Метод треугольника – «Решение стереометрических задач координатным методом. Правило треугольника. Метод Саррюса»

Определитель, детерминант матрицы

Способы вычисления определителя матрицы

Определителем матрицы второго порядка называется число, равное

   

Определитель матрицы третьего порядка

Определитель матрицы третьего порядка можно вычислить, используя правило треугольника или правило Саррюса.

Правило треугольника. Определителем матрицы третьего порядка можно вычислить по формуле

   

Схематически это правило можно изобразить следующим образом

Правило Саррюса. Для вычисления определителя третьего порядка, допишем два первых столбца и перемножим диагональные элементы, взяв произведение со знаком «плюс», если диагональ является главной или параллельна её и, взяв произведение со знаком «минус», если диагональ является побочной или параллельной ей, получим

Вычисление определителей высших порядков

Для вычисления определителей высших порядков, используется способ разложения определителя по строке или столбцу. Он позволяет представить определитель квадратной матрицы в виде суммы произведений элементов любой её строки или столбца на их алгебраические дополнения. При этом вычисление определителя -го порядка сводится к вычислению определителей -го порядка.

Свойства определителя матрицы

Определитель любого порядка может быть вычислен с использованием свойств определителя:

  1. определитель не изменяется при элементарных преобразованиях строк или столбцов;
  2. при перестановке строк или столбцов знак определителя меняется на противоположный;
  3. определитель треугольной матрицы равен произведению элементов расположенных на диагонали. Например, для верхнетреугольной матрицы

   

определитель равен

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Определение натуральной величины отрезка

Если отрезок параллелен плоскости, то он проецируется на неё без искажений. В остальных случаях для нахождения его натуральной величины применяют метод прямоугольного треугольника или способы преобразования ортогональных проекций.

Содержание

  1. Метод прямоугольного треугольника
  2. Способ параллельного переноса
  3. Поворот вокруг оси

Метод прямоугольного треугольника

Сущность данного метода заключается в нахождении гипотенузы прямоугольного треугольника, у которого один катет равен горизонтальной (или фронтальной) проекции отрезка, а величина другого катета представляет собой разность удаления концов отрезка от горизонтальной (или, соответственно, фронтальной) плоскости проекции.

Натуральная величина отрезка AB выделена красным

Для того чтобы найти натуральную величину отрезка AB (рисунок выше), строим прямоугольный треугольник A0A’B’. Его первый катет A’B’ – это горизонтальная проекция AB. Второй катет A’A0 равен величине ZA – ZB, то есть разности удаления точек A и B от горизонтальной плоскости П1.

Откладываем A’A0 = ZA – ZB перпендикулярно A’B’. Затем проводим гипотенузу A0B’ треугольника A0A’B’. На рисунке она обозначена красным цветом. Её величина соответствует настоящей длине AB.

Способ параллельного переноса

Параллельный перенос представляет собой перемещение геометрической фигуры параллельно одной из плоскостей проекций. При этом величина проекции фигуры на эту плоскость не меняется. Например, если перемещать отрезок EF параллельно горизонтальной плоскости П1, то длина его проекции E’F’ не изменится, когда она займет новое положение E’

1F’1 (как это показано на рисунке ниже).

Еще одно важное свойство параллельного переноса заключается в том, что при любом перемещении точки параллельно горизонтальной плоскости проекции, её фронтальная проекция движется по прямой, параллельной оси X. Если точка перемещается параллельно фронтальной плоскости, то её горизонтальная проекция движется по прямой, параллельной оси X.

Пример построения

Чтобы определить действительный размер отрезка EF, на свободном месте чертежа строим его новую горизонтальную проекцию E’1F’1 = E’F’ так, чтобы она была параллельна оси X . Затем по линиям связи находим точки E»1 и F»1. Расстояние между ними и есть искомая величина, поскольку мы перенесли EF в положение, параллельное фронтальной плоскости.

Параллельный перенос отрезка EF

Метод параллельного переноса, описанный здесь, иногда называют параллельным перемещением. Посмотреть дополнительные примеры и получить более подробную информацию по данной теме можно в этой статье.

Поворот вокруг оси

Для того, чтобы отрезок стал параллелен плоскости проекции и без искажения отразился на ней, он может быть повернут вокруг проецирующей прямой, проходящей через один из его концов.

Пример построения

Определим длину произвольного отрезка MN. Для этого через точку N проводим горизонтально проецирующую прямую i. Вокруг неё поворачиваем MN так, чтобы его проекция M’N’ заняла положение M’1N’1, параллельное оси X.

По линиям связи находим точку M»1. При этом исходим из того, что M» в процессе вращения движется параллельно горизонтальной плоскости.

Точка N не изменит своего положения, так как лежит на оси поворота. Поэтому осталось только соединить N»1 и M»1

искомым отрезком. На рисунке он выделен красным цветом.

Поворот отрезка MN

Более подробную информацию о решении задач методом поворота вокруг оси вы можете получить, ознакомившись со следующим материалом.

Определитель матрицы.

Навигация по странице:

Определитель матрицы или детерминант матрицы — это одна из основных численных характеристик квадратной матрицы, применяемая при решении многих задач.

Определение.

Определителем матрицы n×n будет число:
det(A) = Σ(-1)N(α12,…,αn)·aα11·aα22·…·aαnn
12,…,αn)
где (α12,…,α
n
) — перестановка чисел от 1 до n, N(α12,…,αn) — число инверсий в перестановке, суммирование идёт по всем возможным перестановкам порядка n.

Обозначение

Определитель матрици A обычно обозначается det(A), |A|, или ∆(A).

Свойства определителя матрицы

  1. Определитель матрицы с двумя равными строками (столбцами) равен нулю.

  2. Определитель матрицы с двумя пропорциональными строками (столбцами) равен нулю.

  3. Определитель матрицы, содержащий нулевую строку (столбец), равен нулю.

  4. Определитель матрицы равен нулю если две (или несколько) строк (столбцев) матрицы линейно зависимы.

  5. При транспонировании значение определителя матрицы не меняется:

    det(A) = det(AT)

  6. Определитель обратной матрицы:

    det(A-1) = det(A)-1

  7. Определитель матрицы не изменится, если к какой-то его строке (столбцу) прибавить другую строку (столбец), умноженную на некоторое число.

  8. Определитель матрицы не изменится, если к какой-то его строке (столбцу) прибавить линейную комбинации других строк (столбцов).

  9. Если поменять местами две строки (столбца) матрицы, то определитель матрицы поменяет знак.

  10. Общий множитель в строке (столбце) можно выносить за знак определителя:

    a11a12…a1na21a22…a2n….k·ai1k·ai2…k·ain….an1an2…ann = k·a11a12…a1na21a22…a2n….ai1ai2…ain….an1an2…ann

  11. Если квадратная матрица n-того порядка умножается на некоторое ненулевое число, то определитель полученной матрицы равен произведению определителя исходной матрицы на это число в n-той степени:

    B = k·A   =>   det(B) = kn·det(A)

    где A матрица n×n, k — число.
  12. Если каждый элемент в какой-то строке определителя равен сумме двух слагаемых, то исходный определитель равен сумме двух определителей, в которых вместо этой строки стоят первые и вторые слагаемые соответственно, а остальные строки совпадают с исходным определителем:

    a11a12…a1na21a22…a2n….bi1 + ci1bi2 + ci2…bin + cin….an1an2…ann = a11a12…a1na21a22…a2n….bi1bi2…bin….an1an2…ann + a11a12…a1na21a22…a2n….c

    i1ci2…cin….an1an2…ann

  13. Определитель верхней (нижней) треугольной матрицы равен произведению его диагональных элементов.

  14. Определитель произведения матриц равен произведению определителей этих матриц:

    det(A·B) = det(A)·det(B)


Методы вычисления определителя матрицы

Вычисление определителя матрицы 1×1

Правило:

Для матрицы первого порядка значение определителя равно значению элемента этой матрицы:

∆ = |a11| = a11


Вычисление определителя матрицы 2×2

Правило:

Для матрицы 2×2 значение определителя равно разности произведений элементов главной и побочной диагоналей:
∆ =   = a11·a22 — a12·a21

Пример 1.

Найти определитель матрицы A
A = 
57
-41

Решение:

det(A) =   = 5·1 — 7·(-4) = 5 + 28 = 33

Вычисление определителя матрицы 3×3

Правило треугольника для вычисления определителя матрицы 3-тего порядка

Правило:

Для матрицы 3×3 значение определителя равно сумме произведений элементов главной диагонали и произведений элементов лежащих на треугольниках с гранью параллельной главной диагонали, от которой вычитается произведение элементов побочной диагонали и произведение элементов лежащих на треугольниках с гранью параллельной побочной диагонали.
определитель + определитель -
+

∆ = 
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
 =

=  a11·a22·a33 + a12·a23·a31 + a13·a21·a32 — a13·a22·a31 — a11·a23·a32 — a12·a21·a33

Правило Саррюса для вычисления определителя матрицы 3-тего порядка

Правило:

Справа от определителя дописывают первых два столбца и произведения элементов на главной диагонали и на диагоналях, ей параллельных, берут со знаком «плюс»; а произведения элементов побочной диагонали и диагоналей, ей параллельных, со знаком «минус»:
∆ = 
a11 a12 a13 a11 a12
a21 a22 a23 a21 a22
a31 a32 a33 a31 a32
 =

=  a11·a22·a33 + a12·a23·a31 + a13·a21·a32 — a13·a22·a31 — a11·a23·a32 - a12·a21·a33

Пример 2.

Найти определитель матрицы A = 571-410203

Решение:

det(A) = 571-410203 = 5·1·3 + 7·0·2 + 1·(-4)·0 — 1·1·2 — 5·0·0 — 7·(-4)·3 = 15 + 0 + 0 — 2 — 0 + 84 = 97

Вычисление определителя матрицы произвольного размера

Разложение определителя по строке или столбцу

Правило:

Определитель матрицы равен сумме произведений элементов строки определителя на их алгебраические дополнения:
n
det(A) = Σaij·Aij — разложение по i-той строке
j = 1

Правило:

Определитель матрицы равен сумме произведений элементов столбца определителя на их алгебраические дополнения:
n
det(A) = Σaij·Aij — разложение по j-тому столбцу
i = 1

При разложение определителя матрицы обычно выбирают ту строку/столбец, в которой/ом максимальное количество нулевых элементов.

Пример 3.

Найти определитель матрицы A
A = 
241
021
211

Решение: Вычислим определитель матрицы разложив его по первому столбцу:

= 2·(-1)1+1· 2111 + 0·(-1)2+1· 4111 + 2·(-1)3+1· 4121 =

= 2·(2·1 — 1·1) + 2·(4·1 — 2·1) = 2·(2 — 1) + 2·(4 — 2) = 2·1 + 2·2 = 2 + 4 = 6


Пример 4.

Найти определитель матрицы A

A = 2411020021134023

Решение: Вычислим определитель матрицы, разложив его по второй строке (в ней больше всего нулей):

det(A) = 2411020021134023 = — 0· 411113023 + 2· 211213423 — 0· 241213403 + 0· 241211402 =

= 2·(2·1·3 + 1·3·4 + 1·2·2 — 1·1·4 — 2·3·2 — 1·2·3) = 2·(6 +12 + 4 — 4 — 12 — 6) = 2·0 = 0


Приведение определителя к треугольному виду

Правило:

Используя свойства определителя для элементарных преобразований над строками и столбцами 8 — 11, определитель приводится к треугольному виду, и тогда его значение будет равно произведению элементов стоящих на главной диагонали.

Пример 5.

Найти определитель матрицы A приведением его к треугольному виду

A = 2411021021134023

Решение:

det(A) = 2411021021134023

Сначала получим нули в первом столбце под главной диагональю. Для этого отнимем от 3-тей строки 1-ую строку, а от 4-той строки 1-ую строку, умноженную на 2:

det(A) = 241102102 — 21 — 41 — 13 — 14 — 2·20 — 4·22 — 1·23 — 1·2 = 241102100-3020-801

Получим нули во втором столбце под главной диагональю. Для этого поменяем местами 2-ой и 3-тий столбцы (при этом детерминант сменит знак на противоположный):

det(A) = — 2141012000-3200-81

Получим нули в третьем столбце под главной диагональю. Для этого к 3-ему столбцу добавим 4-тий столбец, умноженный на 8:

det(A) = — 214 + 1·81012 + 0·8000-3 + 2·8200-8 + 1·81 = — 211210120001320001 = -2·1·13·1 = -26


Теорема Лапласа

Теорема:

Пусть ∆ — определитель n-ого порядка. Выберем в нем произвольные k строк (столбцов), причем k < n. Тогда сумма произведений всех миноров k-ого порядка, которые содержатся в выбранных строках (столбцах), на их алгебраические дополнения равна определителю.

Присоединяйтесь

© 2011-2020 Довжик Михаил
Копирование материалов запрещено.

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Если Вы хотите связаться со мной, имеете вопросы, предложения или хотите помочь развивать сайт OnlineMSchool пишите мне support@onlinemschool.com

Правило Саррюса — Википедия

Правило Саррюса — метод вычисления определителя матрицы третьего порядка. Наряду с правилом треугольника призвано внести в процесс вычисления определителя наглядность, уменьшив тем самым вероятность возникновения ошибки. Названо по имени французского математика Пьера Фредерика Саррюса.

Для матрицы 3×3{\displaystyle 3\times 3}:

A=(a11a12a13a21a22a23a31a32a33){\displaystyle A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}}}

детерминант находится суммированием шести произведений из трёх элементов. Действие выполняется согласно следующей схеме:

Правило Саррюса

Первые два столбца матрицы записываются справа возле матрицы. Произведения элементов, стоящих на линиях с пометкой «плюс», складываются, затем из результата вычитаются произведения элементов, находящихся на линиях с пометкой «минус»:

det(A)=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32−a13a22a31−a11a23a32−a12a21a33{\displaystyle \det(A)=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}}
  • Gerd Fischer: Analytische Geometrie. 4-te Auflage, Vieweg 1985, ISBN 3-528-37235-4, P.145 (на немецком языке)
  • Правило Саррюса на Planetmath
Улучшение статьиДля улучшения этой статьи желательно:
  • Проверить достоверность указанной в статье информации.
  • Викифицировать список литературы.
Пожалуйста, после исправления проблемы исключите её из списка параметров. После устранения всех недостатков этот шаблон может быть удалён любым участником.

Натуральная величина треугольника | Начертательная геометрия

Натуральная величина треугольника на эпюре Монжа может быть определена: — способом прямоугольного треугольника;

Натуральная величина треугольника

Натуральная величина треугольника

Здесь поочередно применяется способ прямоугольного треугольника для определения действительных величин отрезков, составляющих треугольник, а затем, к одному из них методом засечек строятся два других.

Используем Метод преобразования проекций для определения истиной величины треугольника на эпюре Монжа:

— Способ плоскопараллельного перемещения;

Натуральная величина треугольника

— Способ вращения вокруг осей перпендикулярных плоскостям проекций;

Натуральная величина треугольника

Натуральная величина треугольника

— Вращение вокруг горизонтали представляющих собой линии уровня;

Натуральная величина треугольника

Натуральная величина треугольника

или фронтали,

Натуральная величина треугольника

Натуральная величина треугольника

представляющих собой линии уровня;

— Вращение вокруг следа или способ совмещения с плоскостью проекций;

Натуральная величина треугольника

Натуральная величина треугольника

— Перемена плоскости проекции.

Натуральная величина треугольника

Натуральная величина треугольника

Задача на определение натуральной величины плоской фигуры относится к разделу метрические задачи.

+

Определитель — Википедия

В линейной алгебре определи́тель (или детермина́нт) — это скалярная величина, которая может быть вычислена и поставлена в однозначное соответствие любой квадратной матрице. Определитель матрицы А обозначается как det(A){\displaystyle \det(A)}, |A|{\displaystyle |A|} или Δ(A){\displaystyle \Delta (A)}[1].

Определитель квадратной матрицы A{\displaystyle A} размеров n×n{\displaystyle n\times n}, заданной над коммутативным кольцом R{\displaystyle R}, является элементом кольца R{\displaystyle R}, вычисляемым по формуле, приведённой ниже.

Он «определяет» свойства матрицы A{\displaystyle A}. В частности, матрица A{\displaystyle A} обратима тогда и только тогда, когда её определитель является обратимым элементом кольца R{\displaystyle R}.

В случае, когда R{\displaystyle R} — поле, определитель матрицы A{\displaystyle A} равен нулю тогда и только тогда, когда ранг матрицы A{\displaystyle A} меньше n{\displaystyle n} или когда системы строк и столбцов матрицы A{\displaystyle A} являются линейно зависимыми.

Теория определителей возникла в связи с задачей решения систем линейных уравнений.

К понятию определителя близко подошли авторы древнекитайского учебника «Математика в девяти книгах»[2].

В Европе определители матриц 2×2 встречаются у Кардано в XVI веке. Для старших размерностей определены Лейбницем в 1693 году. Первая публикация принадлежит Крамеру. Теория определителей создана Вандермондом, Лапласом, Коши и Якоби. Термин «определитель» встречается впервые у Гаусса.

Японский математик Сэки Такакадзу ввёл определители независимо в 1683 году[3].

Через перестановки[править | править код]

Для квадратной матрицы A=(aij){\displaystyle A=(a_{ij})} размера n×n{\displaystyle n\times n} её определитель detA{\displaystyle \det A} вычисляется по формуле:

detA=∑α1,α2,…,αn(−1)N(α1,α2,…,αn)⋅a1α1a2α2…anαn{\displaystyle \det A=\sum _{\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}}(-1)^{N(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n})}\cdot a_{1\alpha _{1}}a_{2\alpha _{2}}\dots a_{n\alpha _{n}}},

где суммирование проводится по всем перестановкам α1,α2,…,αn{\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}} чисел 1,2,…,n{\displaystyle 1,2,\dots ,n}, а N(α1,α2,…,αn){\displaystyle N(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n})} обозначает число инверсий в перестановке α1,α2,…,αn{\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}}.

Таким образом, в определитель входит n!{\displaystyle n!} слагаемых, которые также называют «членами определителя».

Эквивалентная формула:

detA=∑i1,i2,…,in=1nεi1i2…in⋅a1i1a2i2…anin{\displaystyle \det A=\sum _{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{n}=1}^{n}\varepsilon _{i_{1}i_{2}\dots i_{n}}\cdot a_{1i_{1}}a_{2i_{2}}\dots a_{ni_{n}}},

где коэффициент εi1i2…in{\displaystyle \varepsilon _{i_{1}i_{2}\dots i_{n}}} — символ Леви-Чивиты — равен:

0, если не все индексы i1,i2,…,in{\displaystyle i_{1},i_{2},\ldots ,i_{n}} различны,
1, если все индексы i1,i2,…,in{\displaystyle i_{1},i_{2},\ldots ,i_{n}} различны и подстановка (12…ni1i2…in)∈Sn{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2&\dots &n\\i_{1}&i_{2}&\dots &i_{n}\end{pmatrix}}\in S_{n}} чётна,
−1, если все индексы i1,i2,…,in{\displaystyle i_{1},i_{2},\ldots ,i_{n}} различны и подстановка (12…ni1i2…in)∈Sn{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2&\dots &n\\i_{1}&i_{2}&\dots &i_{n}\end{pmatrix}}\in S_{n}} нечётна.

Аксиоматическое построение (определение на основе свойств)[править | править код]

Понятие определителя может быть введено на основе его свойств. А именно, определителем вещественной матрицы называется функция det:Rn×n→R{\displaystyle \det :\mathbb {R} ^{n\times n}\rightarrow \mathbb {R} }, обладающая следующими тремя свойствами[4]:

  1. det(A){\displaystyle \det(A)} — кососимметрическая функция строк (столбцов) матрицы A{\displaystyle A}.
  2. det(A){\displaystyle \det(A)} — полилинейная функция строк (столбцов) матрицы A{\displaystyle A}.
  3. det(E)=1{\displaystyle \det(E)=1}, где E{\displaystyle E} — единичная n×n{\displaystyle n\times n}-матрица.

Для матрицы первого порядка значение детерминанта равно единственному элементу этой матрицы:

Δ=|a11|=a11{\displaystyle \Delta ={\begin{vmatrix}a_{11}\end{vmatrix}}=a_{11}}

Матрицы 2 x 2[править | править код]

\Delta ={\begin{vmatrix}a_{11}\end{vmatrix}}=a_{11}\Delta ={\begin{vmatrix}a_{11}\end{vmatrix}}=a_{11}

Схема расчета определителя матрицы 2×2.

Площадь параллелограмма равна модулю определителя матрицы, образованной векторами — сторонами параллелограмма.

Для матрицы 2×2{\displaystyle 2\times 2} определитель вычисляется как:

Δ=|acbd|=ad−bc{\displaystyle \Delta ={\begin{vmatrix}a&c\\b&d\end{vmatrix}}=ad-bc}

Эта матрица A может быть рассмотрена как матрица линейного отображения, преобразующего единичный квадрат в параллелограмм с вершинами (0, 0), (a, b), (a + c, b + d), и (c, d).

Абсолютное значение определителя |ad−bc|{\displaystyle |ad-bc|} равно площади этого параллелограмма, и, таким образом, отражает коэффициент, на который масштабируются площади при преобразовании A.

Значение определителя со знаком (ориентированная площадь параллелограмма) помимо коэффициента масштабирования также показывает, выполняет ли преобразование A отражение.

Матрицы 3 x 3[править | править код]

Определитель матрицы 3×3{\displaystyle 3\times 3} можно вычислить по формуле:

Δ=|a11a12a13a21a22a23a31a32a33|=a11|a22a23a32a33|−a12|a21a23a31a33|+a13|a21a22a31a32|={\displaystyle \Delta ={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}=a_{11}{\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}-a_{12}{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}}+a_{13}{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}}=}
=a11a22a33−a11a23a32−a12a21a33+a12a23a31+a13a21a32−a13a22a31{\displaystyle =a_{11}a_{22}a_{33}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}}

Для более удобного вычисления определителя третьего порядка можно воспользоваться правилом Саррюса или правилом треугольника.

Определитель матрицы, составленной из векторов a,b,c{\displaystyle \mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} } равен их смешанному произведению в правой декартовой системе координат. Аналогично двумерному случаю, определитель такой матрицы равен ориентированному объёму параллелепипеда, натянутого на a,b,c{\displaystyle \mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} }.

Матрицы N×N{\displaystyle N\times N}[править | править код]

В общем случае, для матриц более высоких порядков (выше 2-го порядка) n×n{\displaystyle n\times n} определитель можно вычислить, применив следующую рекурсивную формулу:

Δ=∑j=1n(−1)1+ja1jM¯j1{\displaystyle \Delta =\sum _{j=1}^{n}(-1)^{1+j}a_{1j}{\bar {M}}_{j}^{1}}, где M¯j1{\displaystyle {\bar {M}}_{j}^{1}} — дополнительный минор к элементу a1j{\displaystyle a_{1j}}. Эта формула называется разложением по строке.

Легко доказать, что при транспонировании определитель матрицы не изменяется (иными словами, аналогичное разложение по первому столбцу также справедливо, то есть даёт такой же результат, как и разложение по первой строке):

Δ=∑i=1n(−1)i+1ai1M¯1i{\displaystyle \Delta =\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+1}a_{i1}{\bar {M}}_{1}^{i}}

Доказательство

Также справедливо и аналогичное разложение по любой строке (столбцу):

Δ=∑j=1n(−1)i+jaijM¯ji{\displaystyle \Delta =\sum _{j=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ij}{\bar {M}}_{j}^{i}}

Доказательство

матрицы онлайн метод треугольника

Вы искали матрицы онлайн метод треугольника? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и метод звездочки матрицы, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение. Например, «матрицы онлайн метод треугольника».

матрицы онлайн метод треугольника

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как матрицы онлайн метод треугольника,метод звездочки матрицы,метод саррюса онлайн,метод саррюса онлайн калькулятор,метод сюрреса,метод треугольника,метод треугольников,метод треугольников матрицы,определитель метод треугольников,правило треугольника это,правило треугольников. На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и матрицы онлайн метод треугольника. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь (например, метод саррюса онлайн).

Где можно решить любую задачу по математике, а так же матрицы онлайн метод треугольника Онлайн?

Решить задачу матрицы онлайн метод треугольника вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.

About Author


alexxlab

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *