется первый узел задавать с координатами (0;0), так легче будет высчитывать координаты всех последующих узлов.

Создаем стержни фермы

Стержни задаются достаточно просто. Для создания нового стержня нужно выбрать кнопку — «Members». Далее нужно будет указать идентификатор узла, с которым будет соединятся стержень в начале и в конце. Вот что получилось у меня:

Назначаем опоры

Для того, чтобы задать связи (опоры) фермы нужно выбрать кнопку – «Support». Эта программа имеет в своем функционале 6 видов связей. Я выберу классическую шарнирно-подвижную и неподвижную опору. Для того чтобы установить опору, нужно выбрать вид опоры и указать узел где ее нужно установить.

Прикладываем нагрузку

В данной программе на ферму можно накладывать все виды нагрузок: сосредоточенные силы (Point Loads) и моменты (Moments), распределенную нагрузку (Distributed Loads). Например, для приложения сосредоточенной силы, нужно выбрать узел и задать ее численное значение.

Получаем результаты расчета

После выполнения всех вышеописанных шагов, можно получить результаты расчета. Для этого нужно нажать кнопку – «Solve». Бесплатно можно вывести реакции в опорах фермы, значения продольных усилий. Также для каждого стержня указывается растянут он или сжат:

Вот такая есть полезная программа для расчета фермы онлайн!

Также для расчета фермы можно воспользоваться программой, описываемой на этой страничке.

3.19. Пример расчета статически определимой фермы

Определить усилия во всех стержнях статически определимой фермы (рис. 3.72):

Рис. 3.72

1). Кинематический анализ:

А. W=З×D−З×П−2×Ш− С =3×13−3×0−2×18−3=0,

Система может быть неизменяемой;

Б. Структурный анализ:

Очевидно, что мы имеем дело с неизменяемой системой (см. табл.2.1).

2). Определение опорных реакций:

m₁ = Р₁×3 + Р₂× 4 + Р₃×6 + Р₄×8 + Р₅×12 − y₈× 16 = 0;

откуда y₈ = 56 кН.

m₈ = y₁×16 + Р₁× 3 − Р₂×4 + Р₃×6 − Р₄×8 − P₅×4 = 0;

откуда y₁=3.44 кН.

x_i = x₁+ Р₁ + Р₃= 0; откуда x₁=− Р₁ − Р₃= −4 кН.

Проверка:

y_i = 3.44 −Р₂ − Р₄− P₅+ 7.56 = 0.

3). Определение усилий во всех стержнях:

Отметим нулевые стержни (2-3) и (7-6): N_2-3= 0, N_7-6 =0.

Для определения усилий в остальных стержнях воспользуемся методом вырезания узлов. Отметим, что начинать следует с узлов, в которых сходятся не более двух стержней с неизвестными усилиями.

Узел 1:

Рис. 3.73

Далее переходим к узлу 2:

Рис. 3.74

Затем имеем возможность рассмотреть узел 3:

(ось  перпендикулярна направлению 1−3−5)

Рис. 3.75

Таким образом могут быть определены усилия во всех стержнях фермы. Окончательные результаты расчета изображены на рис. 3.76.

Рис. 3.76

Выборочная проверка правильности определения усилий заключается в рассмотрении того узла, равновесие которого не было использовано при определении усилий (например узел 4):

Рис. 3.77

3.20. Расчет ферм на внеузловую нагрузку

При возведении покрытия на практике иногда невозможно избежать внеузлового нагружения фермы (например при недостатке или отсутствии плит с шириной, равной длине панели фермы и т.п.). При этом в элементах фермы, непосредственно подверженных действию этой нагрузки, помимо продольных сил «N», возникают изгибающий момент «М» и поперечная сила «Q»(рис.3.78).

Рис. 3.78

В стержнях верхнего пояса «СD» и «DВ» возникают внутренние усилия «М» и «Q», приближенно соответствующие простым балкам на двух шарнирных опорах (индекс «о»).

В таких случаях расчет ведут в следующей последовательности:

1). Производится расчет каждого элемента, загруженного внеузловой нагрузкой, как для простой однопролетной балки.

2). Заданная ферма загружается узловой нагрузкой (рис.3.79), по величине равной полученным значениям опорных реакций от внеузловой нагрузки в простых балках, и производится обычный расчет фермы (определяются продольные усилия).

Рис. 3.79

3). В стержнях, подверженных действию внеузловой нагрузки, сечение подбирается по известной из курса «Сопротивление материалов» формуле:

= N/А ± М/WR;

Во всех других элементах фермы, подбор сечений производится по упомянутой ранее формуле:

= N/АR

Заметим, что для сжатых и сжато-изогнутых элементов фермы необходимо провести дополнительный расчет на устойчивость.

Внеузловая нагрузка на фермы является экономически невыгодной (перерасход материала), поэтому на практике для уменьшения длины панели применяют либо составные, либо шпренгельные фермы.

Определение усилий в стержнях фермы