σ _макс = y _макс FL / (4 I)

= (6.25 дюймов) (10000 фунтов) (100 дюймов) / (4 (285 дюймов ⁴ ))

= 5482 (фунт / дюйм ² , фунт / кв. Дюйм)

Максимальный прогиб можно рассчитать как

δ _макс = FL ³ / EI 48

= (10000 фунтов / дюйм) (100 дюймов) ³ / ((2

00 фунтов / дюйм

= 0,025 дюйма

Некоторые типичные пределы отклонения по вертикали

• общее отклонение: пролет / 250
• отклонение под нагрузкой: пролет / 360
• консолей: пролет / 180
• балки деревянных перекрытий в домашних условиях: пролет / 330 (макс. 14 мм)
• хрупкие элементы: пролет / 500
• подкрановые балки: пролет / 600

Балка, поддерживаемая на обоих концах — эксцентричная нагрузка

Максимальный момент в балке с одиночной эксцентричной нагрузкой в ​​точке нагрузки:

M _макс = F ab / L (4a)

Максимальное напряжение

Максимальное напряжение в балке с одноцентровой нагрузкой, поддерживаемой с обоих концов:

σ _max = y _max F ab / (LI) (4b)

Максимальный прогиб в точке нагрузки можно выразить как

δ _F = F a ² b ² / (3 EIL) (4c)

Силы, действующие на концы:

R ₁ = F b / L (4d)

R ₂ = F a / L (4e)

Балка, поддерживаемая на обоих концах — две эксцентрические нагрузки

Максимальный момент (между нагрузками) в балке с двумя эксцентрическими нагрузками:

M _max = F a (5a)

Максимальное напряжение

Максимальное напряжение в балке с двумя эксцентрическими нагрузками, поддерживаемыми на обоих концах:

σ _max = y _max F a / I (5b)

Максимум прогиб в точке нагрузки можно выразить как

δ _F = F a (3L ² — 4 a ² ) / (24 EI) (5c)

Силы, действующие на концы:

R ₁ = R ₂

= F (5d)

Вставьте балки в свою модель Sketchup с помощью Engineering ToolBox Sketchup Extension

Балка, поддерживаемая на обоих концах — трехточечная нагрузка

Максимальный момент (между нагрузками) в балке с тремя точечными нагрузками:

M _{max 90 049 = FL / 2 (6a)}

Максимальное напряжение

Максимальное напряжение в балке с тремя точечными нагрузками, поддерживаемыми с обоих концов:

σ _max = y _max FL / (2 I) ( 6b)

Максимальный прогиб в центре балки можно выразить как

δ _F = FL ³ / (20.22 EI) (6c)

Силы, действующие на концы:

R ₁ = R ₂

= 1,5 F (6d)

Консольные балки — моменты и прогиб

Консольная балка — Одиночная нагрузка на конце

Максимальная сила реакции

на неподвижном конце может быть выражена как:

R _A = F (1a)

, где

R _A = сила реакции в A (Н, фунт)

F = сила одностороннего действия в B (Н, фунт)

Максимальный момент

на неподвижном конце может быть выражен как

M _max = M _A

= — FL (1b)

где

M _A = максимальный момент в A (Нм, Нмм, фунт-дюйм)

L = длина балки (м, мм, дюйм)

Максимальный прогиб

на конце консольной балки может быть выражен как

δ _B = FL ³ / (3 EI) (1c)

где

δ _B = максимальное отклонение в B (м, мм, дюйм)

E = модуль упругости (Н / м ² (Па), Н / мм ² , фунт / дюйм ² (psi))

I = момент инерции (м ⁴ , мм ⁴ , дюйм ⁴ )

b = длина между B и C (м, мм, дюйм)

Напряжение

Напряжение в изгибающейся балке можно выразить как

σ = y M / I (1d)

где

y = расстояние до точки от нейтральной оси (м, мм, дюйм)

M = изгибающий момент (Нм, фунт-дюйм)

I = момент инерции (м ⁴ , мм ⁴ , дюйм ⁴ )

Максимальный момент консольной балки находится в фиксированной точке и максимальное напряжение может быть рассчитано путем объединения 1b и 1d до

σ _max = y _max FL / I (1e)

Пример — консольная балка с одинарной нагрузкой на конце, метрические единицы

Максимальный момент на неподвижном конце консольной балки со стальной полкой UB 305 x 127 x 42 5000 мм Длина , с моментом инерции 8196 см ⁴ (81960000 мм ⁴ ) , модуль упругости 200 ГПа (200000 Н / мм ² ) и с одинарной нагрузкой 3000 Н в конце можно рассчитать как

M _max = (3000 Н) (5000 мм)

= 1.5 10 ⁷ Нмм

= 1,5 10 ⁴ Нм

Максимальный прогиб на свободном конце можно рассчитать как

δ _B = (3000 Н) (5000 мм) ³ / (3 (2 10 ⁵ Н / мм ² ) (8,196 10 ⁷ мм ⁴ ))

= 7,6 мм

Высота балки 300 мм и расстояние от крайней точки до нейтральной оси 150 мм .Максимальное напряжение в балке можно рассчитать как

σ _max = (150 мм) (3000 Н) (5000 мм) / ( 8,196 10 ⁷ мм ⁴ )

= 27,4 (Н / мм ² )

= 27,4 10 ⁶ (Н / м ² , Па)

= 27,4 МПа

Максимальное напряжение намного ниже предела прочности при растяжении прочность для большинства сталей.

Консольная балка — одиночная нагрузка

Максимальная сила реакции

на неподвижном конце может быть выражена как:

R _A = F (2a)

где

R _A = сила реакции в A (Н, фунт)

F = сила одностороннего действия в B (Н, фунт)

Максимальный момент

на неподвижном конце может быть выражен как

M _max = M _A

= — F a (2b)

где

M _A = максимальный момент в A (Н.m, N.mm, lb.in)

a = длина между A и B (м, мм, дюйм)

Максимальный прогиб

на конце консольной балки можно выразить как

δ _C = (F a ³ / (3 EI)) (1 + 3 b / 2 a) (2c)

где

δ _C = максимальный прогиб в C (м, мм , дюйм)

E = модуль упругости (Н / м ² (Па), Н / мм ² , фунт / дюйм ² (psi))

I = момент инерции ( м ⁴ , мм ⁴ , дюйм ⁴ )

b = длина между B и C (м, мм, дюйм)

Максимальный прогиб

под действием одиночной силы быть выражено как

δ _B = F a ³ / (3 EI) (2d)

где e

δ _B = максимальный прогиб в B (м, мм, дюйм)

Максимальное напряжение

Максимальное напряжение может быть рассчитано путем объединения 1d и 2b до

σ _max = y _max F a / I (2e)

Консольная балка — Калькулятор одиночной нагрузки

Универсальный калькулятор — будьте последовательны и используйте метрические значения на основе м или мм или британские значения на основе дюймов.Стандартные значения в миллиметрах.

F — Нагрузка (Н, фунт)

a — Длина балки между A и B (м, мм, дюйм)

b — Длина балки между B и C (м, мм, дюйм)

I — момент инерции (м ⁴ , мм ⁴ , дюйм ⁴ )

E — модуль упругости (Н / м ² , Н / мм ² , psi)

y — Расстояние от нейтральной оси (м, мм, дюйм)

Консольная балка — равномерно распределенная нагрузка

Максимальная реакция

на неподвижном конце может быть выражена как:

R _A = q L (3a)

, где

R _A = сила реакции в A (Н, фунт)

q = равномерно распределенная нагрузка (Н / м, Н / м) мм, фунт / дюйм)

L = длина консольной балки (м, мм, дюйм)
9 0006

Максимальный момент

на фиксированном конце можно выразить как

M _A = — q L ² /2 (3b)

Максимальный прогиб

в конце можно выразить как

δ _B = q L ⁴ / (8 EI) (3c)

где

δ _B = максимальное отклонение в B (м, мм, дюйм)

Консольная балка — Калькулятор равномерной нагрузки

Универсальный калькулятор — используйте метрические значения, основанные на м или мм, или имперские значения, основанные на дюймах.Стандартные значения в миллиметрах.

q — Равномерная нагрузка (Н / м, Н / мм, фунт / дюйм)

L — Длина балки (м, мм, дюйм)

I — Момент инерции (м ⁴ , мм ⁴ , дюйм ⁴ )

E — Модуль упругости (Па, Н / мм ² , psi)

y — Расстояние от нейтральной оси (м, мм, дюйм)

Более одной точечной нагрузки и / или равномерной нагрузки, действующей на консольную балку

Если на консольную балку действует более одной точечной нагрузки и / или равномерная нагрузка — результирующий максимальный момент на фиксированном конце A и результирующий максимальный прогиб на конце B может быть рассчитан путем суммирования максимального момента в A и максимального прогиба в B для каждой точки и / или равномерной нагрузки.

Консольная балка — уменьшающаяся распределенная нагрузка

Максимальная сила реакции

на неподвижном конце может быть выражена как:

R _A = q L / 2 (4a)

где

R _A = сила реакции в A (Н, фунт)

q = уменьшающаяся распределенная нагрузка — максимальное значение при A — ноль при B (Н / м, фунт / фут)

Максимальный момент

при фиксированный конец может быть выражен как

M _max = M _A

= — q L ² /6 (4b)

, где

M _A = максимум момент в A (N.m, N.mm, lb.in)

L = длина балки (м, мм, дюйм)

Максимальный прогиб

на конце консольной балки можно выразить как

δ _B = q L ⁴ / (30 EI) (4c)

, где

δ _B = максимальный прогиб в B (м, мм, дюйм)

E = модуль упругости ( Н / м ² (Па), Н / мм ² , фунт / дюйм ² (psi))

I = момент инерции (м ⁴ , мм ⁴ , дюйм ⁴ )

Вставьте балки в модель Sketchup с помощью Engineering ToolBox Sketchup Extension

1.7: Прогиб балок — геометрические методы

Глава 7

Прогиб балок: геометрические методы

7.1 Введение

Требования к эксплуатационной пригодности ограничивают максимальный прогиб, допустимый в элементе конструкции, подвергающемся внешней нагрузке. Чрезмерное отклонение может привести к дискомфорту при заполнении данной конструкции, а также может испортить ее эстетику. Большинство норм и стандартов обеспечивают максимально допустимый прогиб для статических нагрузок и наложенных временных нагрузок.Чтобы гарантировать, что возможное максимальное отклонение, которое может возникнуть при данной нагрузке, находится в пределах допустимого значения, структурный компонент обычно анализируется на предмет отклонения, а определенное максимальное значение отклонения сравнивается с указанными значениями в нормах и стандартах практики.

Существует несколько методов определения прогиба балки или рамы. Выбор конкретного метода зависит от характера нагрузки и типа решаемой проблемы.Некоторые из методов, используемых в этой главе, включают метод двойного интегрирования, метод функции сингулярности, метод момента-площади, метод единичной нагрузки, метод виртуальной работы и методы энергии.

7.2 Вывод уравнения упругой кривой балки

Упругая кривая балки — это ось отклоненной балки, как показано на рисунке 7.1a.

Рис. 7.1. Упругая кривая балки.

Чтобы вывести уравнение упругой кривой балки, сначала выведите уравнение изгиба.

Рассмотрим часть cdef балки, показанную на рис. 7.1a, подверженную действию чистого момента M для вывода уравнения изгиба. Из-за приложенного момента M волокна выше нейтральной оси балки будут удлинены, а волокна ниже нейтральной оси — укорачиваются. Пусть O будет центром, а R будет радиусом кривизны балки, а ij будет осью изогнутой балки. Луч проходит под углом θ при O .И пусть σ будет продольным напряжением в нити gℎ на расстоянии y от нейтральной оси.

Исходя из геометрии, длина нейтральной оси пучка ij и длина нити накала gℎ , расположенная на расстоянии y от нейтральной оси пучка, может быть вычислена следующим образом:

Деформацию ε в нити можно рассчитать следующим образом:

Для линейно-упругого материала, к которому применяется закон Гука, уравнение 7.1 можно записать так:

Если элементарный участок δA на расстоянии y от нейтральной оси балки (см. Рисунок 7.1c) подвергается изгибающему напряжению σ , сила элемента на этом участке может быть вычислена следующим образом:

Сила, действующая на все поперечное сечение балки, становится равной:

Из соображений статического равновесия внешний момент M в балке уравновешивается моментами вокруг нейтральной оси внутренних сил, возникающих в сечении балки.Таким образом,

Подстановка из уравнения 7.2 в уравнение 7.5 дает следующее:

Подставляя I = ∫ y ² δA в уравнение 7.6, получаем следующее:

где

I = момент инерции или второй момент площади сечения.

Объединение уравнений 7.2 и 7.7 дает следующее:

Уравнение упругой кривой балки можно найти, используя следующие методы.

Из дифференциального исчисления кривизна в любой точке кривой может быть выражена следующим образом:

где

— первая и вторая производная функции, представляющей кривую в декартовых координатах x и y .

Поскольку балка на рисунке 7.1 считается однородной и ведет себя линейно-упругой, ее прогиб при изгибе невелик. Следовательно, величина, которая представляет наклон кривой в любой точке деформированной балки, также будет небольшой.Поскольку это ничтожно незначительно, уравнение 7.9 можно упростить следующим образом:

Объединение уравнений 7.2 и 7.10 дает следующее:

Преобразование уравнения 7.11 дает следующее:

Уравнение 7.12 называется дифференциальным уравнением упругой кривой балки.

7.3 Прогиб методом двойного интегрирования

Отклонение путем двойного интегрирования также называется отклонением методом прямого или постоянного интегрирования.Этот метод влечет за собой получение отклонения балки путем двукратного интегрирования дифференциального уравнения упругой кривой балки и использования граничных условий для определения постоянных интегрирования. Первое интегрирование дает наклон, а второе интегрирование дает отклонение. Этот метод лучше всего использовать при непрерывной прикладываемой нагрузке.

Пример 7.1

Консольная балка подвергается комбинированной нагрузке, как показано на рисунке 7.2a. Используя метод двойного интегрирования, определите наклон и прогиб на свободном конце.

Рис. 7.2. Консольная балка.

Решение

Уравнение изгибающего момента. Пройдя секцию на расстоянии x от свободного конца балки, как показано на диаграмме свободного тела на рис. 7.2b, и учитывая момент справа от секции, можно получить следующее:

Подстановка M в уравнение 7.12 дает следующее:

Уравнение для наклона. Интегрирование по отношению к x дает следующее:

Обратите внимание на то, что на фиксированном конце это называется граничным условием.Применение этих граничных условий к уравнению 3 предполагает следующее:

Чтобы получить следующее уравнение наклона, подставьте вычисленное значение C ₁ в уравнение 3 следующим образом:

Уравнение прогиба. Интегрирование уравнения 4 дает следующее:

На фиксированном конце x = L , y = 0. Применение этих граничных условий к уравнению 5 дает следующее:

Чтобы получить следующее уравнение упругой кривой, подставьте вычисленное значение C ₂ в уравнение 5 следующим образом:

Уклон на свободном конце, т.е.е., при x = 0

Прогиб на свободном конце, т.е. y при x = 0

Пример 7.2

Балка с простой опорой AB несет равномерно распределенную нагрузку 2 тысячи фунтов / фут по своей длине и сосредоточенную нагрузку 10 тысяч фунтов в середине своего пролета, как показано на рис. 7.3a. Используя метод двойного интегрирования, определите наклон в опоре A и прогиб в средней точке C балки.

Рис. 7.3. Балка с простой опорой.

Решение

Поддерживающие реакции.

тысячи фунтов по симметрии

Уравнение изгибающего момента. Момент на участке расстояния x от опоры A , как показано на диаграмме свободного тела на рис. 7.3b, записывается следующим образом:

Подстановка M в уравнение 7.12 дает следующее:

Уравнение для наклона.Интегрирование уравнения 2 относительно x дает следующее:

Константа интегрирования C ₁ оценивается с учетом граничного условия.

Применение вышеуказанных граничных условий к уравнению 3 предполагает следующее:

Возвращение вычисленного значения C ₁ в уравнение 3 дает следующее:

Уравнение прогиба.Интегрирование уравнения 4 дает следующее:

Константа интегрирования C ₂ оценивается с учетом граничного условия.

При x = 0, y = 0

0 = 0 — 0 — 0 + С ₂

С ₂ = 0

Перенос вычисленного значения C ₂ обратно в уравнение 5 дает следующее уравнение кривой упругости:

Склон на

Прогиб в средней точке

Пример 7.3

Балка несет распределенную нагрузку, которая изменяется от нуля на опоре A до 50 кН / м на ее выступающем конце, как показано на рисунке 7.4a. Напишите уравнение упругой кривой для сегмента AB балки, определите уклон в опоре A и определите прогиб в точке балки, расположенной на расстоянии 3 м от опоры A .

Рис. 7.4. Луч.

Решение

Поддерживающие реакции. Чтобы определить реакции балки, примените следующие уравнения равновесия:

Уравнение изгибающего момента.Момент на участке на расстоянии x от опоры A , как показано на диаграмме свободного тела на рис. 7.4b, составляет:

Подстановка M в уравнение 7.12 дает следующее:

Уравнение для наклона. Интегрирование уравнения 2 относительно x дает следующее:

Уравнение прогиба. Интегрирование уравнения 3 дает следующее уравнение прогиба:

Чтобы оценить константы интегрирования, примените следующие граничные условия к уравнению 4:

При x = 0, y = 0

0 = 0 — 0 + 0 + С ₂

С ₂ = 0

При x = 6 м, y = 0

C ₁ = –65.82

Уравнение упругой кривой.

Теперь можно определить уравнение упругой кривой, подставив C ₁ и C ₂ в уравнение 4.

Чтобы получить уравнения наклона и прогиба, подставьте вычисленное значение C ₁ и C ₂ обратно в уравнения 3 и 4:

Уравнение наклона.

Уравнение прогиба.

Прогиб при x = 3 м от опоры A .

7.4 Прогиб методом функции сингулярности

В случаях, когда балка подвергается воздействию комбинации распределенных нагрузок, сосредоточенных нагрузок и моментов, использование метода двойного интегрирования для определения прогибов таких балок действительно связано с трудностями, поскольку различные сегменты балки представлены несколькими функциями момента , и требуется много вычислительных усилий, чтобы найти константы интегрирования. Использование метода функции сингулярности в таких случаях для определения прогибов сравнительно проще и относительно быстро.Этот метод анализа был впервые введен Маколеем в 1919 году, и он влечет за собой использование одного уравнения, которое содержит функцию сингулярности или половинного диапазона для описания всей кривой отклонения луча. Функция сингулярности или полупериода определяется следующим образом:

где

x = координаты точки вдоль балки.

a = любое место вдоль балки, где возникает неоднородность из-за изгиба.

n = экспоненциальные значения функций; это всегда должно быть больше или равно нулю, чтобы функции были действительными.

Приведенное выше определение подразумевает, что величина ( x — a ) равна нулю или исчезает, если она отрицательна, но равна ( x — a ), если она положительна.

Процедура анализа методом функции сингулярности

• Нарисуйте схему свободного тела балки и установите координаты x и y .

• Рассчитайте реакции опоры и запишите уравнение момента как функцию координаты x .Условные обозначения на данный момент такие же, как в разделе 4.3.

• Подставьте выражение момента в уравнение упругой кривой и проинтегрируйте один раз, чтобы получить наклон. Снова выполните интегрирование, чтобы получить отклонение в балке.

• Используя граничные условия, определите константы интегрирования и подставьте их в уравнения, полученные на шаге 3, чтобы получить наклон и прогиб балки. Положительный наклон — против часовой стрелки, отрицательный — по часовой стрелке, положительный наклон — вверх, а отрицательный — вниз.

• При вычислении уклона или прогиба в любой точке балки отбросьте величину ( x — a ) из уравнения для уклона или прогиба, если оно отрицательное. Если ( x — a ) положительное значение, оно остается в уравнении.

Пример 7.4

Балка с простой опорой подвергается комбинированной нагрузке, показанной на рисунке 7.5a. Используя метод функции сингулярности, определите наклон в точке опоры A и прогиб в точке B .

Рис. 7.5. Балка с простой опорой.

Решение

Поддерживающие реакции. Чтобы определить реакцию на опоре A балки, примените следующие уравнения равновесия:

Изгибающий момент. Заменив данную распределенную нагрузку двумя эквивалентными нагрузками с открытым концом, как показано на рисунке 7.5b, изгибающий момент в секции, расположенной на расстоянии x от левой опоры A , можно выразить следующим образом:

Уравнение упругой кривой.Подстановка M ( x ) из уравнения 1 в уравнение 7.12 дает следующее:

Двойное интегрирование уравнения 2 дает следующее:

Граничные условия и вычисление постоянных интегрирования. Применение граничных условий [ x = 0, y = 0] к уравнению 4 и с учетом того, что каждая скобка содержит отрицательную величину и, таким образом, равна нулю по определению сингулярности, предполагает, что C ₂ = 0 .

0 = 0 — 0 + 0 — 0 + С ₂

С ₂ = 0

Опять же, применяя граничные условия [ x = 8, y = 0] к уравнению 4 и отмечая, что каждая скобка содержит положительную величину, предполагает, что значение константы C ₁ будет следующим:

Подстановка значений для C ₁ и C ₂ в уравнение 4 позволяет предположить, что выражение для упругой кривой балки будет следующим:

Аналогичным образом, подстановка значений для C ₁ в уравнение 3 предполагает, что выражение для наклона будет следующим:

Склон на

Прогиб при x = 4.5 м от опоры A

Пример 7.5

Консольная балка нагружена равномерно распределенной нагрузкой 4 тысячи фунтов / фут, как показано на рисунке 7.6a. Используя метод функции сингулярности, определите уравнение упругой кривой балки, уклон на свободном конце и прогиб на свободном конце.

Рис. 7.6. Консольная балка.

Решение

Поддерживающие реакции. Чтобы определить реакцию на опоре A балки, примените уравнение равновесия, как показано ниже:

Изгибающий момент.Изгибающий момент в секции, расположенной на расстоянии x от закрепленного конца балки, показанной на рисунке 7.6b, можно выразить следующим образом:

Уравнение упругой кривой. Подстановка M ( x ) из уравнения 1 в уравнение 7.12 дает следующее:

Двойное интегрирование уравнения 2 дает следующее:

Граничные условия и вычисление постоянных интегрирования. Применение граничных условий к уравнению 3 и заметка, что член со скобкой содержит отрицательную величину и, таким образом, равен нулю по определению функции сингулярности, предполагает, что C ₁ = 0.

Применение граничных условий [ x = 0, y = 0] к уравнению 4 и отметка, что член со скобкой содержит отрицательную величину и, таким образом, равен нулю согласно определению функции сингулярности, предполагает, что C ₂ = 0.

Чтобы найти упругую кривую балки, подставьте значения для C ₁ и C ₂ в уравнение 4 следующим образом:

Аналогичным образом, чтобы найти выражение для наклона, подставьте значения для C ₁ в уравнение 3 следующим образом:

Пример 7.6

Балка с выступом подвергается комбинированной нагрузке, как показано на рисунке 7.7a. Используя метод функции сингулярности, определите наклон на опоре A и прогиб на B .

Рис. 7.7. Балка с вылетом.

Решение

Поддерживающие реакции. Чтобы определить реакцию на опоре A балки, примените следующие уравнения равновесия:

Изгибающий момент.Заменив данную распределенную нагрузку двумя эквивалентными нагрузками с открытым концом и изменив момент, как показано на рисунке 7.7b, изгибающий момент в секции, расположенной на расстоянии x от левой опоры A , можно выразить как следует:

Уравнение упругой кривой. Подстановка M ( x ) из уравнения 1 в уравнение 7.12 дает следующее:

Двойное интегрирование уравнения 2 дает следующее:

Граничные условия и вычисление постоянных интегрирования.Применение граничных условий [ x = 0, y = 0] к уравнению 4 и с учетом того, что каждая скобка содержит отрицательную величину и, таким образом, равна нулю по определению сингулярности, предполагает, что C ₂ = 0.

0 = 0 + 0 — 0 + 0 + 0 + 0 + С ₂

С ₂ = 0

Опять же, применяя граничные условия [ x = 8 м, y = 0] к уравнению 4 и отмечая, что каждая скобка содержит положительную величину, предполагает, что значение константы C ₁ будет следующим:

Подстановка значений для C ₁ и C ₂ в уравнение 4 предполагает, что выражение для упругой кривой балки выглядит следующим образом:

Аналогичным образом, подстановка значений для C ₁ в уравнение 3 предполагает, что выражение для наклона будет следующим:

Склон на

Прогиб при x = 2 м от опоры A

7.5 Прогиб методом моментной площади

В методе момент-площадь используется площадь момента, разделенная на диаграмму жесткости на изгиб ( M / EI ) балки, для определения прогиба и наклона балки. В этом методе используются две теоремы, которые выводятся ниже.

7.5.1 Теорема о первом моменте и площади

Чтобы вывести первую теорему момент-площадь, рассмотрим участок AB упругой кривой отклоненной балки, показанный на рис. 7.8b. Балка имеет радиус кривизны R .На рисунке 7.8c показан изгибающий момент этой части. В соответствии с геометрией длина дуги ds радиуса R , проходящей под углом dθ , равна произведению радиуса кривизны и угла наклона. Следовательно,

Преобразование уравнения 1 дает следующее:

Рис. 7.8. Отклоненный луч.

Подстановка уравнения 7.14 в уравнение 7.8 дает следующее:

Поскольку ds бесконечно мала из-за небольшого бокового отклонения балки, допустимого в технике, его можно заменить горизонтальной проекцией dx .Таким образом,

Таким образом, угол θ между касательными в точках A, и B может быть получен путем суммирования прилегающих углов к бесконечно малой длине, лежащей между этими точками. Таким образом,

Уравнение 7.17 называется первой теоремой момента-площади. Первая теорема момент-площадь утверждает, что общее изменение наклона между A и B равно площади диаграммы изгибающего момента между этими двумя точками, деленной на жесткость при изгибе EI .

7.5.2 Теорема о втором моменте и площади

Снова обращаясь к рисунку 7.8, необходимо определить тангенциальное отклонение точки B относительно точки A , которое представляет собой расстояние по вертикали точки B от касательной, проведенной к упругой кривой в точке A. . Для этого сначала вычислите вклад δ ∆ элемента длиной dL в вертикальное расстояние. По геометрии

Подставляем dθ из уравнения 7.15 к уравнению 7.18 предполагает следующее:

Следовательно,

Уравнение 7.20 называется второй теоремой о площади моментов. Вторая теорема момента-площади утверждает, что расстояние по вертикали точки B на упругой кривой от касательной к кривой в точке A равно моменту относительно вертикали через B площади поверхности Диаграмма изгибающего момента между A и B , деленная на жесткость при изгибе, EI .

7.5.3 Условные обозначения

Знаковые соглашения для теорем моментов и площадей следующие:

(1) Тангенциальное отклонение точки B, по отношению к касательной, проведенной на упругой кривой в точке A , положительно, если B лежит выше нарисованной касательной в точке A , и отрицательно, если оно лежит ниже касательной (см. рисунок 7.9).

(2) Наклон в точке B относительно касательной, проведенной в точке A на упругой кривой, является положительным, если касательная, проведенная в точке B , вращается против часовой стрелки по отношению к касательной. при A и отрицательно, если он вращается по часовой стрелке (см. рисунок 7.9).

Рис. 7.9. Представление соглашения о знаках.

Процедура анализа методом моментной площади

• Нарисуйте схему свободного тела балки.

• Нарисуйте диаграмму балки M / EI . Это будет выглядеть как обычная диаграмма изгибающих моментов балки, если балка является призматической (т.е. имеет одинаковое поперечное сечение по всей длине).

• Чтобы определить наклон в любой точке, найдите угол между касательной, проходящей через точку, и касательной, проходящей через другую точку на отклоненной кривой, разделите диаграмму M / EI на простые геометрические фигуры, а затем примените первый момент -зональная теорема.Чтобы определить прогиб или тангенциальное отклонение любой точки вдоль балки, примените вторую теорему момент-площадь.

• В случаях, когда конфигурация диаграммы M / EI такова, что ее нельзя разделить на простые формы с известными площадями и центроидами, предпочтительно рисовать диаграмму M / EI по частям. Это влечет за собой установку фиксированной опоры в любой удобной точке вдоль балки и построение диаграммы M / EI для каждой из приложенных нагрузок, включая реакции опоры, до применения любой из теорем для определения того, что требуется.

Таблица 7.1. Площади и центроиды геометрических фигур.

Пример 7.7

Консольная балка, показанная на рисунке 7.10a, подвергается действию сосредоточенного момента на ее свободном конце. Используя метод момент-площадь, определите уклон на свободном конце балки и прогиб на свободном конце балки. EI = постоянный.

Рис. 7.10. Консольная балка.

Решение

( M / EI ) диаграмма. Сначала нарисуйте диаграмму изгибающего момента для балки и разделите ее на жесткость на изгиб, EI , чтобы получить диаграмму, показанную на рисунке 7.10б.

Наклон A . Наклон на свободном конце равен площади диаграммы между A и B согласно первой теореме момент-площадь. Используя эту теорему и обращаясь к диаграмме, можно сделать следующее:

Прогиб при А . Прогиб на свободном конце балки равен моменту относительно вертикали через A области диаграммы между A и B , согласно второй теореме момент-площадь.Используя эту теорему и обращаясь к рисункам 7.10b и 7.10c, можно сделать следующее:

Пример 7.8

Подвесная консольная балка несет равномерно распределенную нагрузку 4 тысячи фунтов / фут по всей своей длине, как показано на рис. 7.11a. Используя метод момент-площадь, определите наклон в точке A, и прогиб в точке A, .

Рис. 7.11. Подпираемая консольная балка.

Решение

( M / EI ) диаграмма.Сначала нарисуйте диаграмму изгибающего момента для балки и разделите ее на жесткость на изгиб, EI , чтобы получить диаграмму, показанную на рисунке 7.11b.

Наклон A . Наклон на свободном конце равен площади диаграммы между A и B . Область между этими двумя точками обозначена как A ₁ и A ₂ на рисунке 7.11b. Используйте Таблицу 7.1, чтобы найти вычисление A ₂ , дуга которого параболическая, и положение его центра тяжести.Отмечая из таблицы, что и применяя первую теорему момента-площади, можно сделать следующее:

Прогиб при А . Прогиб в точке A равен моменту площади диаграммы между A и B около A . Таким образом, используя вторую теорему момент-площадь и обращаясь к рисункам 7.11b и 7.11c, можно сделать следующее:

Пример 7.9

Деревянная балка с простой опорой длиной 8 футов будет нести распределенную нагрузку на пол 500 фунтов / фут по всей ее длине, как показано на Рисунке 7.12а. Используя теорему о площади момента, определите наклон на конце B и максимальный прогиб.

Рис. 7.12. Деревянная балка с простой опорой.

Решение

( M / EI ) диаграмма. Сначала нарисуйте диаграмму изгибающего момента балки и разделите ее на жесткость на изгиб, EI , чтобы получить диаграмму, показанную на рисунке 7.12b.

Уклон B . Наклон B равен площади диаграммы между B и C .Область между этими двумя точками обозначена как A ₂ на рисунке 7.12b. Применение первой теоремы момента-площади дает следующее:

Максимальный прогиб. Максимальный прогиб происходит в центре балки (точка C). Он равен моменту площади диаграммы между B и C около B . Таким образом,

Пример 7.10

Призматическая деревянная балка подвергается двум сосредоточенным нагрузкам равной величины, как показано на рисунке 7.13а. Используя метод момент-площадь, определите наклон в точке A, и прогиб в точке C.

Рис. 7.13. Призматическая балка из дерева.

Решение

( M / EI ) диаграмма. Сначала нарисуйте диаграмму изгибающего момента для балки и разделите ее на жесткость на изгиб, EI , чтобы получить диаграмму, показанную на рисунке 7.13b.

Наклон A . Прогиб и вращение балки малы, поскольку они происходят в пределах упругости.Таким образом, наклон на опоре A можно вычислить с помощью теоремы о малых углах следующим образом:

Чтобы определить тангенциальное отклонение B от A , примените вторую теорему момент-площадь. Согласно теореме, он равен моменту площади диаграммы между A и B около B . Таким образом,

Таким образом, наклон в точке A равен

.

Прогиб при C .Прогиб на C можно получить пропорционально.

Аналогично, тангенциальное отклонение C от A может быть определено как момент площади диаграммы между A и C около C .

Следовательно, прогиб при C равен

7.6 Отклонение методом сопряженной балки

Метод сопряженных балок, разработанный Генрихом Мюллер-Бреслау в 1865 году, является одним из методов, используемых для определения наклона и отклонения балки.Метод основан на принципе статики.

Сопряженная балка определяется как фиктивная балка, длина которой равна длине реальной балки, но с нагрузкой, равной изгибающему моменту реальной балки, деленному на ее жесткость на изгиб, EI .

Метод сопряженных балок использует сходство взаимосвязи между нагрузкой, поперечной силой и изгибающим моментом, а также между кривизной, наклоном и прогибом, полученными в предыдущих главах и представленными в таблице 7.2.

Таблица 7.2. Взаимосвязь между изгибающим моментом нагрузки и сдвигом и прогибом кривизны-наклона.

7.6.1 Опоры для сопряженных балок

Опоры для сопряженных пучков показаны в таблице 7.3, а примеры реальных и сопряженных пучков показаны на рис. 7.4.

Таблица 7.3. Опоры для сопряженных балок.

Таблица 7.4 Реальные пучки и их сопряженные.

7.6.2 Условные обозначения

Для диаграммы положительной кривизны, где ордината диаграммы положительная, нагрузка в конъюгате должна указывать в положительном направлении y (вверх) и наоборот (см. Рисунок 7.14).

Рис. 7.14. Диаграмма положительной кривизны.

Если следовать условию, установленному для диаграмм положительной кривизны, то положительная поперечная сила в сопряженной балке равна положительному наклону в реальной балке, а положительный момент в сопряженной балке равняется положительному отклонению (движению вверх) реальной балки. . Это показано на Рисунке 7.15.

Рис. 7.15. Сдвиг и наклон в балке.

Процедура анализа методом сопряженного пучка

• Постройте диаграмму кривизны реальной балки.

• Нарисуйте сопряженный луч для реального луча. Сопряженная балка имеет ту же длину, что и реальная балка. Вращение в любой точке реальной балки соответствует поперечной силе в той же точке сопряженной балки, а смещение в любой точке реальной балки соответствует моменту в сопряженной балке.

• Примените диаграмму кривизны реальной балки как распределенную нагрузку на сопряженную балку.

• Используя уравнения статического равновесия, определите реакции на опорах сопряженной балки.

• Определите поперечную силу и момент в интересующих сечениях сопряженной балки. Эти поперечные силы и моменты равны наклону и прогибу, соответственно, в реальной балке. Положительный сдвиг в сопряженной балке подразумевает наклон против часовой стрелки в реальной балке, а положительный момент означает отклонение вверх в реальной балке.

Пример 7.11

Используя метод сопряженных балок, определите наклон и прогиб в точке A консольной балки, показанной на рисунке 7.16а. E = 29 000 тысяч фунтов / кв. Дюйм и I = 280 дюймов ⁴

Рис. 7.16. Сопряженный пучок.

Решение

( M / EI ) диаграмма. Сначала нарисуйте диаграмму изгибающего момента для балки и разделите ее на жесткость на изгиб, EI , чтобы получить диаграмму, показанную на рисунке 7.16b.

Сопряженная балка. Сопряженный пучок, нагруженный диаграммой, показан на рисунке 7.16c. Обратите внимание, что свободный конец реального пучка становится фиксированным в сопряженном пучке, в то время как фиксированный конец реального пучка становится свободным в сопряженном пучке.Диаграмма применяется в качестве направленной вниз нагрузки в сопряженной балке, поскольку на рис. 7.16b она отрицательна.

Наклон A . Наклон в точке A, в реальной балке — это сдвиг в точке A, в сопряженной балке. Сдвиг при A в конъюгате следующий:

Здесь используется то же условное обозначение силы сдвига, которое использовалось в главе 4.

Таким образом, наклон реальной балки в точке A будет следующим:

Прогиб при А .Прогиб в точке A, в реальной балке равен моменту в точке A, сопряженной балки. Момент при A сопряженной балки равен:

Здесь используется то же обозначение изгибающего момента, что и в главе 4.

Таким образом, прогиб в реальной балке в точке A будет следующим:

Пример 7.12

Используя метод сопряженной балки, определите наклон опоры A, и прогиб под действием сосредоточенной нагрузки свободно опертой балки в точке B , как показано на рисунке 7.17а.

E = 29000 тысяч фунтов на квадратный дюйм и I = 800 дюймов ⁴

Рис. 7.17. Балка с простой опорой.

Решение

( M / EI ) диаграмма. Сначала нарисуйте диаграмму изгибающего момента для балки и разделите ее на жесткость на изгиб, EI , чтобы получить диаграмму кривизны момента (), показанную на рисунке 7.17b.

Сопряженная балка. Сопряженный пучок, нагруженный диаграммой, показан на рисунке 7.17c. Обратите внимание, что A и C , которые являются простыми опорами в реальной балке, остаются неизменными в сопряженной балке. Диаграмма приложена как восходящая нагрузка в сопряженной балке, поскольку на рис. 7.17b она положительна.

Реакции для сопряженного пучка. Реакцию на опорах сопряженной балки можно определить следующим образом:

Наклон A . Наклон в точке A, в реальной балке — это поперечная сила в точке A, в сопряженной балке.Сдвиг при A в сопряженной балке составляет:

Таким образом, уклон в опоре A реальной балки будет следующим:

Прогиб при B . Прогиб в точке B в реальной балке равен моменту в точке B сопряженной балки. Момент при B сопряженной балки равен:

Прогиб в точке B реальной балки составляет:

Краткое содержание главы

Отклонение балок с помощью геометрических методов: Геометрические методы, рассматриваемые в этой главе, включают метод двойного интегрирования, метод функции сингулярности, метод моментной площади и метод сопряженных балок.Перед обсуждением этих методов было получено следующее уравнение упругой кривой балки:

Метод двойного интегрирования: Этот метод включает двойное интегрирование уравнения упругой кривой. Первое интегрирование дает наклон, а второе интегрирование дает отклонение. Константы интегрирования определяются с учетом граничных условий.

Метод функции сингулярности: Этот метод включает использование функции сингулярности или полупериода для описания уравнения упругой кривой для всей балки.Функцию полудиапазона в общем виде можно записать следующим образом:

Метод сингулярности лучше всего подходит для балок с большим количеством разрывов из-за сосредоточенных нагрузок и моментов. Этот метод значительно сокращает количество констант интегрирования, которые необходимо определить, и, таким образом, упрощает вычисление по сравнению с методом двойного интегрирования.

Метод «момент-площадь» : в этом методе используются две теоремы для определения наклона и прогиба в определенных точках на упругой кривой балки.Две теоремы следующие:

Первая теорема момент-площадь: Изменение наклона между любыми двумя точками на упругой кривой балки равно площади диаграммы между этими двумя точками.

Вторая теорема момент-площадь: Вертикальное отклонение точки A от касательной, проведенной к упругой кривой в точке B , равно моменту площади под диаграммой между этими двумя точками относительно точки A .

Метод сопряженного пучка: Сопряженный пучок был определен как воображаемый пучок той же длины, что и фактический пучок, но с нагрузкой, равной диаграмме фактического пучка. Опоры в реальных балках заменяются фиктивными опорами с граничными условиями, которые приведут к тому, что изгибающий момент и поперечная сила в определенной точке сопряженной балки будут равны прогибу и наклону, соответственно, в одних и тех же точках реальной балки.

Практические задачи

7.1 Используя метод двойного интегрирования, определите уклоны и прогибы на свободных концах консольных балок, показанных на рисунках с P7.1 по P7.4. EI = постоянный.

Рис. P7.1. Консольная балка.

Рис. P7.2. Консольная балка.

Рис. P7.3. Консольная балка.

Рис. P7.4. Консольная балка.

7.2 Используя метод двойного интегрирования, определите уклоны в точке A и прогиб в средней точке C балок, показанных на рисунке P7.5 и рисунок P7.6. EI = постоянный.

Рис. P7.5. Луч.

Рис. P7.6. Луч.

7.3 Используя метод сопряженной балки, определите наклон в точке A и прогиб в точке B балки, показанной на рисунках P7.7 — P7.10.

Рис. P7.7. Луч.

Рис. P7.8. Луч.

Рис. P7.9. Луч.

Рис.P7.10. Луч.

7.4 Используя метод момент-площадь, определите прогиб в точке A консольной балки, показанной на рисунках с P7.11 по P7.12.

Рис. P7.11. Консольная балка.

Рис. P7.12. Консольная балка.

7.5 Используя метод момент-площадь, определите наклон в точке A и наклон в средней точке C балок, показанных на рисунках P7.13 и P7.14.

Рис.P7.13. Луч.

Рис. P7.14. Луч.

7.6 Используя метод функции сингулярности, определите наклон и прогиб в точке A консольной балки, показанной на рисунке P7.15.

Рис. P7.15. Консольная балка.

7.7 Используя метод функции сингулярности, определите наклон в точке B и наклон в точке C балки с выступом, показанным на рисунке P7.16. EI = постоянный. E = 200 ГПа, I = 500 × 106 мм ⁴ .

Рис. P7.16. Луч.

7.8 Используя метод функции сингулярности, определите наклон в точке C и прогиб в точке D балки с выступающими концами, как показано на рисунке P7.17. EI = постоянный.

Рис. P7.17. Луч.

7.9 Используя метод функции сингулярности, определите наклон в точке A и прогиб в точке B балки, показанной на рисунке P7.18. EI = постоянная.

Рис. P7.18. Луч.

Напряжение, деформация и прогиб

Напряжение и деформация

Напряжения бывают растягивающими или сжимающими. Конструкционные материалы выбираются по их способности противостоять силам растяжения или сжатия, в зависимости от области применения. Большинство материалов лучше сопротивляются тому или иному. Например, бетон прочен на сжатие и относительно слаб на растяжение. Сталь одинаково прочна как на растяжение, так и на сжатие.В проектировании конструкций есть два типа сил: растяжение и сжатие .

НАПРЯЖЕНИЕ:	Сила тяги
	Представьте себе силу, ощущаемую в ваших руках, когда вы висите на перекладине.
	Подверженный растяжению элемент конструкции имеет удлиненную форму.
СЖАТИЕ:	Сила сжатия
	Представьте себе силу, ощущаемую в ваших руках, когда вы стоите на руках.
	Компонент, подвергающийся сжатию, укорачивается.

Напряжение определяется как сила на единицу площади, на которую действует сила. Таким образом,
Напряжения бывают растягивающими или сжимающими. Конструкционные материалы выбираются по их способности противостоять силам растяжения или сжатия, в зависимости от области применения. Большинство материалов лучше сопротивляются тому или иному. Например, бетон прочен на сжатие и относительно слаб на растяжение.Сталь одинаково прочна как на растяжение, так и на сжатие.

Примером элемента конструкции, работающего на растяжение, может быть кабель.
Примером сжатого структурного элемента может быть колонна.

Деформация определяется как изменение длины напряженного конструктивного элемента, деленное на исходную длину ненагруженного элемента. Таким образом,

\ [\ epsilon = \ frac {\ Delta L} {L_0} \]

где, \ [= \ Delta L = L’-L_0, \]

Предел прочности материала на растяжение определяется в лаборатории путем вытягивания образца до его разрушения.Во время проведения теста регистрируются как напряжение, так и деформация. Максимальное напряжение, которое может выдержать образец, называется пределом прочности этого конкретного материала. С точки зрения проектирования нас в основном интересует напряжение, при котором материал перестает упруго вести себя.

Материал ведет себя эластично, когда он возвращается к своей исходной форме, когда приложенная нагрузка больше не применяется. Эта точка находится путем построения графика зависимости напряжения от деформации во время испытания и определения напряжения, при котором график становится нелинейным.Это напряжение называется пределом текучести , s _y .

Наклон кривой напряжение-деформация в упругой области определяется как модуль упругости , E. Конструкции должны быть спроектированы таким образом, чтобы любая приложенная нагрузка не приводила к тому, что напряжение в конструкции превышало s _y .

Балки — это элементы конструкции, которые подвергаются изгибающим силам. При изгибе балка одновременно подвергается растяжению и сжатию.

Представьте себе пучок губки. Скажем, мы рисуем сетку сбоку от балки, так что губка разделена на два ряда прямоугольников равной длины, L _o , и высоты, h / 2.

При приложении силы к балке прямоугольники деформируются.

Верхние части прямоугольников верхнего ряда укорачиваются, а низы нижнего ряда прямоугольников удлиняются. Таким образом, мы видим, что верх балки сжимается, а нижняя часть балки растягивается.

Обратите внимание, что середина балки не подвержена растяжению или сжатию. Это называется нейтральной осью . Напряжение изгиба на нейтральной оси равно нулю.

Ключом к проектированию балки является определение точки максимального напряжения. Для балки с простой опорой при равномерной нагрузке максимальное напряжение возникает в центральной точке. Максимальное сжимающее напряжение в верхней части балки, s _cmax , и максимальное растягивающее напряжение в нижней части балки, s _tmax , определяются следующими уравнениями:

, где h — высота балки, b — ширина балки, а M _max — максимальный момент в середине пролета балки.

Изгиб и прогиб и его уравнения Рисунок ii-1) напряжения и моменты, действующие в поперечном сечении балки; (a) поперечное сечение, (b) нормальные и касательные напряжения, действующие по поперечному сечению, (c) момент
и поперечная сила, равная нормальным и касательным напряжениям
Рисунок ii-2) Соглашение о знаках для моментов и поперечных сил

Балки на рис. Ii-1 и ii-2 показывают нормальное напряжение и прогиб, которые можно ожидать, когда балка изгибается вниз.Бывают ситуации, когда части балки изгибаются вверх, и в этих случаях знаки нормальных напряжений будут противоположны показанным на первом рисунке. Однако моменты (и поперечные силы), показанные на рис. Ii-1, будут считаться положительными. Это условное обозначение, которое будет использоваться, показано на рис. Ii-2

. Взаимосвязь между моментом, поперечной силой и нагрузкой

Связь между приложенными нагрузками и внутренней поперечной силой и изгибающим моментом в балке можно установить, рассмотрев небольшой элемент балки шириной dx,

Плоские сечения остаются плоскими в теории элементарной балки
Деформация волокон материала в элементе балки

Балка представляет собой трехмерный объект и, как правило, испытывает довольно сложное трехмерное напряженное состояние.Ниже мы покажем, что простое одномерное приближение, \ [\ sigma = \ epsilon E \], без учета всех других напряжений и деформаций, будет достаточно точным для наших целей.

Изгибное напряжение балки

Рассмотрим балку AB, которая изначально прямая и горизонтальная в ненагруженном состоянии. Если под действием нагрузок балка отклоняется в положение A’B ’под нагрузкой или фактически, мы говорим, что ось балки изгибается до формы A’B’. Принято называть A’B ’изогнутой осью балки упругой линией или кривой прогиба.В случае изгиба балки под действием поперечных нагрузок, действующих в плоскости симметрии, изгибающий момент M изменяется по длине балки, и мы представляем изменение изгибающего момента на диаграмме B.M. Далее предполагается, что справедливо простое уравнение теории изгиба.

Уравнение прогиба балки Метод интеграции Метод прогиба балки Пример свободно опертой балки методом прямого интегрирования
Пары и силы

ПРОГИБ ЖБИ ПРИ ОДНОВРЕМЕННОЙ НАГРУЗКЕ И КОРРОЗИИ СТАЛИ

В данной статье представлены результаты серии испытаний, направленных на определение эксплуатационной пригодности и предельного прогиба железобетонных балок, подвергшихся коррозии стали под нагрузкой.Коррозия арматуры была ускорена за счет приложения постоянного тока к основной растянутой стали, в то время как нагрузка прилагалась через статическую подпружиненную опорную раму. Центральные прогибы балок, подверженных 23% и 34% расчетной предельной нагрузки при 4-точечной нагрузке на пролете 1050 мм и ускоренной коррозии, контролировались в течение примерно 30 дней. Эти балки были затем испытаны на отсутствие возможности оценить влияние коррозии арматуры на характеристики в предельном состоянии.Некорродированные балки использовались в качестве контрольных образцов и тестировались параллельно с корродированными образцами. Результаты показывают важность оценки структурных эффектов коррозии арматуры в условиях одновременной нагрузки и коррозии, как это могло бы произойти на месте. В этой ситуации, когда корродирует 6% массы стали, прогиб балки увеличивается на 40-70% по сравнению с прогибом контрольных образцов. Кроме того, в зависимости от степени коррозии и режима отказа предельная прочность балок на изгиб может быть снижена до 30%.(А)

• Наличие:
• Корпоративных авторов:

  Томас Телфорд Лимитед

  Лондон, Объединенное Королевство
• Авторов:
  • BALLIM, Y
  • REID, J C
  • Кемп, A R
• Дата публикации: 2001-6

Язык

Информация для СМИ

Предмет / указатель

Информация для подачи

• Регистрационный номер: 00814567
• Тип записи: Публикация
• Агентство-источник: Транспортная исследовательская лаборатория
• Файлы: ITRD
• Дата создания: 9 августа 2001 00:00

Модифицированная модель для расчета прогиба железобетонной балки с деформированной арматурой из стеклопластика

Авторы провели экспериментальные и аналитические исследования, чтобы оценить изгибную способность и соотношение момент-прогиб бетонных балок, армированных стержнями из стеклопластика.Предлагаемая модель для прогнозирования эффективного момента инерции для ж / б балки с стержнями из стеклопластика была разработана эмпирически на основе уравнения Брэнсона, чтобы иметь лучшую точность и знакомый подход инженеру-строителю. Для лучшего прогнозирования зависимости момент-прогиб до достижения предельной прочности также учитывался нелинейный параметр (). Этот параметр был введен, чтобы уменьшить влияние момента инерции трещин для железобетонного элемента, включая более низкий коэффициент усиления и модуль упругости стержня из стеклопластика.В сравнительном исследовании с использованием шести уравнений, предложенных другими, предложенная модель показала лучшее согласие с результатами экспериментальных испытаний. Было подтверждено, что эмпирическая модификация, основанная на уравнении Брэнсона, действительна для прогнозирования эффективного момента инерции R / C балок с стержнем из стеклопластика в этом исследовании. Чтобы оценить общность предложенной модели, было проведено сравнительное исследование с использованием результатов предыдущих тестов из литературы и результатов этого исследования. Было обнаружено, что предложенная модель имеет лучшую точность и знакома инженерам-строителям для прогнозирования и оценки поведения прогиба.

1. Введение

Срок службы железобетонных (ЖБИ) конструкций может быть уменьшен за счет ряда факторов, включая суровые условия окружающей среды и неожиданные чрезмерные внешние нагрузки. Одним из основных факторов ухудшения состояния конструкции является коррозия стальной арматуры. Следовательно, использование некоррозионной арматуры может быть эффективным решением для увеличения срока службы железобетонных конструкций. Во многих регионах стержни из армированного волокном полимера (FRP) представляют значительный интерес для инженеров-строителей (строителей) и инженеров-строителей для усиления и армирования бетона в качестве замены стальным стержням.Их высокое отношение прочности к весу, антикоррозионные свойства и простота обращения во время строительства считаются преимуществами для применения в строительных конструкциях. Большое количество структурных исследований с использованием стержней из стеклопластика было выполнено в полевых условиях, и в настоящее время существуют руководящие принципы для проектирования и строительства бетона, армированного стержнями из стеклопластика, такие как Спецификация проектирования мостов AASHTO LRFD, руководящие принципы ACI 440 и Канадские нормы проектирования [1–1] 3].

Изгибная способность железобетонных элементов со стержнем из стеклопластика была проблемой при проектировании конструкций из-за относительно низкого модуля упругости, который вызывает больший прогиб и ширину трещин.Таким образом, поведение при изгибе железобетонных элементов с стержнем из стеклопластика должно быть дополнительно исследовано с точки зрения эксплуатационной пригодности. Прогнозирование прогиба — один из наиболее важных критериев при оценке и обеспечении работоспособности бетонного элемента. ACI 318-14 [4] использует уравнение момента инерции на основе уравнения Брэнсона [5] для расчета прогиба железобетонных балок. Недавно ACI 440.1R-15 [2] рекомендовал новую модель момента инерции для железобетонных элементов с стержнем из стеклопластика, которая не была основана на уравнении Брэнсона в отличие от ACI 440.1Р-06 [6]. Уравнение на основе Брэнсона уже давно знакомо большинству инженеров-строителей при проектировании изгибаемых бетонных элементов. Для железобетонных элементов с стержнем из стеклопластика уравнение Брэнсона было изменено для максимально точного прогнозирования прогиба. Существенные изменения заключались в корректировке мощности и добавлении параметра.

В этом исследовании мы предлагаем модифицированный эффективный момент инерции и провели сравнительное исследование в отношении поведения прогиба ж / б балок с стержнем из стеклопластика с экспериментальными испытаниями.Для сравнительного исследования были рассмотрены шесть уравнений, в том числе некоторые из индивидуальных исследований. Предлагаемая модель была разработана на основе уравнения Брэнсона, чтобы обеспечить знакомый подход к вычислению момента инерции для R / C балок с стержнем из стеклопластика. Эта модель была эмпирически модифицирована в соответствии с результатами испытаний шести образцов для испытаний с переменными коэффициентом усиления. Для лучшего прогнозирования прогиба до достижения предельной прочности был введен эмпирический нелинейный параметр, чтобы уменьшить влияние момента инерции трещины.Среди уравнений была проанализирована степень точности предсказания поведения отклонения для нового момента инерции, предложенная в этом исследовании, и обсуждалась предсказуемость.

2. Существующие и предлагаемые уравнения момента инерции для изгибаемых стержней из армированного стеклопластиком бетона

Уравнение Брэнсона в целом недооценивает прогиб балок из армированного стеклопластом бетона. Benmokrane et al. [7] изменили уравнение, чтобы сделать его более подходящим для оценки прогиба армированных FRP балок на основе экспериментальных данных.Уравнение выглядит следующим образом: где — полный момент инерции ( ⁴ мм), — момент инерции трансформированного участка с трещиной ( ⁴ мм), — момент растрескивания (Н · м) и — максимальное значение. рабочий момент нагрузки в стержне (Н · м).

Заметная разница заключается в модификации и. отражает уменьшенное композитное действие между бетоном и стержнями FRP. Однако не имеет физического значения, потому что не было оснований для уменьшения. и были 0.84 и 7 соответственно.

ACI 440.1R-06 [6] рекомендовал уравнение для эффективного момента инерции на основе модели Брэнсона. Был дополнительный фактор для рассмотрения уменьшенной жесткости при растяжении армированных стеклопластиком бетонных элементов. Эта модель обычно использовалась для расчета момента инерции элементов из армированного стеклопластом бетона, чтобы можно было рассчитать прогиб секции с трещинами: где — коэффициент уменьшения, связанный с уменьшенной жесткостью при растяжении, проявляемой элементом R / C с FRP. bar () — коэффициент армирования стержня из стеклопластика и сбалансированный коэффициент армирования стержня из стеклопластика.

Тутанджи и Саафи [9] эмпирически предложили уравнение для эффективного момента инерции для железобетонной балки с стержнем из стеклопластика. Их уравнение сосредоточено на коэффициенте модификации мощности в (1). Фактор был основан на применении коэффициента упругости к коэффициенту усиления стержня из стеклопластика. Изменяя только степень, традиционная форма уравнения, знакомая инженерам-строителям, была сохранена. Уравнение хорошо предсказало прогиб испытанных ж / б балок с GFRP.Посмотрим где.

Для канадских норм для железобетонных элементов с стержнем из стеклопластика CAN / CSA S806-12 [3] предлагает следующее уравнение (см. (4)) для расчета прогиба. Уравнение было основано на обычном уравнении для расчета прогиба при четырехточечной нагрузке. Он использует момент инерции при трещине, в то время как ACI 440.1R-15 [2] использует эффективный момент инерции. Однако были включены дополнительные члены уравнения, относящиеся к пролету сдвига, длине пролета и длине без трещин в половине балки.Это уравнение требует интенсивных вычислений, допускающих человеческую ошибку; таким образом, код также предоставляет уравнения в замкнутой форме для общих условий нагрузки и поддержки. Следовательно, где — пролет сдвига (мм), — общая приложенная нагрузка (Н), — длина пролета (мм), — длина без трещин в половине балки (мм) (), — это модуль упругости бетон (МПа),.

Недавно была предложена другая полуэмпирическая модель путем модификации уравнения Брэнсона в соответствии с экспериментальными результатами и подходом на основе генетического алгоритма [10].Для лучшего прогноза некоторые факторы были разработаны эмпирически. Модель, которая имеет два множителя и экспоненциальный фактор, была проанализирована с использованием экспериментальных данных для 55 армированных FRP балок для зависимости нагрузки от прогиба. Влияние модуля упругости стержней из стеклопластика, коэффициента армирования и уровня нагрузки на мощность в уравнении Брэнсона учитывается в (5) следующим образом: где, — модуль упругости стержня из стеклопластика (МПа), и — модуль упругости стального стержня (МПа).

ACI 440.1R-15 [2] предложил уравнение для расчета эффективного момента инерции для железобетонных балок с стержнем из стеклопластика. Это уравнение основано на подходе, предложенном Бишоффом, который представляет собой средневзвешенное значение гибкости (), как показано в (6). Сообщается, что уравнение одинаково хорошо работает как для стальных, так и для армированных стеклопластиком элементов без эмпирического параметра [11]. Следовательно, где — параметр, учитывающий изменение жесткости по длине элемента при четырехточечном изгибе.Следовательно, Intelligent Sensing для инновационных конструкций [12] рекомендовал следующий (8) эффективный момент инерции для балок из армированного стержнем из стеклопластика. Это уравнение добавило дополнительные корректирующие члены в модифицированное уравнение Брэнсона с большим количеством экспериментальных данных. Обозначения введены выше в уравнениях от (1) до (6). Здесь

3. Экспериментальные испытания

3.1. Описание стержня из стеклопластика

Арматурный стержень из стеклопластика, используемый в этом исследовании, представляет собой развитую арматуру, имеющую внешнюю форму, аналогичную обычной стальной арматуре.Он состоит из непрерывных продольных стекловолокон с объемной долей 67% в термореактивной эпоксидной смоле. Был принят типичный процесс пултрузии. Чтобы повысить сопротивление сдвигу при склеивании, на сердечнике из стеклопластика были сформированы ребра из фрезерованного стекловолокна. Для формирования волоконных ребер в процессе отверждения использовалась стальная форма. Ребристая секция стержня из стеклопластика была изготовлена ​​путем смешивания измельченного стекловолокна и эпоксидной смолы в соотношении 1: 1 по весу и отверждена в течение 15 минут при температуре выше 160 ° C. Детали внешней формы стержня из стеклопластика с волоконными ребрами были предоставлены Джу и О [8] (рис. 1 (б)).

(a) Детализация арматурного стержня GFRP
(b) Рисунок поверхности арматурного стержня GFRP
(a) Детализация арматурного стержня GFRP
(b) Рисунок поверхности арматурного стержня GFRP

GFRP стержень, используемый для области растяжения, имел номинальный диаметр 9,53 мм. Испытания на растяжение были проведены с восемью образцами для испытаний в соответствии с ACI 440.3R-04 [13]. Образцы на растяжение были загружены через толстые пластины на закрепленных концах. Использовалась универсальная испытательная машина (УТМ) грузоподъемностью 2000 кН, скорость нагружения составляла 17.8 кН / мин. Среди испытанных образцов максимальная прочность на разрыв составила 871,4 МПа. В таблице 1 приведены значения прочности на разрыв стержня из стеклопластика. Расчетный гарантированный предел прочности на разрыв со стандартным отклонением составил 616,0 МПа. Расчетная прочность на растяжение была рассчитана путем умножения фактора снижения воздействия окружающей среды (0,7, для внешнего воздействия) в соответствии с ACI 440.1R-15 [2], что дало 539,1 МПа. Модуль упругости оказался равным 42,9 ГПа в пределах общего диапазона модуля упругости стержней из стеклопластика.

000000 9339 Средняя прочность на разрыв (МПа) Гарантированная прочность на разрыв (МПа) Гарантированная предельная деформация (%) Расчетная прочность на разрыв (МПа) Расчетная прочность на разрыв Модуль упругости (ГПа) 841,0 ± 23,6 770,2 1,65 539,1 1,16 42,1 42,1 0 9339 0 9339 9339 3 [2]: среднее — 3 стандартных отклонения. Коэффициент снижения воздействия на окружающую среду () применяется равным 0,7, при воздействии земли и погодных условий. 3.2. Испытательная установка Для стержня из стеклопластика обычная конструкция пластичности, используемая для стальных стержней, не подходит из-за отсутствия предела текучести. Три типа ж / б балок с стержнем из стеклопластика были разработаны в соответствии с ACI 440.1R-15 [2]: разрыв из стеклопластика (FB-1), сбалансированный (FB-2) и разрушение при раздавливании бетона (FB-3). Были использованы три различных количества продольного арматурного стержня из стеклопластика: 2D10 для FB-2, 3D10 для FB-3 и 4D10 для FB-4.D указывает номинальный диаметр стержня из стеклопластика. Для уравновешенного FB-2 это можно рассматривать как разрушение FRP с дроблением бетона. Каждый образец состоял из двух одинаковых балок. Испытание на изгиб проводилось четырехточечным изгибом. На Рисунке 2 показаны испытательная установка и подробные сведения об измерениях. Размеры испытательных балок были следующими: ширина 180 мм, глубина 230 мм и длина 2000 мм. Чистый пролет составлял 1600 мм. Предел прочности на сдвиг, который может определять регулируемое поведение изгибной балки, был рассчитан между 3.7 и 3,9; таким образом, балка считалась подверженной изгибу. Чтобы контролировать структурное поведение балки, на нижней поверхности бетона в средней части были установлены линейные переменные дифференциальные трансформаторы (LVDT). Два тензодатчика электрического сопротивления были прикреплены к поверхности центрированного стержня из стеклопластика для FB-2 и внешнего стержня из стеклопластика для FB-1 и FB-3 в средней части. Две нагрузки были автоматически приложены к балке со скоростью 2 кН в минуту с помощью погрузочной машины MTS.Все данные (силы, деформации и отклонения) были собраны автоматизированной системой сбора данных. Для ширины трещины использовалась мера трещины, и ширина трещины исследовалась визуально на отдельном этапе нагружения. Для бетона средняя 28-дневная прочность на сжатие составила 27,0 МПа, а предел прочности при изгибе бетона был приблизительно 2,4 МПа. 3.3. Результаты испытаний на изгиб и их обсуждение Разрушение при изгибе и структура трещин показаны на Рисунке 3.Образцы не выдержали типичного разрушения при изгибе. FB-1 показал растрескивающую нагрузку 12,0 кН. Разрушение было обусловлено разрывом стержней из стеклопластика. Максимальная ширина трещины в средней части была исследована визуально и составила 0,9 мм. Образец FB-2 изначально разрушился из-за раздавливания бетона, а затем окончательно разрушился из-за разрыва стержня из стеклопластика. Следовательно, разрушения показали разрушение при сжатии и растяжении с разрывом стержня из стеклопластика, а максимальная ширина трещины составила 0,7 мм. В случае образца FB-3 он показал обычное разрушение бетона при раздавливании без разрыва стержня из стеклопластика.Максимальная ширина трещины была измерена как 0,4 мм в средней части. Для изгибной способности было обнаружено, что расчетные режимы отказа представляют экспериментальные режимы отказа, и ширина трещины была уменьшена по мере увеличения коэффициента усиления. Трещины в зоне изгиба преимущественно состояли из вертикальных трещин, перпендикулярных направлению максимального главного напряжения, вызванного чистым изгибающим моментом. Трещины возникли в середине пролета, а затем распространились по направлению к опорам. Со временем напряжение сдвига стало более важным и привело к появлению наклонных трещин. При достижении предела прочности трещины при изгибе распространялись по направлению к точкам нагрузки на сжимаемой поверхности балок. Все испытательные балки показали значительные изгибные трещины до того, как наклонные трещины присоединились к изгибным трещинам. Для аналитического подхода относительно номинального момента изгиба, уравнение из ACI 440.1R-15 [2] использовалось с изменяющимся коэффициентом усиления. Когда контролирующим предельным состоянием является разрыв стержня из стеклопластика, и можно рассчитать номинальную прочность на изгиб.На основе равновесия сил и совместимости деформаций можно получить (10). В противном случае, когда расчетная прочность на растяжение () в (10) изменяется на напряжение в FRP () при растяжении (см. (9)). В таблице 2 показаны экспериментально и аналитически полученные значения прочности на изгиб R / C балок с стержнем из стеклопластика. Теоретическая сила момента была оценена и была примерно на 20% ниже, чем сила момента в экспериментальных испытаниях. Это может быть связано с отклонениями из-за небольшого количества образцов для испытаний.Тем не менее, расчетная моментная сила вполне может представлять конструктивную способность в качестве консервативного прогноза. Для жесткости конструкции, определенной путем деления средней нагрузки на средний прогиб при предельной прочности, FB-1, FB-2 и FB-3 показали значения 1,58, 1,65 и 2,78 соответственно. Было обнаружено, что жесткость конструкции увеличивается в соответствии с увеличением степени армирования стержня из стеклопластика: где — номинальная прочность на изгиб (кН · м), — глубина эквивалентного прямоугольного блока напряжений (мм), — напряжение в Бар из стеклопластика при растяжении (МПа), это расчетная прочность на растяжение стержня из стеклопластика (МПа), это расчетный или гарантированный модуль (МПа), это предельная деформация в бетоне (0.003), является эмпирическим фактором, представляет собой заданную прочность бетона на сжатие (МПа), представляет собой коэффициент армирования FRP и является сбалансированным коэффициентом армирования FRP, установленным Комитетом ACI 440 [2]. Образец Коэффициент усиления (сбалансированный) Средняя нагрузка при начальном растрескивании (кН) Средняя нагрузка в конечном состоянии (кН) Средний прогиб в конечном состоянии (мм) Номинальный момент (эксп.) (кН⋅м) Номинальный момент (кал.) (кНм) Вид отказа FB-1 0,00427 (0,0069) 12,0 5400300 34,4 18,6 13,6 Разрыв FRP FB-2 0,0064 (0,0069) 10,0 64,8 39,1 64,8 39,1 Напряжение 93,9 93,9 -3 0.00903 (0,0069) 12,0 74,0 26,6 25,4 21,0 Разрушение бетона Component Существующие модели для расчета эффективного момента инерции В этой статье предлагается полуэмпирическая модель прогнозирования эффективного момента инерции. Модель основана на уравнении Брэнсона, а методология модификации следовала эмпирическому подходу Тутанжи и Саафи [9].Как показано на рисунке 4, на прогиб R / C балки со стержнями из стеклопластика повлияло соотношение армирования стержней из стеклопластика, а также модуль упругости стержня из стеклопластика. Примечательным параметром, отражающим нелинейное поведение R / C балок с стержнем из стеклопластика, эмпирически считается, что он обеспечивает хорошее согласие с экспериментальными испытаниями в этом исследовании (см. (11)). Этот фактор был использован для уменьшения влияния момента инерции трещин для железобетонного элемента, включая более низкий коэффициент усиления и модуль упругости для стержня из стеклопластика.Этот рассматриваемый параметр является коэффициентом аппроксимации кривой. Его концепция была получена эмпирически путем исследования результатов зависимости момент-прогиб из уравнения, которое прокомментировано выше в этом исследовании. На рисунке 6 рассматриваемые уравнения показали жесткую кривую как билинейное поведение вплоть до разрушения испытуемого образца. Однако результат испытания показал нелинейное поведение вплоть до отказа, так что можно было оценить необходимость уменьшения коэффициента для хорошего соответствия кривой экспериментальным результатам.Это привело к уменьшению эффективного момента инерции, так что расчетный прогиб увеличивался в соответствии с увеличением приложенной нагрузки. Рисунок 4 иллюстрирует основную концепцию рассмотрения в предлагаемой модели. Используя, можно немного смягчить жесткость отклонения. Эта аналитическая концепция может быть более подходящей для бетонного элемента, армированного материалом с более низким коэффициентом армирования и модулем упругости: где и — нелинейный параметр. Всего было исследовано шесть кодов и разработанных уравнений для сравнительного исследования момента инерции и отклонения нагрузки в соответствии с экспериментальными испытаниями и моделью, предложенной в этом исследовании. Для этого репрезентативный образец для каждой группы армирования был рассмотрен для сравнительного исследования из-за их сходства с результатами испытаний. Есть некоторые исследования, показывающие, что оценка структурной способности FRP стержневой железобетонной балки с использованием только одного репрезентативного образца для каждой группы армирования была успешно проведена [14, 15].На рисунке 5 показаны результаты сравнительного исследования эффективного момента инерции. Существует заметное расхождение между экспериментом и уравнением, приближающееся к приложенному моменту 5 кН · м. Комитет ACI 440 [6], Toutanji и Saafi [9] и предложенная модель показали лучшее согласие с хорошим нелинейным предсказанием экспериментально полученного эффективного момента инерции после растрескивания бетона. Другие уравнения, например, ACI Committee 440 [2], ISIS Canada [12], Mousavi et al.[10] и Benmokrane et al. [7], показали большие падения полного момента инерции () после растрескивания бетона. Они плохо отражают поведение упрочнения экспериментальных результатов. Две модели прогнозирования, модифицированные на основе уравнения Брэнсона, показали хорошее согласие с экспериментальными результатами, в то время как две другие модели с модифицированными уравнениями Брэнсона показали относительно большие расхождения. Это было вызвано применением эмпирических параметров, таких как степень или постоянные умножения. На рисунке 6 показана кривая момента и прогиба в середине пролета для образца FB-1, который состоял из двух ж / б балок с стержнем из стеклопластика. За исключением Toutanji и Saafi [9], ACI 440 Committee [6] и Benmokrane et al. [7], поведение пластичности было обнаружено после растрескивания. Эти уравнения недооценивают растрескивание образца FB-1, в то время как экспериментальные результаты показывают поведение упрочнения с приложенным моментом. Уравнение Мусави и др. [10] показали самую высокую жесткость при прогнозировании прогиба.Они использовали почти одинаковую постоянную умножения для полного и разорванного моментов инерции; однако мощность была иной, чем у Benmokrane et al. [7]. Это различие может сделать жесткость на изгиб при прогнозе отклонения более расслабленным, чем у Benmokrane et al. [7]. Комитет ACI 440 [6] и Тутанджи и Саафи [9] показали хорошее соответствие поведения отклонения примерно до половины приложенного момента; однако после этапа нагружения эти модели вели себя как линейно-зависимый прогноз прогиба.Таким образом, разница в прогнозе прогиба увеличивалась до конечного момента. Для предложенного уравнения с нелинейным параметром было обнаружено, что оно лучше всего предсказывает поведение отклонения в экспериментальных испытаниях до разрушения. На рисунках 7–10 аналитические кривые силы приложенного момента инерции и момент-прогиб, полученные из шести уравнений и предложенной модели, сравниваются с экспериментальными результатами для образцов FB-2 и FB-3. Тенденции в предсказании прогиба были аналогичны таковому для образца FB-1, где Комитет ACI 440 [6], Toutanji и Saafi [9], и предложенные модели по-прежнему показали лучшее согласие с хорошими нелинейными предсказаниями экспериментальных полученный эффективный момент инерции после растрескивания бетона.Экспериментальные кривые момент-прогиб FB-2 и FB-3 не показали хорошего согласия с аналитическими кривыми, полученными из шести рассмотренных здесь уравнений, но хорошо согласуются с предложенной моделью. Шесть уравнений оценивали реакцию на отклонение момента, которая была линейной по сравнению с фактической реакцией образцов для испытаний после растрескивания до достижения предельной прочности. В отличие от ACI 440.1R-06 [6], Toutanji and Saafi [9] и предложенной модели, другие уравнения не отражали эффект жесткости при растяжении испытательных образцов до примерно половины предела прочности.Причина может заключаться в том, что уравнения оценивают эффективный момент инерции как намного меньший, чем у испытуемого образца до стадии нагружения, а затем они отвечают прогнозом линейного упрочнения до предела прочности. Предложенная модель, однако, хорошо представляла отклик на отклонение от момента, даже с нелинейным поведением, до предела прочности. 5. Сравнительное исследование для проверки предложенной модели Для оценки общности предложенной модели были рассмотрены некоторые из предыдущих результатов испытаний: образец A1 от Aiello и Ombres [16], образец BC2HA от Thériault и Benmokrane [17] ], образец F1 из Pecce et al.[18], серия образцов 1 из Benmokrane et al. [7], а также образцы группы 2 из Al-Salloum et al. [19]. Кроме того, испытанные образцы, FB-1, FB-2 и FB-3, из этого исследования также сравнивались в соответствии с порядком вычисленного значения эквивалентного отношения армирования с отношением модулей,. нормализовал отношение армирования стержня из стеклопластика к свойствам стального стержня и должен быть важным показателем для исследования валидации поведения момента отклонения с помощью предлагаемой модели. Критерии применения могут быть определены для оценки структурного поведения бетонных балок, армированных с различными соотношениями армирования.На рисунке 11 показаны результаты сравнительного исследования с использованием предложенной модели. Результаты показали, что предложенная модель разумно описывает поведение момента отклонения рассматриваемых испытательных образцов, когда он изменялся от 0,00068 до 0,006. Однако предложенная модель показала переоценку, так как она была увеличена, например, до 0,006 для группы 2, так что границы приложения должны быть исследованы дополнительно. Серия FB показала относительно хорошее согласие с экспериментальными испытаниями благодаря эталонным образцам, использованным в этом исследовании. Для других образцов восходящий тренд был хорошо описан экспериментальными результатами, и после появления трещин были обнаружены некоторые расхождения. Есть некоторые влияющие параметры, такие как свойства бетона, размерный эффект и тип стержня для свойства склеивания. В частности, характеристики сцепления стержня из стеклопластика в бетонной балке могут больше зависеть от изгибных нагрузок, чем от одноосной растягивающей нагрузки из-за различной обработки поверхности, включая свойства химической адгезии.Дальнейший точный анализ этого требует экспериментального и аналитического исследования. 6. Выводы В этом исследовании мы провели экспериментальные и аналитические исследования, чтобы оценить изгибную способность и соотношение момент-прогиб бетонных балок, армированных стержнями из стеклопластика. Предлагаемая модель, предложенная для эффективного момента инерции R / C балок с стержнем из стеклопластика, могла бы разумно описать соотношение момент-отклонение. Сделанные выводы заключаются в следующем: (i) Это исследование предложило новое уравнение для эффективного момента инерции для бетонных балок, армированных стержнями из стеклопластика.Новое уравнение было модифицировано из уравнения Брэнсона, которое давно используется в этой области инженерами-строителями. Мощность была изменена на основе уравнения Тутанджи и Саафи [9], а также введен нелинейный параметр. Этот фактор использовался для уменьшения влияния момента инерции трещин для бетонного элемента, армированного с более низким коэффициентом армирования и материала с более низким модулем упругости. Для сравнения с экспериментальными испытаниями были спроектированы и испытаны три типа ж / б балок с стержнем из стеклопластика.Была оценена предсказуемость предложенной модели. (Ii) В сравнительном исследовании использовались шесть уравнений и предложенная модель для расчета эффективного момента инерции и зависимости приложенного момента, и было обнаружено, что уравнения ACI 440.1R-06 [6], Toutanji и Саафи [9], и предложенные модели показали лучшее согласие с экспериментальными результатами. Остальные три уравнения значительно занижали момент инерции сразу после растрескивания бетона. На основе этого результата было подтверждено, что эмпирическая модификация, основанная на уравнении Брэнсона, действительна для прогнозирования эффективного момента инерции и приложенного момента балок R / C с стержнем из стеклопластика.(iii) Для предсказания прогиба в экспериментальных испытаниях предложенная модель показала лучшую предсказуемость среди рассмотренных уравнений. Новая модель показала лучшее соответствие с поведением прогиба балки из армированного стеклопластиком бетона до предела прочности, даже в отношении нелинейного поведения. Чтобы оценить универсальность предложенной модели, было проведено сравнительное исследование с использованием результатов предыдущих испытаний, а также результатов этого исследования в отношении отношения момент-отклонение.Для дальнейшего изучения, в отношении разницы в свойствах сцепления стержней из стеклопластика, предложенная модель могла бы разумно описать соотношение момент-прогиб для результатов испытаний, рассмотренных в предыдущих исследованиях, и результатов испытаний в этом исследовании. (Iv) Это исследование подтвердило предсказуемость предложенной модели по эффективному моменту инерции. Было обнаружено, что применима методология модификации с эмпирическим подходом. Что касается будущих исследований, важно провести сравнительное исследование с различными коэффициентами армирования, связующими свойствами стержней из стеклопластика и размерными эффектами бетонных балок. Конкурирующие интересы Авторы заявляют, что у них нет конкурирующих интересов. Благодарности Эта работа была поддержана грантом (2015R1A2A2A01005286) Национального исследовательского фонда Кореи (NRF) и грантом (16CTAP-C117247-01) программы НИОКР Министерства земли, инфраструктуры и транспорта Правительство Кореи. Напряжение балки из-за изгибающих моментов — Приложение по прочности материалов для энергетики Напряжение изгиба Цели обучения После завершения этой главы вы сможете: Используйте формулу изгиба для расчета максимального напряжения изгиба Расчетные балки, безопасно несущие нагрузки Определите требуемый модуль упругости сечения балки Выберите стандартные конструктивные формы для использования в данной задаче балки Рассмотрим балку с простой опорой, подверженную внешним нагрузкам, направленным вниз.Балка будет деформироваться (отклоняться) таким образом, что верхняя поверхность поперечного сечения балки будет испытывать сжатие, а нижняя поверхность — растяжение. В некотором месте вдоль вертикальной оси балки напряжение будет нулевым; это место является центром тяжести поперечного сечения, также называемым нейтральной осью. Формула изгиба Для определения максимального напряжения из-за изгиба используется формула изгиба : где: σ max — максимальное напряжение на самой удаленной от нейтральной оси поверхности (может быть верхней или нижней) M — изгибающий момент по длине балки, на которой рассчитывается напряжение если требуется максимальное изгибающее напряжение, то M — максимальный изгибающий момент, действующий на балку I x — момент инерции относительно центральной оси x (горизонтальной) c — максимальное расстояние от центральной оси до крайнего волокна (опять же, это может быть верх или низ формы) Z x называется модулем сечения и представляет собой термин, который объединяет момент инерции и расстояние до крайнего волокна ( Z x = I x / c ) Формула изгиба действительна при соблюдении следующих критериев: балка прямая, относительно длинная и узкая, с равномерным поперечным сечением все нагрузки действуют перпендикулярно продольной оси балки результирующее напряжение ниже предела пропорциональности материала материал балки однороден и имеет равную прочность на растяжение и сжатие. если материал имеет разную прочность на растяжение и сжатие (например, чугун или другие анизотропные материалы), то требуются отдельные расчеты как для поверхностей растяжения, так и для поверхностей сжатия нет скручивания, коробления или деформации Дизайнерские шкафы Проблемы проектирования могут возникать по разным сценариям: рассчитать размеры поперечного сечения балки (найти минимальный модуль сечения Z и выбрать стандартную форму с большей жесткостью) с учетом геометрии балки, нагрузки и материала. выберите материал балки (найдите максимальное рабочее напряжение и выберите материал большей прочности) с учетом размеров балки, нагрузки и размеров / формы. определяет, является ли балка безопасной (найдите фактическое рабочее напряжение и сравните с расчетным напряжением), учитывая размеры балки, нагрузку и материал. Назначенные проблемы Примечание: если не указано иное, используйте конструкцию = 0,6 × σ YS, , где σ YS — предел текучести, из учебного приложения B. Задача 1: Балка без опоры длиной 9,9 м нагружается сосредоточенными нагрузками следующим образом: 40 кН на расстоянии 1,2 м от левого края 10 кН на расстоянии 3,7 м от левого края 10 кН на расстоянии 6,2 м от левого края 10 кН на расстоянии 8,7 м от левого края Балка изготовлена ​​из двутаврового профиля W200 × 100 из холоднокатаного материала AISI-1020. AISC рекомендует, чтобы максимальное напряжение изгиба для строительных конструкций при статических нагрузках было ниже 0.66 × S y . Соответствует ли эта конструкция проектным требованиям? Проблема 2: Трубопровод просто поддерживается над землей на горизонтальных балках длиной 4,5 м. Каждая балка несет вес 20 м трубы Sch 40 DN-600 (см. PanGlobal Academic Extract), заполненной маслом 0,9 SG . Предполагая, что нагрузка действует в центре балки, рассчитайте необходимый модуль упругости балки, чтобы ограничить изгибающее напряжение до 140 МПа; затем выберите самый легкий W-луч SI, который удовлетворяет критериям. Задача 3: На рисунке показано поперечное сечение балки, изготовленной из алюминия 6061-T6. Балка используется как консоль длиной 45 дюймов. Вычислите максимально допустимую равномерно распределенную нагрузку, которую он может выдержать при ограничении напряжения из-за изгиба до одной пятой от предельной прочности. Проблема 4: Спроектируйте проход, который будет перекрывать только что проложенный трубопровод на вашем предприятии. Жесткие опоры доступны с каждой стороны трубопровода на расстоянии 14 футов друг от друга.Тротуар должен иметь ширину 3,5 фута и выдерживать равномерно распределенную нагрузку в 60 фунтов / фут 2 по всей своей поверхности. Проектируйте только доски настила и боковые балки. Используйте древесину любых размеров и сортов материала из Приложения E к учебнику или других материалов вашей собственной разработки. Задача 5: Предложите одну проблему конструкции балки, которую вы сочтете актуальной и полезной для инженеров-энергетиков. About Author alexxlab Добавить комментарий Отменить ответ Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены * Комментарий * Имя * Email * Сайт