Метод треугольника: Определитель матрицы методом треугольника | Мозган калькулятор онлайн

теоремы и примеры нахождения определителей

Содержание:

В общем случае правило вычисления определителей $n$-го порядка является довольно громоздким. Для определителей второго и третьего порядка существуют рациональные способы их вычислений.

Вычисления определителей второго порядка

Чтобы вычислить определитель матрицы второго порядка, надо от произведения элементов главной диагонали отнять произведение элементов побочной диагонали:

$$\left| \begin{array}{ll}{a_{11}} & {a_{12}} \\ {a_{21}} & {a_{22}}\end{array}\right|=a_{11} \cdot a_{22}-a_{12} \cdot a_{21}$$

Пример

Задание. Вычислить определитель второго порядка $\left| \begin{array}{rr}{11} & {-2} \\ {7} & {5}\end{array}\right|$

Решение. $\left| \begin{array}{rr}{11} & {-2} \\ {7} & {5}\end{array}\right|=11 \cdot 5-(-2) \cdot 7=55+14=69$

Ответ. $\left| \begin{array}{rr}{11} & {-2} \\ {7} & {5}\end{array}\right|=69$

Методы вычисления определителей третьего порядка

Для вычисления определителей третьего порядка существует такие правила.


Правило треугольника

Схематически это правило можно изобразить следующим образом:

Произведение элементов в первом определителе, которые соединены прямыми, берется со знаком «плюс»; аналогично, для второго определителя — соответствующие произведения берутся со знаком «минус», т.е.

$$\left| \begin{array}{ccc}{a_{11}} & {a_{12}} & {a_{13}} \\ {a_{21}} & {a_{22}} & {a_{23}} \\ {a_{31}} & {a_{32}} & {a_{33}}\end{array}\right|=a_{11} a_{22} a_{33}+a_{12} a_{23} a_{31}+a_{13} a_{21} a_{32}-$$

$$-a_{11} a_{23} a_{32}-a_{12} a_{21} a_{33}-a_{13} a_{22} a_{31}$$

Слишком сложно?

Методы вычисления определителей не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!

Пример

Задание. Вычислить определитель $\left| \begin{array}{rrr}{3} & {3} & {-1} \\ {4} & {1} & {3} \\ {1} & {-2} & {-2}\end{array}\right|$ методом треугольников.

Решение. $\left| \begin{array}{rrr}{3} & {3} & {-1} \\ {4} & {1} & {3} \\ {1} & {-2} & {-2}\end{array}\right|=3 \cdot 1 \cdot(-2)+4 \cdot(-2) \cdot(-1)+$

$$+3 \cdot 3 \cdot 1-(-1) \cdot 1 \cdot 1-3 \cdot(-2) \cdot 3-4 \cdot 3 \cdot(-2)=54$$

Ответ. $\left| \begin{array}{rrr}{3} & {3} & {-1} \\ {4} & {1} & {3} \\ {1} & {-2} & {-2}\end{array}\right|=54$


Правило Саррюса

Справа от определителя дописывают первых два столбца и произведения элементов на главной диагонали и на диагоналях, ей параллельных, берут со знаком «плюс»; а произведения элементов побочной диагонали и диагоналей, ей параллельных, со знаком «минус»:

$$-a_{13} a_{22} a_{31}-a_{11} a_{23} a_{32}-a_{12} a_{21} a_{33}$$

Пример

Задание. Вычислить определитель $\left| \begin{array}{rrr}{3} & {3} & {-1} \\ {4} & {1} & {3} \\ {1} & {-2} & {-2}\end{array}\right|$ с помощью правила Саррюса.

Решение.

$$+(-1) \cdot 4 \cdot(-2)-(-1) \cdot 1 \cdot 1-3 \cdot 3 \cdot(-2)-3 \cdot 4 \cdot(-2)=54$$

Ответ. $\left| \begin{array}{rrr}{3} & {3} & {-1} \\ {4} & {1} & {3} \\ {1} & {-2} & {-2}\end{array}\right|=54$


Разложение определителя по строке или столбцу

Определитель равен сумме произведений элементов строки определителя на их алгебраические дополнения. Обычно выбирают ту строку/столбец, в которой/ом есть нули. Строку или столбец, по которой/ому ведется разложение, будет обозначать стрелкой.

Пример

Задание.

Разложив по первой строке, вычислить определитель $\left| \begin{array}{lll}{1} & {2} & {3} \\ {4} & {5} & {6} \\ {7} & {8} & {9}\end{array}\right|$

Решение. $\left| \begin{array}{lll}{1} & {2} & {3} \\ {4} & {5} & {6} \\ {7} & {8} & {9}\end{array}\right| \leftarrow=a_{11} \cdot A_{11}+a_{12} \cdot A_{12}+a_{13} \cdot A_{13}=$

$1 \cdot(-1)^{1+1} \cdot \left| \begin{array}{cc}{5} & {6} \\ {8} & {9}\end{array}\right|+2 \cdot(-1)^{1+2} \cdot \left| \begin{array}{cc}{4} & {6} \\ {7} & {9}\end{array}\right|+3 \cdot(-1)^{1+3} \cdot \left| \begin{array}{cc}{4} & {5} \\ {7} & {8}\end{array}\right|=-3+12-9=0$

Ответ. $\left| \begin{array}{lll}{1} & {2} & {3} \\ {4} & {5} & {6} \\ {7} & {8} & {9}\end{array}\right|=0$

Этот метод позволяет вычисление определителя свести к вычислению определителя более низкого порядка.

Пример

Задание. Вычислить определитель $\left| \begin{array}{lll}{1} & {2} & {3} \\ {4} & {5} & {6} \\ {7} & {8} & {9}\end{array}\right|$

Решение. Выполним следующие преобразования над строками определителя: из второй строки отнимем четыре первых, а из третьей первую строку, умноженную на семь, в результате, согласно свойствам определителя, получим определитель, равный данному.

$$\left| \begin{array}{ccc}{1} & {2} & {3} \\ {4} & {5} & {6} \\ {7} & {8} & {9}\end{array}\right|=\left| \begin{array}{ccc}{1} & {2} & {3} \\ {4-4 \cdot 1} & {5-4 \cdot 2} & {6-4 \cdot 3} \\ {7-7 \cdot 1} & {8-7 \cdot 2} & {9-7 \cdot 3}\end{array}\right|=$$

$$=\left| \begin{array}{rrr}{1} & {2} & {3} \\ {0} & {-3} & {-6} \\ {0} & {-6} & {-12}\end{array}\right|=\left| \begin{array}{ccc}{1} & {2} & {3} \\ {0} & {-3} & {-6} \\ {0} & {2 \cdot(-3)} & {2 \cdot(-6)}\end{array}\right|=0$$

Определитель равен нулю, так как вторая и третья строки являются пропорциональными.

Ответ. $\left| \begin{array}{lll}{1} & {2} & {3} \\ {4} & {5} & {6} \\ {7} & {8} & {9}\end{array}\right|=0$

Для вычисления определителей четвертого порядка и выше применяется либо разложение по строке/столбцу, либо приведение к треугольному виду, либо с помощью теоремы Лапласа.


Разложение определителя по элементам строки или столбца

Пример

Задание. Вычислить определитель $\left| \begin{array}{llll}{9} & {8} & {7} & {6} \\ {5} & {4} & {3} & {2} \\ {1} & {0} & {1} & {2} \\ {3} & {4} & {5} & {6}\end{array}\right|$ , разложив его по элементам какой-то строки или какого-то столбца.

Решение. Предварительно выполним элементарные преобразования над строками определителя, сделав как можно больше нулей либо в строке, либо в столбце. Для этого вначале от первой строки отнимем девять третьих, от второй — пять третьих и от четвертой — три третьих строки, получаем:

$$\left| \begin{array}{cccc}{9} & {8} & {7} & {6} \\ {5} & {4} & {3} & {2} \\ {1} & {0} & {1} & {2} \\ {3} & {4} & {5} & {6}\end{array}\right|=\left| \begin{array}{cccc}{9-1} & {8-0} & {7-9} & {6-18} \\ {5-5} & {4-0} & {3-5} & {2-10} \\ {1} & {0} & {1} & {2} \\ {0} & {4} & {2} & {0}\end{array}\right|=\left| \begin{array}{rrrr}{0} & {8} & {-2} & {-12} \\ {0} & {4} & {-2} & {-8} \\ {1} & {0} & {1} & {2} \\ {0} & {4} & {2} & {0}\end{array}\right|$$

Полученный определитель разложим по элементам первого столбца:

$$\left| \begin{array}{rrrr}{0} & {8} & {-2} & {-12} \\ {0} & {4} & {-2} & {-8} \\ {1} & {0} & {1} & {2} \\ {0} & {4} & {2} & {0}\end{array}\right|=0+0+1 \cdot(-1)^{3+1} \cdot \left| \begin{array}{rrr}{8} & {-2} & {-12} \\ {4} & {-2} & {-8} \\ {4} & {2} & {0}\end{array}\right|+0$$

Полученный определитель третьего порядка также разложим по элементам строки и столбца, предварительно получив нули, например, в первом столбце. {2+2} \cdot \left| \begin{array}{ll}{2} & {4} \\ {4} & {8}\end{array}\right|=$$

$$=4 \cdot(2 \cdot 8-4 \cdot 4)=0$$

Ответ. $\left| \begin{array}{cccc}{9} & {8} & {7} & {6} \\ {5} & {4} & {3} & {2} \\ {1} & {0} & {1} & {2} \\ {3} & {4} & {5} & {6}\end{array}\right|=0$

Замечание

Последний и предпоследний определители можно было бы и не вычислять, а сразу сделать вывод о том, что они равны нулю, так как содержат пропорциональные строки.

Приведение определителя к треугольному виду

С помощью элементарных преобразований над строками или столбцами определитель приводится к треугольному виду и тогда его значение, согласно свойствам определителя, равно произведению элементов стоящих на главной диагонали.

Пример

Задание. Вычислить определитель $\Delta=\left| \begin{array}{rrrr}{-2} & {1} & {3} & {2} \\ {3} & {0} & {-1} & {2} \\ {-5} & {2} & {3} & {0} \\ {4} & {-1} & {2} & {-3}\end{array}\right|$ приведением его к треугольному виду.

Решение. Сначала делаем нули в первом столбце под главной диагональю. Все преобразования будет выполнять проще, если элемент $a_{11}$ будет равен 1. Для этого мы поменяем местами первый и второй столбцы определителя, что, согласно свойствам определителя, приведет к тому, что он сменит знак на противоположный:

$$\Delta=\left| \begin{array}{rrrr}{-2} & {1} & {3} & {2} \\ {3} & {0} & {-1} & {2} \\ {-5} & {2} & {3} & {0} \\ {4} & {-1} & {2} & {-3}\end{array}\right|=-\left| \begin{array}{rrrr}{1} & {-2} & {3} & {2} \\ {0} & {3} & {-1} & {2} \\ {2} & {-5} & {3} & {0} \\ {-1} & {4} & {2} & {-3}\end{array}\right|$$

Далее получим нули в первом столбце, кроме элемента $a_{11}$ , для этого из третьей строки вычтем две первых, а к четвертой строке прибавим первую, будем иметь:

$$\Delta=-\left| \begin{array}{rrrr}{1} & {-2} & {3} & {2} \\ {0} & {3} & {-1} & {2} \\ {0} & {-1} & {-3} & {-4} \\ {0} & {2} & {5} & {-1}\end{array}\right|$$

Далее получаем нули во втором столбце на месте элементов, стоящих под главной диагональю. И снова, если диагональный элемент будет равен $\pm 1$ , то вычисления будут более простыми. Для этого меняем местами вторую и третью строки (и при этом меняется на противоположный знак определителя):

$$\Delta=\left| \begin{array}{rrrr}{1} & {-2} & {3} & {2} \\ {0} & {-1} & {-3} & {-4} \\ {0} & {3} & {-1} & {2} \\ {0} & {2} & {5} & {-1}\end{array}\right|$$

Далее делаем нули во втором столбце под главной диагональю, для этого поступаем следующим образом: к третьей строке прибавляем три вторых, а к четвертой — две вторых строки, получаем:

$$\Delta=\left| \begin{array}{rrrr}{1} & {-2} & {3} & {2} \\ {0} & {-1} & {-3} & {-4} \\ {0} & {0} & {-10} & {-10} \\ {0} & {0} & {-1} & {-9}\end{array}\right|$$

Далее из третьей строки выносим (-10) за определитель и делаем нули в третьем столбце под главной диагональю, а для этого к последней строке прибавляем третью:

$$\Delta=-10 \left| \begin{array}{rrrr}{1} & {-2} & {3} & {2} \\ {0} & {-1} & {-3} & {-4} \\ {0} & {0} & {1} & {1} \\ {0} & {0} & {-1} & {-9}\end{array}\right|=$$

$$=-10 \cdot \left| \begin{array}{cccc}{1} & {-2} & {3} & {2} \\ {0} & {-1} & {-3} & {-4} \\ {0} & {0} & {1} & {1} \\ {0} & {0} & {0} & {-8}\end{array}\right|=(-10) \cdot 1 \cdot(-1) \cdot 1 \cdot(-8)=-80$$

Ответ. $\Delta=-80$


Теорема Лапласа

Теорема

Пусть $\Delta$ — определитель $n$-го порядка. Выберем в нем произвольные $k$ строк (или столбцов), причем $k \leq n-1$ . Тогда сумма произведений всех миноров $k$-го порядка, которые содержатся в выбранных $k$ строках (столбцах), на их алгебраические дополнения равна определителю.

Пример

Задание.

Используя теорему Лапласа, вычислить определитель $\left| \begin{array}{rrrrr}{2} & {3} & {0} & {4} & {5} \\ {0} & {1} & {0} & {-1} & {2} \\ {3} & {2} & {1} & {0} & {1} \\ {0} & {4} & {0} & {-5} & {0} \\ {1} & {1} & {2} & {-2} & {1}\end{array}\right|$

Решение. Выберем в данном определителе пятого порядка две строки — вторую и третью, тогда получаем (слагаемые, которые равны нулю, опускаем):

$$\left| \begin{array}{rrrrr}{2} & {3} & {0} & {4} & {5} \\ {0} & {1} & {0} & {-1} & {2} \\ {3} & {2} & {1} & {0} & {1} \\ {0} & {4} & {0} & {-5} & {0} \\ {1} & {1} & {2} & {-2} & {1}\end{array}\right|=\left| \begin{array}{cc}{1} & {-1} \\ {4} & {-5}\end{array}\right| \cdot(-1)^{2+4+2+4} \cdot \left| \begin{array}{ccc}{2} & {0} & {5} \\ {3} & {1} & {1} \\ {1} & {2} & {1}\end{array}\right|+$$

$$+\left| \begin{array}{ll}{1} & {2} \\ {4} & {0}\end{array}\right| \cdot(-1)^{2+4+2+5} \cdot \left| \begin{array}{rrr}{2} & {0} & {4} \\ {3} & {1} & {0} \\ {1} & {2} & {-2}\end{array}\right|+\left| \begin{array}{cc}{-1} & {2} \\ {-5} & {0}\end{array}\right| \cdot(-1)^{2+4+5} \cdot \left| \begin{array}{ccc}{2} & {3} & {0} \\ {3} & {2} & {1} \\ {1} & {1} & {2}\end{array}\right|=$$

$$=-23+128+90=195$$

Ответ. $\left| \begin{array}{rrrrr}{2} & {3} & {0} & {4} & {5} \\ {0} & {1} & {0} & {-1} & {2} \\ {3} & {2} & {1} & {0} & {1} \\ {0} & {4} & {0} & {-5} & {0} \\ {1} & {1} & {2} & {-2} & {1}\end{array}\right|=195$

Читать дальше: обратная матрица.

Учимся легко запоминать информацию. Метод треугольника

Наверняка многие из вас замечали, что одна информация запоминается несложно, а для запоминания другой приходится прикладывать усилия. Это объясняется тем, что легче запоминается то, что вызывает интерес.

А как быть, если необходимо быстро запомнить неинтересную, но важную информацию? Например, перед экзаменом. В  таких случаях рекомендуем вам использовать метод треугольника.

Треугольник запоминания состоит из вершин: впечатление — запоминание — редактирование.

Вершина «впечатление»

У этой вершины два смысла:

  1. Впечатление возникает тогда, когда мы работаем с очень увлекательной или чрезвычайно важной информацией.
  2. Впечатление напрямую зависит от внимания: чем больше внимания мы уделяем вопросу, тем больше впечатления получаем.

Например, когда мы читаем какую-либо книгу по саморазвитию или смотрим обучающее видео,  а в этот момент кто-либо отвлекает нас своими вопросами, мы замечаем, что смысл прочитанного или увиденного начинает от нас ускользать. В этот момент мы перестаем воспринимать информацию.

Если же мы с головой погружаемся в изучаемый вопрос, то начинаем лучше осознавать получаемую информацию.

Поэтому, чтобы лучше воспринимать любую информацию (особенно сложную или скучную), нужно научиться избегать отвлекающих факторов и уметь сконцентрировать свое внимание на изучаемой теме.

Вершина «запоминание»

Когда мы запоминаем информацию, мы улучшаем её понимание. Для запоминания можно применять различные способы (визуализация, ассоциации и т.п.).

​​Суть этой вершины в том, что запомнить можно даже ту информацию, которая не вызывает у вас интереса. Когда вы запоминаете материал, вы начинаете его понимать.

Вершина «редактирование»

Редактирование информации — это любая работа с ней. Например, написание рецензий, составление тезисов, обработка текста или изложение темы своими словами. Даже обычный пересказ или выделение главных мыслей в тексте контрастным маркером — это тоже редактирование.

Источник: https://zen.yandex.ru/media/hakunamatata/kak-nauchitsia-legko-zapominat-informaciiu-metod-treugolnika-ot-hakuny-mataty-5e66f4a6dbf48a391f4cb122

Треугольник в шахматах — правило, примеры, видео

Треугольником в шахматах называется метод передачи очереди хода сопернику посредством маневрирования короля. Передвижением по соседним полям и образуя треугольник, шахматист пропускает ход дважды и создает для оппонента положение, в котором тот вынужден сделать ход, ухудшающий его позицию. Посмотрите видео выше, чтобы лучше понять суть вопроса.

Правило треугольника – это одно из базовых понятий в пешечном эндшпиле.

Разберем пару примеров.

На приведенной диаграмме – выигрыш белых, независимо от того, чей ход. Действительно, если ход черных, тогда:

1…Крe7 2.c6 b:c6+ 3.Кр:c6 Крd8 4.b7 Крe7

И белые проводят свою пешку в ферзи.

Если же ход белых, тогда для достижения выигрыша применяется треугольник:

1.Крd4 Крc6 2.Крc4 Крd7 3.Крd5

Ходами 1.Крd4 2.Крc4 3.Крd5 был создан треугольник «d4-c4-d5». Позиция не изменилась, но белые передали очередь хода и тем самым выигрывают.

Треугольник можно было образовать и с помощью других полей: «e5-d4-d5» или «e4-d4-d5». Или изменив порядок ходов – «c4-d4-d5». С применением этих треугольников, меняется положение королей, но не меняется суть позиции – у белых выиграно, они успешно передали ход сопернику и проводят пешку в ферзи:

1. Крe4 Крc6 2.Крd4 Крb5 3.Крd5

Крa5 4.Крd6 Крb5 5.c6 b:c6 6.b7 Крb6 7.b8Ф+

В следующем примере единственный для белых выигрывающий ход – это 1.Крf1

Если в предыдущем случае белые могли образовать целых четыре треугольника, то здесь у черных всегда есть ход …e4, на который приходится реагировать.

1.Крf1 e4 2.f:e4 Кр:e4 3.Крg2 Крf4 4.Крh4 Крg5 5.Крg3

или

2…Кр:g4 3.Крe2 Крf4 4.Крd3 Крe5 5.Крe3

В зависимости от того какую пешку черные решат побить, белые играют 3.Крg2 или 3.Крe2, образуя треугольники «f2-f1-g2» или «f2-f1-e2».

В случае, если на 1.Крf1 черные отступают 1…Крg5, к выигрышу ведет не один ход. Возможный вариант:

1…Крg5 2.Крg2 Крf4 3.Крf2 Крg5 4.Крe3

Крg6 5.

Крe4 Крf6 6.Крd5 Крg5 7.Кр:e5

Понятие треугольника тесно связано с понятием «оппозиции» и «полей соответствия».

Метод площадей для решения задач

\(\blacktriangleright\) Теорема 1. Если вершину треугольника перемещать по прямой, параллельной противолежащей стороне, то площадь при этом останется прежней.

 

Доказательство: Рассмотрим три треугольника \(\triangle ABC, \triangle A_1BC, \triangle A_2BC\). Т.к. \(A_1A_2\parallel BC\), то расстояние от любой точки одной из этих прямых до другой прямой одинаково. То есть высоты, опущенные из точек \(A, A_1, A_2\) на прямую \(BC\) будут равны: \(AH=A_1H_1=A_2H_2=h\). Т.к. у этих треугольников общее основание \(BC\), то: \[S_{\triangle ABC}=S_{\triangle A_1BC}=S_{\triangle A_2BC}=\dfrac12BC\cdot h\]

 

\(\blacktriangleright\) Теорема 2. Если два треугольника имеют равные высоты (общую высоту), то их площади относятся как основания, к которым эти высоты проведены.

 

Доказательство: Рассмотрим треугольники \(\triangle ABC\) и \(\triangle ABC_1\): т.к. высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины на прямую, содержащую противолежащую сторону, то \(AH\) — высота и \(\triangle ABC\), и \(\triangle ABC_1\). Следовательно: \[\dfrac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle ABC_1}}=\dfrac{\frac12 AH\cdot BC}{\frac12 AH\cdot BC_1}=\dfrac{BC}{BC_1}\]

 

\(\blacktriangleright\) Теорема 3. Если два треугольника имеют одинаковые стороны (общую сторону), то их площади относятся как высоты, которые к этим сторонам проведены.

 

Доказательство: Рассмотрим треугольники \(\triangle ABC\) и \(\triangle ABC_1\). Проведем на их общую сторону \(AB\) высоты \(CH\) и \(C_1H_1\). Тогда: \[\dfrac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle ABC_1}}=\dfrac{\frac12 CH\cdot AB}{\frac12 C_1H_1\cdot AB}=\dfrac{CH}{C_1H_1}\]

 

\(\blacktriangleright\) Следствие: Медиана треугольника делит его на два треугольника, равных по площади.

 

Доказательство: по теореме 2 площади \(\triangle ABM\) и \(\triangle CBM\) относятся как основания \(AM\) и \(CM\). Но \(AM=CM \Rightarrow S_{\triangle ABM}=S_{\triangle CBM}\).

 

\(\blacktriangleright\) Следствие: Все три медианы треугольника делят его на шесть треугольников, равных по площади.

 

Доказательство: т.к. \(AK\) — медиана \(\triangle ABC\), то \(S_{\triangle_1}+S_{\triangle_2}+S_{\triangle_3}=S_{\triangle_4}+S_{\triangle_5}+S_{\triangle_6}\).

 

Т.к. \(OK\) — медиана \(\triangle OBC\), то \(S_{\triangle_3}=S_{\triangle_4}\). Следовательно, \(S_{\triangle_1}+S_{\triangle_2}=S_{\triangle_5}+S_{\triangle_6} \ (*)\).

 

Т.к. \(ON\) — медиана \(\triangle AOB\), то \(S_{\triangle_1}=S_{\triangle_2}\), аналогично, \(S_{\triangle_5}=S_{\triangle_6}\). Следовательно, подставляя эти равенства в \((*)\), получим: \(2S_{\triangle_1}=2S_{\triangle_6} \Rightarrow S_{\triangle_1}=S_{\triangle_6} \Rightarrow S_{\triangle_2}=S_{\triangle_5}\).

 

Аналогично доказывается, что \(S_{\triangle_4}=S_{\triangle_5}\). Таким образом, площади всех этих треугольников равны.

 

\(\blacktriangleright\) Теорема 4. Если два треугольника имеют по равному углу (общему углу), то их площади относятся как произведения сторон, образующих эти углы.

 

Доказательство: Рассмотрим треугольники \(\triangle B_1AC_1\) и \(\triangle BAC\), имеющие равный (общий) \(\angle A\). Т.к. площадь треугольника равна полупроизведению сторон на синус угла между ними, то: \[\dfrac{S_{\triangle BAC}}{S_{\triangle B_1AC_1}}=\dfrac{\frac12 \sin \angle A\cdot BA\cdot AC}{\frac12 \sin \angle A\cdot B_1A\cdot AC_1}=\dfrac{BA\cdot AC}{B_1A\cdot AC_1}\]

 

\(\blacktriangleright\) Следствие: Биссектриса угла треугольника делит его на два треугольника, площади которых относятся как стороны, образующие этот угол.

 

Доказательство: \(\dfrac{S_{\triangle ABR}}{S_{\triangle CBR}}=\dfrac{\frac12 \sin \alpha \cdot AB\cdot BR}{\frac12 \sin \alpha\cdot CB\cdot BR}=\dfrac{AB}{CB}\)

 

\(\blacktriangleright\) Теорема 5. 2\]

 

\(\blacktriangleright\) Следствие: Все три средние линии треугольника делят его на четыре равных треугольника, и, как следствие, равных по площади.

 

Доказательство: \(\triangle_1, \triangle_2, \triangle_3 \sim \triangle ABC\) с коэффициентом подобия \(\dfrac12\). Следовательно, \(S_{\triangle_1}=S_{\triangle_2}=S_{\triangle_3}=\dfrac14S_{\triangle ABC} \Rightarrow S_{\triangle_4}=S_{\triangle ABC}-3S_{\triangle_1}=\dfrac14S_{\triangle ABC}\)

4.11 Метод треугольника Фуллера. Определение параметров природно-техногенного комплекса

Похожие главы из других работ:

Оборудование для очистки атмосферного воздуха

2.6 Каталитический метод

Этим методом превращают токсичные компоненты промышленных выбросов в вещества безвредные или менее вредные для окружающей среды путем введения в систему дополнительных веществ, называемых катализаторами. ..

Оборудование для очистки атмосферного воздуха

2.7 Термический метод

Достаточно большое развитие в практике нейтрализации вредных примесей, содержащихся в вентиляционных и других выбросах, имеет высокотемпературное дожигание (термическая нейтрализация)…

Определение параметров природно-техногенного комплекса

4.4 Метод Домбровского

Для численности отдыхающих и дохода рассчитываем отклонение от максимального значения…

Определение параметров природно-техногенного комплекса

4.9 Метод Ныковского

В данном методе считаем отклонение от максимального значения для каждого критерия по формуле: ур = ; уN = ; уД = . Расчёт сводим в таблицу №18. Таблица №18 Расчёт отклонения от максимального значения для каждого критерия № варианта Wводохр….

Определение параметров природно-техногенного комплекса

4.10 Метод Паретто

Этот метод позволяет значительно уменьшить количество рассматриваемых вариантов решений следующим образом. Метод Паретто заключается в том, что необходимо принять относительную область решений при наличии 3 критериев…

Определение параметров природно-техногенного комплекса

4.13 Метод циклограмм

Этот метод используется для выбора окончательного объема водохранилища при помощи построения циклограмм. 1. Находим абсолютные отклонения от максимального значения критериев ДN=Nmax-N ДД=Дmax-Д ДР=Рmax-Р 2…

Основні типи забруднювачів повітряного басейну та методи його очищення

3.1 Абсорбційний метод

Абсорбція є процесом розчинення газоподібного компоненту в рідкому розчиннику. Системи абсорбції розділяють на водні і неводні. У другому випадку застосовують зазвичай малолетючі органічні рідини…

Основні типи забруднювачів повітряного басейну та методи його очищення

3.2 Адсорбційний метод

Адсорбційний метод є одним з найпоширеніших засобів захисту повітряного басейну від забруднень. Основними промисловими адсорбентами є активоване вугілля, складні оксиди і імпрегновані сорбенти. ..

Основні типи забруднювачів повітряного басейну та методи його очищення

3.7 Плазмокаталітичний метод

Це досить новий спосіб очищення, який використовує два відомі методи, — плазмохімічний і каталітичний. Установки, що працюють на основі цього методу, складаються з двох ступенів. Перша — це плазмохімічний реактор (озонатор)…

Оценка эффективности методов очистки газового потока от сернистого ангидрида

2.1 Абсорбционный метод

Суть: Очистка газовых выбросов путем разделения газовой смеси на составные части за счет поглощения одной или нескольких вредных примесей (абсорбатов), содержащихся в этой смеси, жидким поглотителем (абсорбентом) с образованием раствора…

Оценка эффективности методов очистки газового потока от сернистого ангидрида

2.3 Каталитический метод

Суть: Каталитический метод предназначен для превращения вредных примесей, содержащихся в отходящих газах промышленных выбросов…

Оценка эффективности методов очистки газового потока от сернистого ангидрида

2.4 Аммиачный метод

Суть: Процесс очистки выхлопных газов от SO2 аммиачным методом заключается в промывке газа аммиачной водой. При этом протекает реакция SO2 + 2Nh4 + h3O = (Nh5) + 2SO3; (Nh5)2 SO3 + SO2 + h3O = 2 Nh5 + HSO3. В газовую смесь впрыскивают аммиак, который…

Оценка эффективности методов очистки газового потока от сернистого ангидрида

2.5 Биохимический метод

Суть: Газы фильтруют через твердый слой, содержащий биологически активные вещества — ферменты, либо промывают суспензиями с частицами активного ила. В качестве фильтрующего слоя используют почву, компост, торф, а также их смеси с активным илом…

Разработка программного модуля для нахождения оптимальных предельно-допустимых выбросов в атмосферу от группы источников

2. Симплекс-метод

Симлекс-метод — это характерный пример итерационных вычислений. используемых при решении большинства оптимизационных задач. В вычислительной схеме симплекс-метода реализуется упорядоченный процесс, при котором…

Термическое обезвреживание (сжигание) сточных вод

2. Огневой метод

Огневой метод используют для сжигания негорючих сточных вод. Сущность метода заключается в распылении сточных вод в топочные газы, имеющие высокую температуру (900—1000 °С). Вода при этом полностью испаряется…

Определитель 4 порядка. Калькулятор

Определители четвертого и старших порядков возможно вычислять по упрощенным схемам, которые заключаются в разложении по элементам строк или столбцов или сведении к треугольному виду. Оба метода для наглядности будут рассмотрены на матрицах 4-го порядка.

Первый пример мы рассмотрим с подробными объяснениями всех промежуточных действий.

Пример 1. Вычислить определитель методом разложения.

Решение. Для упрощения вычислений разложим определитель четвертого порядка по элементам первой строки (содержит нулевой элемент). Они образуются умножением элементов на соответствующие им дополнения (образуются вычеркивания строк и столбцов на пересечении элемента, для которого исчисляются — выделено красным)


В результате вычисления сведутся к отысканию трех определителей третьего порядка, которые находим по правилу треугольников












Найденные значения подставляем в выходной детерминант

Результат легко проверить с помощью матричного калькулятора YukhymCALC . Для этого в калькуляторе выбираем пункт Матрицы-Определитель матрицы, размер матрицы устанавливаем 4*4.

Далее вводим же матрицу и осуществляем вычисления. Результатом расчетов будет следующий вывод данных

Результаты совпадают, следовательно вычисления проведены верно.

Пример 2. Вычислить определитель матрицы четвертого порядка.

Решение.

Как и в предыдущем задании осуществим вычисления методом разложения. Для этого выберем элементы первого столбца. Упрощенно определитель можно подать через сумму четырех детерминант третьего порядка в виде

Далее переходим к отысканию определителей по правилу треугольников












Вычисления не слишком сложные, главное не напутать со знаками и треугольниками. Найденные величины подставляем в главный определитель и суммируем

Результат проверяем матричным калькулятором YukhymCALC . Правильность расчетов подтверждается следующим рисунком

Метод возведения определителя к треугольному виду

Данный метод позволяет ряд определителей вычислить достаточно быстрый способ. Суть его заключается в объединении определителя к треугольному виду, при этом следует учитывать все множители на которые увеличиваем или уменьшаем строки и учете при конечных расчетах. Из данного определения Вы ничего для себя не поймете, поэтому лучше все показать на конкретных примерах.

Пример 3. Найти определитель матрицы сведением к треугольному виду

Решение.

Сначала осуществляем математические манипуляции, чтобы получить все нулевые элементы кроме первого в первом столбце. Для этого от второй строки вычитаем первый, умноженный на два. В результате получим

Далее есть два варианта: от третьей строки вычесть первый умноженный на три, или от третьего вычесть сумму первых двух строк. Последний вариант позволит получить сразу два нуля в строке, его и выбираем

Дальше целесообразнее от четвертой отнять удвоенную вторую строчку. В результате элементарных преобразований определитель примет вид

Осталось превратить в ноль один элемент в третьем столбце. Для этого от четвертой строки вычитаем удвоенную третью в предварительно записанном определителе

По свойству, определитель треугольной матрицы равен произведению диагональных элементов.


По желанию можно проверить результат матричным калькулятором.

В этом примере никаких умножений строк, в которых зануливали элементы мы не выполняли, поэтому полностью раскрыть метод на этом примере не получилось.

Рассмотрим более сложный.

Пример 4.

Найти определитель матрицы 4-го порядка

Решение.

Элементарными преобразованиями сводим определитель к треугольного вида. Для этого от каждой строки вычитаем первый. В результате преобразований получим следующий детерминант

Для удобства вычислений, меняем третью строчку со вторым местами..

По свойству определителей любая замена строк местами ведет к изменению знака определителя. Учитываем это в некотором множителе k=-1.

От третьей строки вычитаем второй, умноженный на минус три. После упрощений получим

Превращаем в ноль последний элемент во втором столбце, для этого вычитаем вторую строчку умноженный на 2.

Результат будет следующим

От удвоенного четвертой строки вычитаем третий. По свойству, умножения строки на постоянную а ведет к изменению определителя в а раз. Данное изменение фиксируем в множителе k=-1*2=-2.

Окончательное значение определителя будет равно произведению диагональных элементов разделенных (или нормированных) на множитель k, который отвечает за изменение детерминанта при элементарных преобразованиях. Выполняем вычисления

Проверка матричным калькулятором подтверждает правильность производимых вычислений.

Метод разложения определителя по элементам строк или столбцов достаточно быстрым при исчислении определителей больших размеров. Метод сведения к треугольного вида эффективен, если элементарные преобразования легко проследить и не приводят к большим произведений. В других случаях нужно пользоваться комбинацией этих методов, в последнее образовывать как можно больше нулевых элементов, а методом разложения по строкам или столбцам уменьшать количество выполненных операций. Это позволит без проблем вычислять определители третьего, четвертого и даже пятого порядка.

Построение структурных карт методом треугольников


Метод треугольников — один из наиболее распространенных способов построения структурных карт в геологической практике. Чаще всего он применяется, если территория разбурена равномерной сетью скважин, а картируемые структурные формы предполагаются изометричными или брахиморфными. Этот метод заключается в том, что структурная форма представляется в виде системы плоскостей, каждая из которых строится по трем точкам. На рис. 16.2 показано такое представление поверхности P по пяти скважинам. Эта поверхность представлена четырьмя треугольниками ABC, ВСД, ДСЕ, ЕСА.

При применении метода треугольников после нанесения скважин, определения сечения стратоизогипс и общего анализа структуры приступают собственно к построению структурной карты. Работа проводится в следующей последовательности:


Разбивка на треугольники. Для этого соединяют между собой точки расположения смежных скважин, в результате чего получается система треугольников. При этом можно соединять только те скважины, между которыми поверхность залегает моноклинально. Стороны треугольников не должны пересекаться друг с другом и не должны пересекать ось структуры, а треугольники должны быть как можно более равносторонними. Вдоль каждой стороны треугольника предполагается равномерное изменение абсолютной отметки пласта. На рис. 16.3 приведен вариант возможной разбивки площади на треугольники.

Линейная интерполяция — пропорциональное деление расстояния между скважинами согласно выбранному сечению стратоизогипс (рис. 16.3). Для этого нужно найти те места на отрезках между скважинами, где должны проходить изогипсы (при выбранном сечении). Различные приемы линейной интерполяции описаны в приложении «Интерполяция».


Построение стратоизогипс. Полученные на сторонах треугольников значения изогипс для удобства построения карты надписываются, и одноименные значения соединяются плавными линиями, начиная от максимальных или минимальных значений стратоизогипс. Значения приведенных глубин изогипс подписываются в их «разрыве», причем основание цифр должно быть направлено вниз по наклону структурной формы (рис. 16.4). При одинаковой крутизне геологической поверхности (одинаковом угле падения) изогипсы пройдут на одинаковом расстоянии друг от друга. При уменьшении углов падения расстояния между изогипсами увеличиваются (они как бы расходятся), а при увеличении — уменьшаются (наблюдается их сгущение) точно так же, как это происходит с заложением пласта или горизонталями рельефа.

Сложение и вычитание векторов

Чтобы сложить или вычесть два вектора, сложите или вычтите соответствующие компоненты.

Позволять ты → знак равно 〈 ты 1 , ты 2 〉 а также v → знак равно 〈 v 1 , v 2 〉 быть двумя векторами.

Тогда сумма ты → а также v → это вектор

ты → + v → знак равно 〈 ты 1 + v 1 , ты 2 + v 2 〉

Разница ты → а также v → является

ты → — v → знак равно ты → + ( — v → ) знак равно 〈 ты 1 — v 1 , ты 2 — v 2 〉

Сумма двух или более векторов называется результирующей.Результат двух векторов можно найти, используя либо метод параллелограмма или метод треугольника .

Метод параллелограмма:

Нарисуйте векторы так, чтобы их начальные точки совпадали. Затем нарисуйте линии, чтобы сформировать полный параллелограмм. Диагональ от начальной точки до противоположной вершины параллелограмма является результирующей.

Добавление вектора:

  1. Поместите оба вектора ты → а также v → в той же начальной точке.

  2. Завершите параллелограмм. Результирующий вектор ты → + v → — диагональ параллелограмма.

Вычитание вектора:

  1. Завершите параллелограмм.

  2. От начальной точки начертите диагонали параллелограмма.

Метод треугольника:

Нарисуйте векторы один за другим, помещая начальную точку каждого последующего вектора в конечную точку предыдущего вектора.Затем проведите результат от начальной точки первого вектора к конечной точке последнего вектора. Этот метод также называют метод «голова к хвосту» .

Добавление вектора:

Вычитание вектора:

Пример:

Найди) ты → + v → и (б) ты → — v → если ты → знак равно 〈 3 , 4 〉 а также v → знак равно 〈 5 , — 1 〉 .

Подставьте указанные значения ты 1 , ты 2 , v 1 а также v 2 в определение сложения векторов.

ты → + v → знак равно 〈 ты 1 + v 1 , ты 2 + v 2 〉 знак равно 〈 3 + 5 , 4 + ( — 1 ) 〉 знак равно 〈 8 , 3 〉

Перепиши разницу ты → — v → как сумма ты → + ( — v → ) .Нам нужно будет определить компоненты — v → .

Напомним, что — v → является скалярным кратным — 1 раз v . Из определения скалярного умножения имеем:

— v → знак равно — 1 〈 v 1 , v 2 〉 знак равно — 1 〈 5 , — 1 〉 знак равно 〈 — 5 , 1 〉

Теперь добавьте компоненты ты → а также — v → .

ты → + ( — v → ) знак равно 〈 3 + ( — 5 ) , 4 + 1 〉 знак равно 〈 — 2 , 5 〉

Метод треугольника: обучение ученика перед пациентом…: Академическая медицина

Что вы по профессии? Academic MedicineAcute Уход NursingAddiction MedicineAdministrationAdvanced Практика NursingAllergy и ImmunologyAllied здоровьеАльтернативная и комплементарной MedicineAnesthesiologyAnesthesiology NursingAudiology & Ear и HearingBasic ScienceCardiologyCardiothoracic SurgeryCardiovascular NursingCardiovascular SurgeryChild NeurologyChild PsychiatryChiropracticsClinical SciencesColorectal SurgeryCommunity HealthCritical CareCritical Уход NursingDentistryDermatologyEmergency MedicineEmergency NursingEndocrinologyEndoncrinologyForensic MedicineGastroenterologyGeneral SurgeryGeneticsGeriatricsGynecologic OncologyHand SurgeryHead & Neck SurgeryHematology / OncologyHospice & Паллиативная CareHospital MedicineInfectious DiseaseInfusion Сестринское делоВнутренняя / Общая медицинаВнутренняя / лечебная ординатураБиблиотечное обслуживание Материнское обслуживание ребенкаМедицинская онкологияМедицинские исследованияНеонатальный / перинатальный неонатальный / перинатальный уходНефрологияНеврологияНейрохирургияМедицинско-административное сестринское дело ecialtiesNursing-educationNutrition & DieteticsObstetrics & GynecologyObstetrics & Gynecology NursingOccupational & Environmental MedicineOncology NursingOncology SurgeryOphthalmology / OptometryOral и челюстно SurgeryOrthopedic NursingOrthopedics / Позвоночник / Спорт Медицина SurgeryOtolaryngologyPain MedicinePathologyPediatric SurgeryPediatricsPharmacologyPharmacyPhysical Медицина и RehabilitationPhysical Терапия и женщин Здоровье Физическое TherapyPlastic SurgeryPodiatary-generalPodiatry-generalPrimary Уход / Семейная медицина / Общие PracticePsychiatric Сестринское делоПсихиатрияПсихологияОбщественное здравоохранениеПульмонологияРадиационная онкология / ТерапияРадиологияРевматологияНавыки и процедурыСонотерапияСпорт и упражнения / Тренинги / ФитнесСпортивная медицинаХирургический уходПереходный уходТрансплантационная хирургияТерапия травмТравматическая хирургияУрологияЖенское здоровье Уход за ранамиДругое

Что ваша специальность? Addiction MedicineAllergy & Clinical ImmunologyAnesthesiologyAudiology & Speech-Language PathologyCardiologyCardiothoracic SurgeryCritical Уход MedicineDentistry, Oral Surgery & MedicineDermatologyDermatologic SurgeryEmergency MedicineEndocrinology & MetabolismFamily или General PracticeGastroenterology & HepatologyGenetic MedicineGeriatrics & GerontologyHematologyHospitalistImmunologyInfectious DiseasesInternal MedicineLegal / Forensic MedicineNephrologyNeurologyNeurosurgeryNursingNutrition & DieteticsObstetrics & GynecologyOncologyOphthalmologyOrthopedicsOtorhinolaryngologyPain ManagementPathologyPediatricsPlastic / Восстановительная SugeryPharmacology & PharmacyPhysiologyPsychiatryPsychologyPublic, Окружающая среда и гигиена трудаРадиология, ядерная медицина и медицинская визуализацияФизическая медицина и реабилитация Респираторная / легочная медицинаРевматологияСпортивная медицина / наукаХирургия (общая) Хирургия травмТоксикологияТрансплантационная хирургияУрологияСосудистая хирургияВироло у меня нет медицинской специальности

Каковы ваши условия работы? Больница на 250 коекБольница на более 250 коекУправление престарелыми или хосписы Психиатрическое или реабилитационное учреждениеЧастная практикаГрупповая практикаКорпорация (фармацевтика, биотехнология, инженерия и т. Д.) Докторантура Университета или Медицинского факультета Магистратура или 4-летнего Академического Университета Общественный колледж Правительство Другое

Узнайте о методе «Купить сейчас»

Узнайте, как привлечь более широкую аудиторию и увеличить продажи с помощью Образовательный подход к продажам


Майкл Мавен

Важно понимать, как потенциальный покупатель или потенциальный клиент становится клиентом вашего бизнеса.

Когда вы поймете, как это происходит, то можете настроить определенные условия, чтобы максимально использовать это.

Это действительно может привлечь к вам больше клиентов и бизнес отдельно от ваших конкурентов.

Треугольник «Купить сейчас» — узнавайте заранее и обращайте внимание на клиентов Намного быстрее

Взгляните на диаграмму ниже. Это называется треугольником покупки сейчас.

Треугольник представляет всех людей.Цвета показывают, насколько горячее лицо для покупки любого товара в любое время.

Фиолетовый / Синий означает, что им это совсем не интересно. Красный / белый означает, что они очень горячо покупать, и они заинтересованы в покупке прямо сейчас.

Треугольник «Купить сейчас»: отображает общую аудитория для вашего продукта. Увеличьте продажи
, перемещая группу вверх по треугольнику, пока они не дойдут до группы 1 (G1). категория. Тогда
они «захотят купить сейчас».


Вы можете увидеть G1 (группа 1) вверху.Он представляет 3% всех людей кто прямо сейчас заинтересован в покупке конкретного товара.

Например, 3% всех людей заинтересует:

  • Покупаю машину прямо сейчас.
  • Куплю дом прямо сейчас.
  • Куплю рубашку прямо сейчас.
  • Покупка конкретного товара, который вы продаете, прямо сейчас и т. Д.
Вы ошибаетесь?

Большинство компаний получают прибыль за счет внимание только к группе 1 — людям, которые хотят купить сейчас.Это где они встречаются со своими клиентами. И это единственная группа, которой они продают.

Им удается оставаться прибыльными, продавая 3% людей, которые хотят купить их товар прямо сейчас. Вот и все, что они делают.

А как насчет остальных 97%? Представьте, сколько дополнительных продаж вы могли бы сделайте, если бы вы знали, как поднять группы 2, 3 и 4 вверх по треугольнику и продавать им тоже? Что бы рост от продаж до 3% рынка по сравнению с возможностью продавать до 70% рынка .

Как вы думаете, как это повлияет на ваши показатели продаж? Вам придется огромный рост продаж. Более того, вы можете использовать эту стратегию, чтобы ваши клиенты будут более лояльными, уважать своих больше, снижать цены покупателей и даже заставить ваших клиентов доверять вам больше …

Прибыл более разумный способ продаж

Подход к продаже — начать с нижней части треугольник, и поднимите своих клиентов вверх.

Прежде всего, мы будем иметь дело с группой 5.Это люди, которые будут никогда не покупайте свой товар. Возможно, у них уже есть товар, или он им не нравится или у них действительно есть причина не покупать его (например, у них аллергия на ингредиенты в вашем продукте и т. д.). Таким образом, мы пропускаем только группу 5. Они 30%, которые никогда не купят, и поэтому маркетинг для этих людей не хорошее использование времени.

Далее нам нужно взять группы 4, 3 и 2. Это всего 67% весь рынок, кого можно научить, почему им нужно покупать у вас. Мы будем возьмите эти группы людей и переместите их вверх по треугольнику.

Мы поднимем их сверх лимита действий, чтобы они стали покупателями ваш продукт.

Предел действия

Лимит действия — это уровень, на котором перспектива становится активной. заинтересованы в покупке вашего товара. Это предел, на котором находится покупатель. активировал и решает купить.

Идея состоит в том, чтобы встретиться с потенциальным клиентом намного раньше (когда они находятся в группе 4 на нижнем конце треугольник). Тогда вы можете поднять свою перспективу к пределу действия.

После этого вы продолжаете приносить их вверх, пока не пройдете мимо действия предел. Это автоматически заставляет вашего потенциального клиента примите меры и купите свой продукт.

Это важно, потому что люди будут покупайте только тогда, когда ОНИ готовы покупать. Не когда ВЫ хотите, чтобы они купили.

Люди будут покупайте только тогда, когда ОНИ готовы покупать, а не тогда, когда ВЫ хотите, чтобы они купить!

Но вы можете помочь им перейти от «незнания» к созданию «осознанное решение о покупке»…

Как помочь потенциальному клиенту подняться по треугольнику «Купить сейчас»

Важно знакомиться с людьми, когда они находятся в 4-м групповом этапе треугольник. Люди из группы 4 считают, что им неинтересны ваши продукт. Таким образом, вы не можете сосредоточиться на продаже своего продукта, когда говорите в группу 4 человека.

Давайте возьмем мануального терапевта в качестве примера.

Представьте, что мануальный терапевт подошел к группе из 4 человек с отчетом. под названием «Как найти хорошего мануального терапевта».Это их не заинтересует — потому что они не ищут мануального терапевта. Однако он может подать апелляцию в группу из 2 человек, которые, возможно, очень скоро будут искать мануального терапевта.

Чтобы обратиться к группе 4, нам нужно расширить возможно .

Отчет под названием «7 странных вещей, вызывающих боли в спине» — это что-то это было бы гораздо более привлекательным.

Важно знать, что предоставление ценности своим лучшим образованием всегда лучше, чем ваше лучший маркетинг.Люди будут приходить и останавливаться, чтобы послушать ваше сообщение, если они чувствуют, что вы их искренне обучаете.

Но если они почувствуют, что вы им продаете, они не останутся длинный.

Итак, ваша лучшая стратегия — предлагать людям подлинное образование. Вы можете быть полностью откровенными и предоставить самую лучшую информацию. Особенно, если вы, , научите их тому, чего они не знали . Это делает ты выглядишь как эксперт.

Затем, ближе к концу обучения, вы можете представить продукт который решает все проблемы и выполняет все решения за один простой движение.

Вот пошаговый пример …

Плохой маркетинг против супер-умного маркетинга

Хиропрактик с плохим маркетингом сказал бы: «Приходите и посмотрите лучшие». Служба хиропрактики в городе! »… Но это понравится только группе 1 треугольника — первые 3% людей, которые хотят купить хиропрактику услуги прямо сейчас.

Но никому это не понравится.

У супер-умного мануального терапевта будет отчет под названием «Вот 7 странностей». Вещи, вызывающие боль в спине, и 3 долгосрочных лекарства, о которых вы даже не догадывались Пытаться’.Это понравится группам 4,3,2 и 1 в треугольнике покупки сейчас.

Итак, теперь вы обращаетесь к 70% всех потенциальных клиентов.

Тогда мануальный терапевт будет использовать неопровержимые факты и данные, чтобы научить 7 вещи, которые вызывают боли в спине (долгое сидение на работе, вождение в неудобном положении, постоянная плохая осанка из-за ослабленной мышцы спины и так далее).

Затем он научит читателя трем лучшим лекарствам и, возможно, также покажите небольшое упражнение для спины, которое они могли бы попробовать дома, для немедленного временное облегчение.

Наконец, он показал, что лучший способ сделать все три из этих лекарств одновременно с более стойкими результатами, чтобы увидеть квалифицированного хиропрактика SOT. Затем он немного поговорит о том, что он делает и как, чем он отличается от других хиропрактики, а затем вернут ему деньги гарантия и др.

Вы видите, как это работает?

Вы обратились к кому-то из группы 4 и ранее считали они не были заинтересованы.Затем вы предоставили ценность и ступили на их знания с умной, полезной информацией, которую они могут использовать сразу (даже если они не купили вашу услугу).

Вы также выделили проблемы, о существовании которых они не подозревали. Проблемы мотивируют нас, людей, больше, чем решения, поэтому ваша аудитория сейчас с большей вероятностью будут искать решение своей проблемы.

Это постепенно переводит людей из группы 4 в группу 3, а затем в группу. 2 и так далее.

Наконец, вы представили решение (вашу услугу), которое одно исправление.Это перенесет аудиторию в категорию группы 1. А также они будут покупать сейчас, потому что вы предполагаемый «очевидный эксперт» потому что вы научили их всей этой новой информации.

Используя стратегию «треугольник покупки», вы обучаете покупателя и ставить на первое место их потребности.

Вы также показываете покупателю, что вы:

  • Можно доверять больше
  • Специалист в своей области
  • Больше отдачи и понимания, чем у ваших конкурентов
  • Достойный источник в вашей сфере
  • Отдать реальную ценность, которую потенциальный клиент может использовать.

Это также дает вам больше влияния перед вашим потенциальным клиентом.

У вас гораздо больше привлекательности для более широкой аудитории

Теперь вы обратились к более широкой аудитории (группы 4,3 и 2) и превратили их в клиентов группы 1 «Я хочу купить сейчас», а не вас сделал бы раньше …

Результат — больше продаж в вашей организации без дополнительных расходы. У вас также есть гораздо более динамичный метод привлечения клиентов — потому что его можно использовать по-разному.

Также проще назначать встречи, чтобы увидеться с покупателями, когда вы говорите у вас есть исследование, показывающее ‘4 основные причины, по которым рестораны Неудача и 6 способов защититься от них навсегда ».

Вы сможете назначить больше встреч и увеличить продажи на 9 раз при правильном подходе к треугольнику покупки.

Мы используем именно этот метод, когда хотим серьезно повлиять на доход клиентов. Мы свели это к искусству.По факту, теперь мы можем построить обучение продажам вокруг треугольника «купи сейчас» с такая точность, что мы можем быть уверены на 90% +, это увеличит продажи.

И если вы читаете это и задаетесь вопросом, как узнать об этом больше техники, то вам действительно нужно пойти и получить «упущенную прибыль» Finder: Диагностический сеанс.

Это индивидуальный отчет, созданный для вашего бизнеса.

Он покажет вам, где можно улучшить ваш бизнес. Это сделаны реальным человеком для вашего конкретного бизнеса (поэтому они ограничены) и будут наполнены идеями о том, как увеличить продажи и сделать вашу компанию более эффективный.И вы очень быстро увидите результаты, если поместите их в упражняться.

Узнайте больше об этом прямо здесь: Средство поиска «упущенной выгоды»: диагностический сеанс

Техника треугольника вечный победитель

«Как привлечь кого угодно, в любое время и в любом месте» казался важным инструментом журналистики, поэтому я, естественно, записался.

30 долларов были заплачены, и Сьюзан Рабин начала свою первую речь, когда я понял, что на самом деле речь идет о «флирте», а не о том, как снискать расположение вашингтонских маклеров.

Заигрывание с пресс-секретарем Белого дома Майком Маккарри не принесло мне большого успеха. Это может даже лишить меня пропуска в Белый дом. Но какого черта. Продолжай, Сьюзен. Я мог бы даже чему-нибудь научиться. В конце концов, у нее есть степень магистра, и она раньше была координатором по половому воспитанию в Управлении образования города Нью-Йорка.

Сначала я узнал, что флирт означает «амурные действия без серьезных намерений».По словам Сьюзен, «сексуальная революция окончена», поэтому ее урок не о сексе на одну ночь или укладывании людей в постель (хотя это могло произойти «косвенно», — лукаво добавила она).

Язык тела — важная вещь во флирте. Часто улыбается, наклоняется внутрь, кивает, но не трогает и не смотрит. И если вы мужчина, следите за «сексуальными сигналами», которые могут испускать женщины, но которые большинство мужчин упускают из виду. Парень рядом со мной так энергично кивал, когда Сьюзен расхаживала взад и вперед по узкой комнате, что она одарила его своей лучшей улыбкой и спросила его имя.Это был Рассел, и все остальные ненавидели его.

Вы должны смотреть в эти глаза. Сьюзен предупреждает, что пристальный взгляд может быть «агрессивным актом» в животном мире. Вы же не хотите выглядеть так, будто смотрите на свою добычу. Она советует «технику флирта с треугольником». Вы думаете о лице партнера как о треугольнике, сужающемся к подбородку.Поэтому вместо того, чтобы все время смотреть партнеру в глаза, вы позволяете своему взгляду блуждать от лба к вискам, мочке уха, подбородку и так далее. Но всегда «легкомысленно, игриво, уважительно». Я должен помнить об этом при проведении интервью. Я знал, что этот курс окупится.

Любые комплименты должны быть «от шеи» вверх, потому что «проверка» умаляет индивидуальность женщины, а мужчины «больше, чем предполагаемая сумма их частей».Сьюзен выключила свет, чтобы мы могли посмотреть видео, но это вызвало эпилептический приступ у моего соседа, Рассела, который ударил меня и упал на пол, корчась. Удивительно, но Сьюзен продолжала, в то время как медсестра из аудитории встала на колени рядом с Расселом и помогла ему.

КТО-ТО вызвал скорую, поэтому мы сделали перерыв, пока Рассел, чувствуя себя лучше, сел на стул и извинился за беспокойство. В Вашингтоне, когда вы вызываете скорую помощь, в первую очередь прибывает пожарная команда и пожарные оказывают первую помощь.

«По крайней мере, он получил медсестру», — выпалила я, и мы тупо хихикнули. Рассела увезли на носилках, и мы вернулись в класс флирта. Он так наслаждался этим.

Сьюзен, должно быть, было трудно продолжать, но, поблагодарив медсестру, она погрузилась в еще несколько советов по флирту. Для застенчивых людей она рекомендует носить с собой «Nicebreaker». Это открытки, которые вы можете раздавать с напечатанными сообщениями, такими как «Ты красивая, а я застенчивая».Если вам интересно, вы можете связаться со мной по адресу. . . »Еще одно сообщение могло бы быть:« Я бы не хотел, чтобы ты исчез в анонимной толпе. Пожалуйста, позвоните мне. «

Парень рядом со мной взорвался. «Конечно, женщины подумают, что ты засранец, если ты будешь ходить и разносить вот так карты», — кричал он. Сьюзан выглядела обиженной, но попыталась отмахнуться от этого. Она настаивала на том, что Nicebreakers могут работать, но затем перешла на флирт. Если носить с собой книгу с интересной обложкой, это может заставить вещи двигаться или просматривать книги в книжных магазинах, но не в разделе самопомощи.Если вы мужчина, прогулка с интересной собакой или катание маленького ребенка могут привлечь внимание женщины. Женщины могут проявлять интерес к мужчинам с необычными завязками или подтяжками (наши подтяжки). В магазинах мужчина, несущий кухонный инвентарь и выглядящий немного беспомощным, может посылать интересные флюиды.

Важно, что сказать, когда лед тронулся. Не пытайтесь окунуть палец в напиток и приложить его к блузке собеседника, говоря: «Что вы скажете, мы отвезем вас домой и вытащим из этой мокрой одежды?» У Сьюзен есть «11 надежных способов» поддержать разговор.Номер 11: «Не будь солнечным светом своей собственной жизни. Если вы начинаете каждое предложение со слова« я », у вас будет меньше шансов когда-либо стать« мы »».

По этому разделу у нее есть несколько полезных советов для журналистов. Теперь я знаю: «Задавайте открытые вопросы. Избегайте вопросов, на которые можно просто ответить да или нет». Или «Спрашивайте мнения других людей … тогда не спорьте, когда они их предлагают».

Итак, продолжив разговор, что дальше? Следи за ногами.Если ваш собеседник стоит, одна нога направлена ​​к вам, а другая — в комнату, она приглашает кого-нибудь — кого угодно — прервать ваш разговор, чтобы «оставьте следы, она не собирается бросаться в ваши объятия». Если самец делает «небольшие агрессивные пинки», хотя его верхняя часть тела дружелюбна, он внутренне враждебен. Но если он разглаживает штаны по бедрам, флирт куда-то уходит. Рукопожатием можно сделать многое. Ученики Сьюзан сказали ей, что рукопожатие может быть намного более возбуждающим, соблазнительным и сексуальным, чем сухой поцелуй в щеку в знак приветствия.Так что попробуйте ручную застежку. Это нравится и мужчинам, и женщинам. Или удерживайте рукопожатие на мгновение дольше, чем необходимо, и смотрите в глаза. Президент Клинтон делает и то, и другое. Посмотрите, к чему это привело.

треугольник% 2520test

Треугольник — это дискриминационный метод, который широко используется в сенсорной науке, в том числе:

  • измерение при наличии общей разницы между двумя продуктами
  • отбор квалифицированных экспертов для конкретного теста
  • , определяющая, существенно ли изменили продукт изменения в обработке или ингредиентах.

Принцип испытаний

Во время теста на треугольник участнику предоставляется один разный и два одинаковых образца. Если возможно, все три образца должны быть представлены участнику исследования сразу, и его следует проинструктировать, чтобы он попробовал образцы слева направо. Шесть возможных комбинаций порядков должны быть рандомизированы среди членов комиссии. Для образцов A и B шесть возможных комбинаций порядка: AAB, ABA, BAA, BBA, BAB и ABB. Эксперту предлагается определить нечетный образец и записать свой ответ.

Анализ данных

Для оценки с помощью распределения хи-квадрат используйте: X 2 = Σ (| O-E |) 2 / E, где O = наблюдаемое, а E = ожидаемое. Чтобы определить количество ожидаемых правильных ответов, умножьте шанс случайного выбора правильного ответа на общее количество участников. В тесте на треугольник вероятность случайного правильного ответа составляет 1/3. Вероятность случайного выбора неверного ответа — 2/3.

Например, одна хлебопекарная компания недавно изменила рецептуру своего знаменитого печенья с арахисовым маслом, чтобы снизить затраты.Компания хотела знать, идентична ли новая формула оригиналу. Исследователи провели тест треугольника перед группой из 60 дегустаторов. Комиссия получила 24 правильных ответа. Для этой задачи:

H0: A = B Ha: A и B не одно и то же

A = переработанный продукт

B = оригинальный продукт

O c = наблюдаемое количество правильных ответов = 24

E c = n (1/3) = (60) (1/3) = 20

O I = наблюдаемое количество неправильных ответов = 60-24 = 36

E I = n (2/3) = (60) (2/3) = 40

α = риск ошибки I типа = 0.05

Из диаграммы распределения хи-квадрат, X 2 1, 0,05 = 3,84

Поскольку X 2 = 1,2 <3,84, мы не можем отвергнуть нулевую гипотезу и сделать вывод об отсутствии существенной разницы между образцами A и B. Другими словами, измененный файл cookie существенно не отличается от исходного файла cookie.

Техника треугольника для решения задач с прямой вариацией

Техника треугольника для решения задач с прямой вариацией
Раймонд Э.Ли в Учитель математики
Сентябрь 2003 г.

Учащиеся сталкиваются и испытывают трудности с проблемами, связанными с прямыми вариациями и совместными вариациями. Многие из этих проблем называются проблемы с работой, проблемы с оценкой или проценты проблем. Однако во многих реальных жизненных ситуациях количества, которые меняются (изменяются) в результате другого количества или количества. По математике ученики знакомятся с
A = l w, s = r и c = 2 r , а также знакомые d = r t и другие.В бизнесе они используют формулу выручки R = p x и формулы, основанные на общих Формула процентов I = P r t . В естественных науках студенты могут использовать такие формулы, как, F = m a, W = F d, w = m g, PV = T и многие другие. Я использовал технику, которая помогает студентам, которым сложно пользоваться этими формулами.

Рассмотрим для примера d = r t . Когда учащимся предлагают это уравнение прямой вариации, они видят, что d — это произведение р и т.Однако, когда от них требуется найти либо r, либо t, они часто делают бессознательный выбор и умножают два заданных значения. значения, чтобы найти неизвестную величину. Эти студенты не осознают, что они должны делить (а не умножать), чтобы найти неизвестное, и они часто не знают, какое значение делится на другое значение. Для многих студентов проблема в том, что они не видят, что им делать с данные значения. Хотя мы можем решить любое заданное уравнение прямой вариации алгебраически для каждой из задействованных переменных, некоторые студенты затем испытывают дополнительное разочарование и замешательство, потому что они понимают, что им приходится запоминать слишком много формул. Чтобы избежать такого разочарования и путаницы, я демонстрирую своим студентам методику, которую показал мне мой профессор химии Аллен. Хаммер, когда я был студентом Уэслианского колледжа Западной Вирджинии. Я называю это техникой треугольника. Эта техника не заменяет понимание. Это полезный инструмент, который позволяет учащимся, испытывающим трудности, преодолеть свое разочарование.

Первый шаг в использовании метода треугольника — убедиться, что уравнение (формула) имеет форму прямого изменения; это уравнение должно включать одну величину, которая изолирована и установлена ​​равной произведению других величин.Этот шаг не вызывает беспокойства большую часть времени, поскольку студенты знакомятся с такими уравнениями таким образом и запоминают их. Например, когда мы спросите учащегося о расстоянии, пройденном автомобилем до площади прямоугольника, используемые слова обозначают изолированную переменную (расстояние и площадь в эти ситуации).

Второй шаг в технике треугольника — нарисовать увеличенный треугольник, как показано на следующем рисунке:

Полезно рисование равнобедренного треугольника с горизонтальным основанием и горизонтальным отрезком линии, соединяющим середины ног. Затем учащиеся используют сегмент вертикальной линии, чтобы соединить середины горизонтальных сегментов.

Третий шаг в технике треугольника — поместить каждую переменную из уравнения в соответствующую ячейку треугольника. Изолированная переменная, обычно находящаяся в левой части уравнения, помещается в единственное верхнее отделение. Две другие переменные помещаются в отсеки в нижней части треугольника, по одному в каждом отсеке:

Четвертым шагом в технике треугольника является определение символа, который представляет неизвестное в данной задаче.Студенты тогда нужно найти этот символ. Студент закрывает этот символ; то, что остается в треугольнике, показывает, где известные значения идут в вычисление, чтобы найти неизвестное.

Можно посмотреть несколько примеров. Как далеко может проехать автомобиль за 7 часов, если он движется с постоянной скоростью 55 миль в час? Поскольку нас спрашивают, как далеко, мы ищем расстояние и покрытие d, чтобы показать, что это неизвестно. Для иллюстративного В целях, мы заменяем неизвестное на вопросительный знак в соответствующем отсеке треугольника.

Что мы видим в треугольнике? Мы видим r и t на одной линии. Следовательно, мы должны умножить, чтобы найти расстояние d. Пройденное расстояние тогда составит 385 миль.

Если бы вопрос был в том, сколько времени нам нужно, чтобы ехать до пляжа, если мы будем двигаться с постоянной скоростью 50 миль в час и если пляж находится в 125 милях, треугольник будет иметь следующий вид:

В этой проблеме мы пытаемся найти время. Тогда d над r остается в треугольнике, поэтому делим d на r и находим время быть 2.5 часов.

После того, как ученики попрактиковались в использовании техники треугольника, у них не возникнет проблем с ее изменением и применением к более сложным ситуации. Количество переменных на одной стороне уравнения указывает количество необходимых отсеков внизу. треугольника. Например, если учащимся нужно решить задачу по формуле основного интереса I = P r t , они добавляют третий отсек в нижней части треугольника следующим образом:

На вопрос, сколько времени нужно, чтобы заработать 270 долларов на проценты на 1500 долларов при процентной ставке 6 процентов, студенты видят, что они должны разделите процентную ставку как на основную сумму, так и на ставку, чтобы определить, что потребуется три года.

(PDF) Метод треугольников для определения угла L-кривой

360 J.L. Castellanos et al. / Прикладная вычислительная математика 43 (2002) 359–373

Одним из способов решения проблемы является использование метода сопряженных градиентов (CG), рассматривающего каждую итерацию

вектор xk

δ как регуляризованное решение, в котором номер итерации k затем играет роль регуляризации

параметр. Эта идея основана на том факте, что некоторые итерационные методы, такие как Сопряженный градиент, обладают внутренним свойством регуляризации

, заключающимся в приближении в первую очередь компонентов, связанных с наибольшими сингулярными значениями

(желательными в решении).Ошибка распространения ограничена на первых итерациях, и, таким образом, качество

аппроксимации зависит от количества шагов, которые выполняет итерационный процесс. Это явление, конвергенция

в начале и конечная дивергенция, называется полуконвергенцией [15]. Очевидная идея

состоит в том, чтобы остановить процесс на итерации k ∗, где начинается расхождение.

Немировский [16] был первым, кто дал строгую трактовку полусходимости или регуляризации

свойств метода CG, когда ошибки присутствуют в обеих полосах A, и он предложил принцип несоответствия

для определения соответствующей регуляризации. параметр.В настоящее время наиболее актуальные результаты о

этой теме можно найти в [4,7,10], где проблема широко обсуждается с теоретической точки зрения

. Однако предложения и оценка новых практических критериев для вычисления параметра регуляризации

или числа итераций k ∗ встречаются редко, и они мало разработаны в литературе

. В случае регуляризации Тихонова в последнее время появились некоторые идеи найти параметр регуляризации

, используя метод бидиагонализации Ланцоша (см. [2,3]).

Одним из наиболее многообещающих практических алгоритмов является метод L-кривой (см. [13,14]), когда, как и в методе

CG, знание нормы остатков (Axk

δ − bδ ) 1 и имеется норма регуляризованного раствора

(xk

δ-). В [6,10,12] можно найти три алгоритмических предложения, чтобы найти угол

L-кривой, который дает k ∗. Тем не менее, эти алгоритмы имеют недостатки, которые будут обсуждаться в разделе 2

.2, и разработка надежных и стабильных методов вычисления угла

дискретных L-кривых все еще остается открытой проблемой.

Здесь предлагается новый алгоритм, называемый методом треугольника (TM) для определения угла L-кривой

. Проведены численные эксперименты с использованием набора тестовых матриц [9] и представлено сравнение

с производительностью других практических алгоритмов.

В разделе 2 мы описываем регуляризующие свойства метода CG, алгоритм L-кривой для

вычисления параметра регуляризации и различные алгоритмы для определения угловой точки.В разделе 3,

предлагается метод треугольника для определения угла L-образной кривой.

About Author


alexxlab

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.