Прогиб балки: Основы сопромата, расчет прогиба балки

Основы сопромата, расчет прогиба балки

Cодержание:

Основы сопромата кратко.

1. Виды опор.

1.1. Шарнирные опоры.

Расчетная длина (пролет) балки.

1.2. Опорные связи шарнирно закрепленной балки.

1.3 Жесткое защемление на опорах.

1.4. Скользящие заделки.

2. Нагрузки (внешние силы).

3. Напряжения (внутренние силы).

4. Реакции опор.

5. Уравнения статического равновесия.

4.1. Определение опорных реакций.

6. Уравнения изгибающего момента.

7. Балка на двух шарнирных опорах.

8. Консольная балка.

9. Метод сечений.

10. Определение момента сопротивления.

11. Определение угла поворота.

12. Определение прогиба.

13. Определение угла поворота через прогиб.

14. Список использованной литературы.

Расчет прогиба балки не то, чтобы такой уж сложный, но для того, чтобы каждый раз не повторять одни и те же операции при расчете и этим максимально сократить время расчета, специалисты по сопромату уже давно вывели формулы для наиболее вероятных вариантов опор балок и нагрузок, действующих на балки.

Достаточно только определиться с расчетной моделью балки и формула для расчета прогиба к Вашим услугам. Но аксиомы: «если хочешь, чтобы работа была сделана хорошо, сделай это сам» пока никто не отменял. Дело в том, что в разного рода справочниках и пособиях иногда бывают опечатки или ошибки, поэтому использовать готовые формулы не всегда есть хорошо.

11. Определение угла поворота.

(вернуться к основному содержанию)

Прогиб строительной конструкции, а в нашем случае балки — единственная величина, которую проще всего определить опытным путем и сложнее всего теоретическим. Когда мы прикладывали к линейке нагрузку (давили на нее пальцем или мощью своего интеллекта), то невооруженным глазом видели, что линейка прогибалась:

Рисунок 11.1. Перемещение центра тяжести поперечного сечения балки в центре балки и угол поворота продольной оси, проходящей через центр тяжести поперечного сечения, на одной из опор.

Если бы мы хотели определить величину прогиба опытным путем, то достаточно было бы измерить расстояние от стола, на котором лежат книги (на рисунке не показан) до верха или низа линейки, затем приложить нагрузку и измерить расстояние от стола до верха или низа линейки. Разница в расстояниях — это и есть искомый прогиб (на фотографии величина прогиба обозначена оранжевой линией):

Фотография 1.

Но попробуем прийти к тому же результату, следуя по тернистому пути теории сопромата.

Так как балка прогнулась (в хорошем значении этого слова), получается, что и продольная ось, проходящая через центры тяжести поперечных сечений всех точек балки, и до приложения нагрузки совпадавшая с осью

х, сместилась. Это смещение центра тяжести поперечного сечения по оси у называется прогибом балки f. Кроме того, очевидно, что на опоре эта самая продольная ось теперь находится под некоторым углом θ к оси х, а в точке действия сосредоточенной нагрузки угол поворота = 0, так как нагрузка у нас приложена посредине и балка прогнулась симметрично. Угол поворота принято обозначать «θ«, а прогиб «f» (во многих справочниках по сопромату прогиб обозначается как «ν«, «w» или любыми другими литерами, но нам, как практикам, удобнее использовать обозначение «
f
«, принятое в СНиПах).

Как определить этот самый прогиб мы пока не знаем, но зато мы знаем, что нагрузка, действуя на балку, создает изгибающий момент. А изгибающий момент создает внутренние нормальные сжимающие и растягивающие напряжения в поперечных сечениях балки. Эти самые внутренние напряжения приводят к тому, что в верхней части балка сжимается, а в нижней растягивается, при этом длина балки по оси, проходящей через центры тяжести поперечных сечений остается такой же, в верхней части длина балки уменьшается, а в нижней части увеличивается, причем чем дальше расположены точки поперечных сечений от продольной оси, тем больше будет деформация. Определить эту самую деформацию мы можем используя еще одну характеристику материала — модуль упругости.

Если мы возьмем кусок бинтовой резины и попробуем его растянуть, то обнаружим, что резина растягивается очень легко, а выражаясь по научному деформируется на значительную величину при воздействии даже небольшой нагрузки. Если мы попробуем проделать то же самое с нашей линейкой, то растянуть ее даже на десятые доли миллиметра руками вряд ли получится, даже если прилагать к линейке нагрузку в десятки раз большую, чем к бинтовой резине. Это свойство любого материала описывается модулем Юнга, который часто называется просто модулем упругости. Физический смысл модуля Юнга при максимально допустимом загружении рассчитываемой конструкции примерно следующий: модуль Юнга показывает отношение нормальных напряжений, (которые при максимально допустимом загружении равны расчетному сопротивлению материала к относительной деформации при таком загружении:

E = R/Δ (11.1.1)

а это значит, что для работы материала в области упругих деформаций значение внутренних нормальных напряжений, действующих не абстрактно, а на вполне определенную площадь сечения, с учетом относительной деформации не должно превышать значения модуля упругости:

E ≥ N/ΔS (11. 1.2)

в нашем случае балка имеет прямоугольное сечение, поэтому S = b·h, где b — ширина балки, h — высота балки.

Измеряется модуль Юнга в Паскалях или кгс/м2. Для абсолютного большинства строительных материалов модули упругости определены эмпирическим путем, узнать значение модуля для того или иного материала можно по справочнику или сводной таблице.

Определить величину деформации для поперечного сечения, к которому приложена равномерно распределенная нагрузка или сосредоточенная сила в центре тяжести поперечного сечения, очень просто. В таком сечении возникают нормальные сжимающие или растягивающие напряжения, равные по значению действующей силе, направленные противоположно и постоянные по всей высоте балки (согласно одной из аксиом теоретической механики):

Рисунок 507.10.1

и тогда определить относительную деформацию, если известны геометрические параметры балки (длина, ширина и высота) несложно, простейшие математические преобразования формулы (11. 1.2) дают следующий результат:

Δ = Q/(S·Е) (11.2.1) или Δ = q·h/(S·Е) (11.2.2)

Так как расчетное сопротивление показывает какую максимальную нагрузку можно приложить к определенной площади, то в данном случае мы можем рассматривать действие сосредоточенной нагрузки на всю площадь сечения нашей конструкции. В некоторых случаях важно определить деформации именно в точке приложения сосредоточенной нагрузки, но сейчас мы эти случаи не рассматриваем. Чтобы определить суммарную деформацию, нужно обе части уравнения умножить на длину балки:

Δl = Q·l/(b·h·Е) (11.2.3) или Δl = q·h·l/(b·h·Е) (11.2.4)

Но в рассматриваемом нами случае на поперечные сечения балки действует не сосредоточенная сила, приложенная к центру тяжести поперечного сечения, а изгибающий момент, который можно представить в виде следующей нагрузки:

Рисунок 149. 8.3 

При такой нагрузке максимальные внутренние напряжения и соответственно максимальные деформации будут происходить в самой верхней и в самой нижней части балки, а посредине никаких деформаций не будет. Равнодействующую для такой распределенной нагрузки и плечо действия сосредоточенной силы мы находили в предыдущей части (2), когда определяли момент сопротивления балки. Поэтому теперь без особого труда можем определить суммарную деформацию в самой верхней и в самой нижней части балки:

Δх = M·х/((h/3)·b·(h/2)·Е) (11.3.1)

или

Δх = M·х/(W·Е) (11.3.2)

так как W = b·h2/6 (10.6)

Эту же формулу мы можем получить и другим способом. Как мы знаем, момент сопротивления поперечного сечения балки должен удовлетворять следующему условию:

W ≥ М / R (10.3)

Если мы будем рассматривать эту зависимость как уравнение и заменим в этом уравнении значение R на ΔЕ, получим следующее уравнение:

W = М / ΔЕ (11. 4.1)

И тогда:

М = WΔЕ (11.4.2) a Δ = M/(W·Е) (11.4.5) и соответственно Δх = M·х/(W·Е) (11.3.2)

В результате деформации, которую мы только что определили, наша балка могла была бы выглядеть так:

Рисунок 11.2. Предполагаемая (для наглядности) деформация балки

то есть в результате деформаций самая верхняя и самая нижняя точки поперечного сечения сместятся на величину Δх. А это значит, что зная величину деформации и высоту балки, мы можем определить угол поворота θ поперечного сечения на опоре балки. Из школьного курса геометрии мы знаем, что отношение катетов прямоугольного треугольника (в нашем случае катеты Δх и h/2) равно тангенсу угла θ:

tgφ = Δх/(h/2) (11.5.1)

и тогда

tgφ = 2 M·х/(h·W·Е) (11.5.3)

Если вспомнить, что момент инерции — это момент сопротивления поперечного сечения, умноженный на расстояние от центра тяжести до крайней точки сечения или наоборот, момент сопротивления — это момент инерции, разделенный на расстояние от центра тяжести до крайней точки сечения:

W = I/(h/2) (10. 7) или I = W·h/2 (10.7.2)

то мы можем заменить момент сопротивления на момент инерции:

tgφ = M·х/(I·Е) (11.5.4)

хотя делать это было не обязательно, но таким образом мы получили формулу угла поворота почти такой, как она дается во всех учебниках и справочниках по сопромату. Главное отличие в том, что обычно речь идет о угле поворота, а не о тангенсе угла. И хотя при малых деформациях значения тангенса угла и угол сопоставимы, но тем не менее угол и тангенс угла — это разные вещи (впрочем в некоторых справочниках, например: Фесик С.П. «Справочник по сопротивлению материалов» Киев: Будiвельник. — 1982 переход от тангенса к углу упоминается, хотя и без достаточных на мой взгляд объяснений). Более того, если быть совсем уж точным, то таким способом мы определяем отношение продольной деформации к высоте балки

Рассчитываемые элементы далеко не всегда имеют прямоугольное сечение, как наша рассматриваемая линейка. В качестве балок и перемычек могут использоваться различные горячекатаные профили, тесанные и не тесанные бревна и вообще все, что угодно. Тем не менее понимание принципов расчета момента инерции позволяет определить момент инерции для поперечного сечения любой, даже очень сложной геометрической формы. В абсолютном большинстве случаев вычислять самому момент инерции нет необходимости, для металлических профилей сложного сечения (уголки, швеллера, двутавры и др.) момент инерции, как впрочем и момент сопротивления определяется по сортаменту. Для элементов круглого овального, треугольного сечения и некоторых других видов сечения определить момент инерции можно по соответствующей таблице.

Если рассматривать суммарную деформацию всей балки, т.е. по всей длине l, то очевидно, что суммарная деформация при наших нагрузках не может быть только с одной стороны балки, как показано на рисунке 11.3.а:

Рисунок 11. 3.

Так как к нашей балке нагрузка приложена посредине, в результате чего реакции на опорах, возникающие в результате действия нагрузки равны между собой и каждая равна половине приложенной нагрузки, то скорее при этих условиях суммарная деформация будет выглядеть так, как показано на рисунке 11.3.b и тогда в нашем конкретном случае угол наклона поперечного сечения на каждой из опор будет:

tgθ = M·х/(2IЕ) (11.5.5)

Пока мы определяли тангенс угла поворота простым графоаналитическим методом и в случае, когда нагрузка к балке приложена посредине, это у нас неплохо получилось. Но варианты приложения нагрузок к балке бывают всякие и хотя суммарная деформация всегда будет равна Δl, но угол наклона поперечных сечений на опорах может быть разным. Если мы присмотримся к формулам (11.5.4) и (11.5.5) повнимательнее, то увидим, что мы умножаем значение момента в некоторой точке на величину х, которая с точки зрения теоретической механики ни чем не отличается от понятия — «плечо действия силы». Получается, что для определения тангенса угла поворота мы должны умножить значение момента на плечо действия момента, и значит, понятие «плечо» можно применить не только к силе, но и к моменту. Когда мы использовали понятие плеча действия силы, открытое еще Архимедом, то мы и предполагали как далеко это может нас завести. Метод, показанный на рисунке 5.3, дал нам значение плеча момента = х/2. Теперь попробуем определить плечо момента другим способом (графоаналитический метод). Тут нам пригодятся эпюры, построенные для балки на шарнирных опорах:

               

          Рисунок 149.7.1                                                             Рисунок 149.7.2

Теория сопротивления материалов позволяет рассматривать внутренние нормальные напряжения, характеризуемые эпюрой «М» рисунка 149.7.1 для балки с постоянной жесткостью, как некую внешнюю фиктивную нагрузку. Тогда площадь эпюры «М» от начала балки до середины пролета — это фиктивная опорная реакция материала балки на равномерно изменяющуюся нагрузку. А фиктивный изгибающий момент — это площадь эпюры «М», умноженная на расстояние от центра тяжести эпюры «М» до рассматриваемой точки. Так как значение изгибающего момента посредине пролета составляет Ql/4, то площадь такой фигуры составит Ql/4(l/2)(1/2) = Ql2/16. А если это значение разделить на жесткость ЕI, то мы получим значение тангенса угла поворота.

Забегая наперед, определим значение прогиба. Расстояние от центра тяжести треугольной эпюры «М» до середины пролета равно l/6, тогда фиктивный изгибающий момент составит (Ql2/16)l/2 — (Ql2/16)l/6 = Ql3/48. Тогда прогиб f = Ql3/48EI. А так как эпюра моментов у нас расположена снизу балки, то такая фиктивная нагрузка будет в итоге давать отрицательное значение угла поворота и прогиба, что в общем-то логично, так как при таком действии нагрузки прогиб — смещение центра тяжести поперечного сечения будет происходить вниз по оси у.

Примечание: как и с эпюрой моментов, тут есть особенность. Когда эпюра моментов и эпюра прогиба находятся ниже оси балки, то и момент и прогиб считаются положительными. И наоборот, когда эпюра моментов и эпюра прогиба находятся выше оси балки, то и момент и прогиб считаются отрицательными. Для инженеров-строителей это настолько привычно, что они даже не представляют, что может быть по-другому.

Характерная особенность графоаналитического метода состоит в том, что количество вычислений можно еще сократить. Для этого нужно умножить площадь эпюры фиктивной нагрузки на расстояние от центра тяжести эпюры до начала координат, а не до рассматриваемой точки на оси. Например, для вышеприведенного случая (Ql2/16)l/3 = Ql3/48

При равномерно распределенной нагрузке эпюра моментов описывается квадратичной параболой, определить площадь такой фигуры и расстояние до центра тяжести сложнее, но для того нам и нужны знания по геометрии, чтобы можно было определить площадь любой фигуры и положение центра тяжести такой фигуры. Впрочем, можно воспользоваться и готовыми формулами.

Таким образом получается, что для балки, на которую действует сосредоточенная нагрузка в середине балки при х=l/2:

tgθ = М·(x/2)/(ЕI) = ((Ql/4)·(l/4))/(ЕI) = Ql2/(16EI) (11.6.1)

То, что мы только что делали называется интегрированием, ведь если умножить значение значение эпюры «Q» (рисунок 149.7.1) на длину действия нагрузки, мы тем самым определим площадь прямоугольника со сторонами «Q» и х, при этом площадь данного прямоугольника равняется значению эпюры «М» в точке х.

Теоретически получается, что мы можем определить значение тангенса угла поворота, интегрируя одно из уравнений моментов, составленных для нашей балки. Максимальное значение тангенса угла поворота для балки на двух шарнирных опорах, на которую действует сосредоточенная нагрузка посредине (рисунок 149.7.1), будет при х=l/2

tgθ = ∫Mdx/(EI) = ∫Axdx/(EI)= Ax2/(2EI) = (Q/2)·(l/2)2/(2ЕI) = Ql2/(16EI) (11. 6.2)

где А — это реакция опоры = Q/2

При распределенной нагрузке интегрирование уравнения моментов: q(l/2)·x — qx2/2 для левой части балки дает следующий результат:

tgθ = ∫Mdx/(EI) = q·(l/2)·(l/2)2/(2ЕI) -q·(l/2)3/(6ЕI) = ql3/(24EI) (11.6.3)

Тот же результат мы получим и при использовании графо-аналитического метода.

Примечание: конечно же все это применимо в чистом виде только в частном случае — для симметричных нагрузок.

Когда мы определяли угол поворота, то для наглядности предположили, что балка деформировалась так, как показано на рисунке 5.2, потом так, как показано на рисунке 11.3.b, потом мы выяснили, что если бы второй опоры не было, то балка повернулась вокруг первой опоры, но в действительности вторая опора есть и потому так балка деформироваться (при нашей нагрузке на балку) не может. Так как на опоре нет никакого вращающего момента и соответственно никаких внутренних напряжений, способных изменить геометрическую форму балки, то геометрическая форма балки на опоре остается неизменной, а внутренние напряжения, увеличивающиеся по ходу балки, деформируют балку все сильнее и это приводит к тому, что балка поворачивается вокруг шарнирных опор и этот угол поворота равен углу наклона поперечного сечения θ (так как мы рассматриваем балку-параллелепипед):

Рисунок 11.4. Реальная деформация балки.

 

Если мы просто постоим эпюру углов поворота для балки со сосредоточенной нагрузкой посредине по уравнениям для левой и для правой части балки, то эпюра будет выглядеть так:

Рисунок 11.5.

Данная эпюра была бы правильной только для балки, изображенной на рисунке 5.3.а. Очевидно, что в нашем случае эпюра так выглядеть не может и для построения правильной эпюры нужно учесть, что поперечные сечения балки имеют наклон на обоих опорах, причем наклон этот одинаковый по значению, но разный по направлению а наклон поперечного сечения балки посредине =0. Если мы опустим эпюру на Ql2/16EI, которое мы получаем при интегрировании уравнения моментов для левой части балки и которое показывает угол наклона поперечного сечения именно на опоре, то получим эпюру следующего вида:

Рисунок 11.6.

Данная эпюра абсолютно точно показывает, изменение угла поворота поперечных сечений, вдоль всей балки, а значение тангенса угла поворота на левой опоре балки не что иное, как некая постоянная С1, которую мы получаем, если интегрирование выполнять корректно. И тогда уравнение угла поворота для балки при данной нагрузке на участке 0<x<0.5l будет выглядеть так:

tgθх = — tgθA + Ax2/(2EI) (11.6.5)

Эпюра углов поворота для балки с распределенной нагрузкой визуально ни чем не отличается от эпюры углов поворота для балки со сосредоточенной нагрузкой, разница только в том, что эпюра углов поворота для балки с распределенной нагрузкой — это кубическая парабола. Уравнение угла поворота для балки с равномерно распределенной нагрузкой будет выглядеть так:

tgθх = — tgθA + Ax2/(2EI) — qx3/(6ЕI) (11.6.6)

По поводу знаков в данном уравнении. «-» означает, что рассматриваемый член уравнения как бы пытается повернуть балку против часовой стрелки относительно рассматриваемого поперечного сечения, а «+» — по часовой стрелке. Впрочем и по эпюре углов поворота видно, что значение tgθА должно быть отрицательным. Таким образом, если сечение имеет наклон по часовой стрелке относительно оси х, то оно будет отрицательным, а если против часовой стрелки — то положительным.

 

Ну и теперь самое главное, все эти разборки с углом поворота поперечного сечения нужны нам были для того, чтобы определить прогиб балки.

12. Определение прогиба.

(вернуться к основному содержанию)

Как мы видим из рисунка 11. 4, треугольник с катетами h/2 и Δх является подобным треугольнику с катетом Х и вторым катетом, равным f+у, а это значит, что теперь мы можем определить значение прогиба:

tgθ = (f + y)/Х (12.1)

тогда

f + y = tgθ·X (12.2.1) или f + y = М·x·Х/(2ЕI) (12.2)

при малых значениях х значение у близко к 0, но в более дальних точках сечения значение у увеличивается. Значение у — это и есть влияние на величину прогиба наличия второй опоры. Отметим, что это значение у показывает разницу между реальным наклоном продольной оси балки и наклоном продольной оси балки, если бы балка просто поворачивалась вокруг опоры, и получается, что значение у зависит от изменения угла поворота. Кроме того, мы опять получили уравнение, в котором значение прогиба в некоторой точке зависит от тангенса угла поворота (12. 2.1) и таким образом получается, что у угла поворота тоже есть «плечо действия». Например при у=f/2 (если присмотреться к левой части фотографии 1, то посредине балки это где-то так и будет) мы бы получили следующую формулу для определения прогиба:

f = М·x2/(3ЕI) (12.3.1)

Но мы не будем ничего предполагать, а воспользуемся интегрированием. Если мы проинтегрируем уравнение моментов для левой части балки, то получим значение у (эпюра для у показана бирюзовым цветом на фотографии 1):

у =∫∫∫(Q/2)dх = (Q/2)·(l/2)3/6EI = Ql3/(96EI) (12.3.2)

или площадь фиолетовой эпюры для левой части балки(рисунок 5.5), но нам нужна площадь голубой эпюры на левом участке балки (рисунок 5.6), которая в 2 раза больше площади фиолетовой эпюры. Таким образом:

f =2∫∫∫(Q/2)dх =2 (Q/2)·(l/2)3/6EI = Ql3/(48EI) (12.3.3)

Почему площадь голубой эпюры в 2 раза больше площади фиолетовой эпюры, объяснить очень легко. Площадь треугольника равна 1/2 от площади прямоугольника с теми же сторонами, площадь фигуры, описанной квадратной параболой, составляет 1/3 от площади прямоугольника с теми же сторонами. Если бы мы развернули фиолетовую эпюру, то получили бы прямоугольник, образованный голубой и фиолетовой эпюрами. Соответственно, если из площади прямоугольника вычесть 1/3, то мы получим 2/3. У этого логического ряда есть продолжение — площадь фигуры, описанной кубической параболой, составляет 1/4 от площади прямоугольника с теми же сторонами и так далее.

Мы можем найти значение прогиба и другим способом. Из рисунка 11.4 и формул (12.2) следует, что:

fх = — tgθx + ∫tgθdx (12.3.4)

fl/2 = — (Ql2/16EI) l/2 + (Ql3/96EI) = -(Ql3/48EI) (12.3.5)

В данном случае знак «-» показывает, что центр поперечного сечения балки переместится вниз по оси у относительно оси х. А теперь вернемся к фотографии 1. Под продольной осью балки изображена эпюра у, именно это значение в точке l/2 мы и вычли, решая уравнение (12.3.3).  Кроме того получается, что соотношение между f и у зависит от коэффициента предыдущего интегрирования, т.е. у = kf или f = y/k. Когда мы интегрировали уравнение сил, то получили коэффициент 1/2. Впрочем, такое же значение мы получили и тогда, когда определяли плечо действия момента. Если продолжить этот логический ряд, то получается, что при определении прогиба от распределенной нагрузки мы должны использовать коэффициент 1/3, то есть прогиб в середине балки мы можем вычислить по следующей формуле:

f= 2∫∫∫(ql/2)dx — 3∫∫∫∫qdх = (2(qlx3/6) — 3(qx4/24))/EI = 5ql4/(384EI) (12.4.4)

или

fх= — ∫tgθdx + ∫∫∫(ql/2)dx -∫∫∫∫qdх (12. 4.5)

fl/2 = (- ql3x/24 + (qlx3/6) — (qx4/24))/EI = — 5ql4/(384EI) (12.4.6)

В данном случае знак «-» означает, что центр тяжести поперечного сечения перемещается вниз по оси у.

Примечание: Предложенный метод определения прогиба несколько отличается от общепринятых, так как я старался сделать основной упор на наглядность.

Если определять прогиб графоаналитическим методом, то площадь фиктивной нагрузки — эпюры моментов, описываемой квадратной параболой, будет составлять (согласно таблице 378.1) (2ql2/(8·3))l/2 = ql3/24. А расстояние от центра тяжести эпюры до начала координат составляет 5/8, Тогда фиктивный момент равен (ql3/24)(5l/(8·2)) = 5ql4/384.

Конечно же, сосредоточенная нагрузка к балке может быть приложена и не посредине, распределенная нагрузка может быть не только равномерно распределенной и действовать не по всей длине балки, да и варианты крепления балки на опорах бывают разные. Но для того и существуют готовые формулы, чтобы ими пользоваться.

-Позвольте! — Скажете вы, — Все это хорошо, но как быть с касательными напряжениями? Ведь они действуют вдоль оси у и потому должны как-то влиять на прогиб!

Все верно. Касательные напряжения действительно влияют на прогиб, однако для балок с соотношением l/h > 10 это влияние очень незначительно и потому допустимо для определения прогиба пользоваться изложенным в данной статье методом.

Но это еще не все, как мы уже говорили, определить значение прогиба опытным путем достаточно просто по методу, описанному в самом начале статьи. Так так ничего лучшего под рукой не было, то я взял деревянную линейку, прообраз которой я так долго описывал (см. фотографию 1). Деревянная линейка имела размеры около 91.5 см, ширину b=4.96 см и высоту h=0.32 cм (высоту и ширину определял штангенциркулем). Затем я положил линейку на опоры, при этом расстояние между опорами составило около 90 см и таким образом получил балку с пролетом l=90 см. Под воздействием собственного веса линейка конечно же немного прогнулась, но столь малый прогиб меня не интересовал. Я измерил рулеткой (точность до 1 мм) расстояние от пола до низа линейки (77.65 см), затем приложил посредине условно сосредоточенную нагрузку (поместил посредине мерный стакан весом около 52 грамм с 250 граммами воды) и измерил расстояние от пола до низа линейки при нагрузке (75.5 см). Разница этих двух измерений и составила искомый прогиб. Таким образом величина прогиба определенного опытным путем составила 77.65 — 75.5 = 2.15 см. Осталось только найти модуль упругости для древесины, определить момент инерции для данного сечения и точно посчитать нагрузку. Модуль упругости Е для древесины = 105 кгс/см2, момент инерции прямоугольного сечения Iz = bh3/12 = 4.98·0.323/12 = 0.01359872 см4, полная нагрузка — 0.302 кг.

Расчет прогиба по формуле дал: f = Ql3/(48EI) = 0.302·903/(48·105·0. 0136) = 3.37 см. Напомню, что прогиб, определенный опытным путем, составил: f = 2.15 см. Возможно следовало учесть влияние на прогиб первой производной функции — тангенса угла поворота? Ведь угол наклона, судя по фотографии, достаточно большой.

Проверяем: tgθ = Ql2/(16EI) = 0.302·902/(16·105·0.0136) = 0.11233. Тогда согласно формулы (542.12) f = 3.37/((1 + 0.1122)3/2) = 3.307 см. Т.е. влияние конечно есть, но оно не превышает 2% или 0.63 мм. 

Результат меня сначала удивил, но потом объяснений для такого расхождения нашлось несколько, в частности в середине поперечное сечение линейки было не прямоугольным, так как линейка была деформирована от времени и воздействия воды, соответственно момент инерции для такого сечения больше чем, для прямоугольного, кроме того, линейка изготовлена не из сосны, а из более твердой породы древесины, для которой и модуль упругости следует принимать больше. Да и с научной точки зрения одного результата совершенно недостаточно, чтобы говорить о каких-либо закономерностях. После этого я проверил величину прогиба для деревянного бруска с моментом инерции I=2.02 см4, длиной более 2 м при пролете 2 м под нагрузкой 2 кг, приложенной посредине бруска и тогда значение прогиба, определенного теоретическим путем и опытным путем, совпало до десятых долей миллиметра. Конечно, можно было бы и дальше продолжать эксперименты, но так уж получилось, что до меня это уже сделали сотни других людей и получили на практике результаты, очень близкие к теоретическим. А если еще учесть, что идеально изотропные материалы бывают только в теории, то это очень хорошие результаты.

13. Определение угла поворота через прогиб.

(вернуться к основному содержанию)

Определить значение угла поворота для шарнирно опертой балки, на которую действует только изгибающий момент M на одной из опор, например на опоре А, казалось бы, проще простого:

tgθх = — tgθA + Мx/(EI) — Аx2/(2ЕI) (13. 1.1)

где А = М/l, (B = — M/l), но для этого нужно знать угол поворота на опоре А, а мы его не знаем, однако вычислить его помогает понимание того, что прогиб на опорах будет равен нулю и тогда:

fA = tgθBl — Bl3/(6EI) = 0; tgθB = — Ml3/(6l2EI) = — Ml/(6EI) (13.1.2)

fB = tgθAl + Ml2/(2EI)- Al3/(6EI) = 0; tgθA = — Ml/(3EI) (13.1.3)

Как видим, угол поворота на опоре к которой приложен изгибающий момент, в два раза больше угла поворота на противоположной опоре, это очень важная закономерность, которая в дальнейшем нам очень пригодится.

Когда сосредоточенная нагрузка к балке приложена не по центру тяжести или распределенная нагрузка является неравномерной, то углы поворота на опорах определяются через прогиб, как в вышеприведенном примере. Другими словами — значения начальных параметров определяются в ходе решения дифференциальных уравнений.

Расчет балки на прогиб: формулы и пример расчета

Проектируя современные постройки, специалисты придерживаются всех правил и установленных норм в строительстве. Важнее всего сделать расчет балки на прогиб, а так же расстояние между лагами пола, поскольку эти показатели являются важным для прочности и надежности всей конструкции.

С помощью балок строится важная часть дома – потолокИсточник pol-exp.com

Виды балок

Независимо от того, какой должна быть конструкция, материал для изготовления балок выбирают прочный и надежный. Отличаются они друг от друга лишь по своим параметрам: 

  1. длине; 
  2. форме; 
  3. сечению. 

Чаще всего, для изготовления балок используется дерево и металл. Расчет балки на изгиб напрямую зависит от выбранного материала. В данном случае большое значение имеют такие показатели как однородность и структура.

Балки из дерева

Конструкции из дерева используются в одноэтажных домах или небольших домиках. Они отлично подходят как для потолка, так и пола. Для расчета прогиба балки берут следующие величины:

  1. Тип материала. Каждое дерево отличается прочностью, твердостью и гибкостью.
  2. Геометрические показатели, в которые включается как форма изделия, так и его сечение.
  3. Предполагаемые нагрузки, которые будут давить на материал.

На то, как будет изгибаться балка учитывается не только реальное давление, но и все возможные силы воздействия.

Стальные балки

Эти изделия очень сложные не только по сечению, но и по составу. Так как из выливают из нескольких видов металла. Производя расчет нагрузки на балку, необходимо принимать во внимание насколько она жесткая, а так же прочно ли она соединена.

Балки из стали используют для строительства многоэтажных домовИсточник i0.photo.2gis.com

Конструкция из металла между собой соединяется с помощью:

  • сваривания;
  • склепывания;
  • с помощью соединителей, имеющих резьбу.

Прочные металлические балки используются для строительства домов в несколько этажей. В таких конструкциях вся нагрузка равномерно распределяется по всей балке.

Как добиться прочности конструкции

Согласно нормам, балка, используемая на эстакаде должна иметь изгиб не больше одного см при ее длине в полтора метра. При этом, в других конструкциях этот показатель меняется. В индивидуальном доме, балки чердака могут прогибаться на один см, при длине 2 м, а в многоэтажных домах тот же сантиметр должен припадать на длину в 2,5 м.

Для того, чтобы постройка была надежной и прочной, расчеты нужно проводить еще в процессе планирования здания. Именно в этот момент и определяется такой показатель, как изгиб балки. Ведь чем меньше прогибается балка, тем выше прочность дома. Таким образом потолок получает равномерное распределение веса и сохраняет устойчивость дома. Если же балки сильно прогибаются, то и весь потолок будет ненадежным и со временем происходит разрыв соединений и здание рушится.

Перед началом расчета, составляют схему давления на балку – макет будет кстатиИсточник pouznaval.ru

Расчеты проводятся с помощью одного из способов:

  1. Прибегнуть к помощи онлайн-калькулятора. В данном инструменте запрограммированы стандартные данные.
  2. Воспользоваться справочником и, сравнив все параметры, произвести расчеты самостоятельно.
  3. Воспользоваться формулой и самостоятельно просчитать изгиб балок.

Важно! Просчитывать изгиб балки очень важно, чтобы на практике здание было прочным и надежным.

В помещении, которое используется уже не один год, определить насколько аварийным является его состояние, можно только после того, как будет определен уровень проседания балок.

Формулы для определения изгиба балки

При расчете необходимо учесть силу сопротивления материала, из которого изготовлена конструкция. И только после этого рисуется схема, где указывается сила давления на балку.

Таким образом происходят измерения для вычисления изгибаИсточник novainfo.ru

Процесс расчета выглядит следующим образом:

  1. Используя формулу площади прямоугольной фигуры S=b*h, определяется сечение балки, а так же берется ко вниманию ее длина L;
  2. На балку воздействует сила давления Q, которая изгибает ее в центре, а ее концы образуют угол θ. Обязательно учитывается изначальное положение конструкции f;
  3. В схеме концы импровизированной балки установлены совершенно свободно, при этом опоры установлены стационарно. В этом случае нет реакции, как в случае горизонтального закрепления конструкции, и концы балки перемещаются в свободном направлении.

Изгиб предмета под давлением определяется формулой Е=R/Δ. В этом случае Е – это показатель, который берется из справочника, R – сила давления на предмет, Δ – это показатель, который получается в процессе изгиба.

Имея все необходимые показатели можно узнать, какой будет инерция, для этого используется формула:

Δ = Q/(S·Е)

Если же нагрузка будет равномерна по всей длине балки. То нужно использовать такую формулу:

Δ = q·h/(S·Е).

После всех этих вычислений, приходит черед к определению изгиба по системе Юнга. То есть, балку изгибают таким образом, что ее концы выворачиваются в разные стороны, при этом имеют разные куты изгиба. В таком случае в формуле обе части нужно умножить на число L и тогда получается следующее равенство:

Δ*L = Q·L/(b·h·Е)

Формулы можно найти в справочникеИсточник pol-exp.com
Расчет строительных блоков и кирпичей: калькулятор, разновидности материалов, способы кладки, принципы подсчетов

Если рассматривать вариант, где балка с одной стороны будет стабильно зафиксирована, а на втором конце будет равновесие, то формула будет выглядеть следующим образом Mmax = q*L*2/8. Если использовать эту величину в формуле для определения изгиба балки, то получится следующее равенство:

Δх = M·х/((h/3)·b·(h/2)·Е).

Момент инерции, который вычисляется b·h3/6 можно условно обозначить W. Таким образом, формула будет иметь совершенно другой вид:

Δх = M·х/(W·Е), где W=M/E.

Чтобы узнать точные показатели изгиба балки, необходимо рассчитать две величины:

  • момент прогиба;
  • инерцию.

Кроме того, на прогиб имеет огромное влияние условие, при котором концы балок будут либо зафиксированы, либо находиться в свободном положении. Обязательно учитывается способ давления оказываемого на предмет, а так же в каких местах оказывается это давление и как оно распределяется по всей балке.

Все приведенные выше формулы можно использовать только в том случае, когда давление равномерно распределено по всей площади предмета. В том случае, когда нагрузка припадает только на одно определенное место, расчет проводится при помощи интегралов.

Правильные расчеты – гарантия прочности конструкцииИсточник remontik.org

Важно! Для проведения расчетов рекомендуется все же воспользоваться уже существующими сборниками формул. Такие пособия разрабатывались проектировщиками, исходя из разных ситуаций.

Таким образом, для точного определения изгиба балки следует все делать в следующей последовательности:

  1. В первую очередь составляется подробная схема предмета, который будет исследоваться;
  2. Измеряются все параметры балки и обязательно учитывается сечение;
  3. Определить каким будет максимальное давление на балку, а так же вычислить в каком месте будет оно оказано сильнее всего;
  4. Обязательно нужно проверить материал из которого изготовлена балка на прочность.
  5. Обязательно определить жесткость предмета.

О расчете прогиба балки в видео:


Деревянные балки перекрытия: виды, расчет и особенности выбора

Заключение

Перед началом строительства все профессиональные проектировщики проводят расчет изгиба балки и определяют расстояние между лагами. Поскольку именно от этих манипуляций зависит прочность будущего дома. Это можно сделать и с помощью онлайн-калькулятора, но для отчетности перед заказчиком необходимо предоставить все цифры документально. Поэтому все операции в показателями и величинами делаются последовательно вручную на бумаге.

Расчет балки на прогиб

Однопролетные балки на двух шарнирных опорах
1Расчет балки на двух шарнирных опорах при одной сосредоточенной нагрузкеСмотреть расчет
2Расчет балки на двух шарнирных опорах при двух сосредоточенных нагрузкахСмотреть расчет
3Расчет балки на двух шарнирных опорах при одной равномерно-распределенной нагрузкеСмотреть расчет
4Расчет балки на двух шарнирных опорах при одной неравномерно-распределенной нагрузкеСмотреть расчет
5Расчет балки на двух шарнирных опорах при действии изгибающего моментаСмотреть расчет
Балки с жестким защемлением на двух опорах
6Расчет балки с жестким защемлением на опорах при одной сосредоточенной нагрузкеСмотреть расчет
7Расчет балки с жестким защемлением на опорах при двух сосредоточенных нагрузкахСмотреть расчет
8Расчет балки с жестким защемлением на опорах при одной равномерно-распределенной нагрузкеСмотреть расчет
9Расчет балки с жестким защемлением на опорах при одной неравномерно-распределенной нагрузкеСмотреть расчет
10Расчет балки с жестким защемлением на опорах при действии изгибающего моментаСмотреть расчет
Балки с жестким защемлением на одной опоре (консольные)
11Расчет однопролетной балки с жестким защемлением на одной опоре при одной сосредоточенной нагрузкеСмотреть расчет
12Расчет однопролетной балки с жестким защемлением на одной опоре при одной равномерно-распределенной нагрузкеСмотреть расчет
13Расчет однопролетной балки с жестким защемлением на одной опоре при одной неравномерно-распределенной нагрузкеСмотреть расчет
14Расчет однопролетной балки с жестким защемлением на одной опоре при действии изгибающего моментаСмотреть расчет
Балки двухпролетные
15Расчет двухпролетной с шарнирными опорами при одной сосредоточенной нагрузкеСмотреть
16Расчет двухпролетной с шарнирными опорами при двух сосредоточенных нагрузкахСмотреть
17Расчет двухпролетной с шарнирными опорами при одной равномерно-распределенной нагрузкеСмотреть
18Расчет двухпролетной с шарнирными опорами при одной неравномерно-распределенной нагрузкеСмотреть
19Расчет двухпролетной с шарнирными опорами при одной неравномерно-распределенной нагрузкеСмотреть

Расчет балок на прогиб. Максимальный прогиб балки: формула расчета

Балка – элемент в инженерии, представляющий собой стержень, который нагружают силы, действующие в направлении, перпендикулярном стержню. Деятельность инженеров зачастую включает в себя необходимость расчета прогиба балки под нагрузкой. Этой действие выполняется для того, чтобы ограничить максимальный прогиб балки.

Типы

На сегодняшний день в строительстве могут использоваться балки, изготовленные из разных материалов. Это может быть металл или дерево. Каждый конкретный случай подразумевает под собой разные балки. При этом расчет балок на прогиб может иметь некоторые отличия, которые возникают по принципу разницы в строении и используемых материалов.

Деревянные балки

Сегодняшнее индивидуальное строительство подразумевает под собой широкое применение балок, изготовленных из дерева. Практически каждое строение содержит в себе деревянные перекрытия. Балки из дерева могут использоваться как несущие элементы, их применяют при изготовлении полов, а также в качестве опор для перекрытий между этажами.

Ни для кого не секрет, что деревянная, так же как и стальная балка, имеет свойство прогибаться под воздействием нагрузочных сил. Стрелка прогиба зависит от того, какой материал используется, геометрических характеристик конструкции, в которой используется балка, и характера нагрузок.

Допустимый прогиб балки формируется из двух факторов:

  • Соответствие прогиба и допустимых значений.
  • Возможность эксплуатации здания с учетом прогиба.

Проводимые при строительстве расчеты на прочность и жесткость позволяют максимально эффективно оценить то, какие нагрузки сможет выдерживать здание в ходе эксплуатации. Также эти расчеты позволяют узнать, какой именно будет деформация элементов конструкции в каждом конкретном случае. Пожалуй, никто не будет спорить с тем, что подробные и максимально точные расчеты – это часть обязанностей инженеров-строителей, однако с использованием нескольких формул и навыка математических вычислений можно рассчитать все необходимые величины самостоятельно.

Для того чтобы произвести правильный расчет прогиба балки, нужно также брать во внимание тот факт, что в строительстве понятия жесткости и прочности являются неразрывными. Опираясь на данные расчета прочности, можно приступать к дальнейшим расчетам относительно жесткости. Стоит отметить, что расчет прогиба балки – один из незаменимых элементов расчета жесткости.

Обратите ваше внимание на то, что для проведения таких вычислений самостоятельно лучше всего использовать укрупненные расчеты, прибегая при этом к достаточно простым схемам. При этом также рекомендуется делать небольшой запас в большую сторону. Особенно если расчет касается несущих элементов.

Расчет балок на прогиб. Алгоритм работы

На самом деле алгоритм, по которому делается подобный расчет, достаточно прост. В качестве примера рассмотрим несколько упрощенную схему проведения расчета, при этом опустив некоторые специфические термины и формулы. Для того чтобы произвести расчет балок на прогиб, необходимо выполнить ряд действий в определенном порядке. Алгоритм проведения расчетов следующий:

  • Составляется расчетная схема.
  • Определяются геометрические характеристики балки.
  • Вычисляется максимальную нагрузку на данный элемент.
  • В случае возникновения необходимости проверяется прочность бруса по изгибающему моменту.
  • Производится вычисление максимального прогиба.

Как видите, все действия достаточно просты и вполне выполнимы.

Составление расчетной схемы балки

Для того чтобы составить расчетную схему, не требуется больших знаний. Для этого достаточно знать размер и форму поперечного сечения элемента, пролет между опорами и способ опирания. Пролетом является расстояние между двумя опорами. К примеру, вы используете балки как опорные брусья перекрытия для несущих стен дома, между которыми 4 м, то величина пролета будет равна 4 м.

Вычисляя прогиб деревянной балки, их считают свободно опертыми элементами конструкции. В случае балки перекрытия для расчета принимается схема с нагрузкой, которая распределена равномерно. Обозначается она символом q. Если же нагрузка несет сосредоточенный характер, то берется схема с сосредоточенной нагрузкой, обозначаемой F. Величина этой нагрузки равна весу, который будет оказывать давление на конструкцию.

Момент инерции

Геометрическая характеристика, которая получила название момент инерции, важна при проведении расчетов на прогиб балки. Формула позволяет вычислить эту величину, мы приведем ее немного ниже.

При вычислении момента инерции нужно обращать внимание на то, что размер этой характеристики зависит от того, какова ориентация элемента в пространстве. При этом наблюдается обратно пропорциональная зависимость между моментом инерции и величиной прогиба. Чем меньше значение момента инерции, тем больше будет значение прогиба и наоборот. Эту зависимость достаточно легко отследить на практике. Каждый человек знает, что доска, положенная на ребро, прогибается гораздо меньше, чем аналогичная доска, находящаяся в нормальном положении.

Подсчет момента инерции для балки с прямоугольным сечением производится по формуле:

J=b*h^3/12, где:

b – ширина сечения;

h – высота сечения балки.

Вычисления максимального уровня нагрузки

Определение максимальной нагрузки на элемент конструкции производится с учетом целого ряда факторов и показателей. Обычно при вычислении уровня нагрузки берут во внимание вес 1 погонного метра балки, вес 1 квадратного метра перекрытия, нагрузку на перекрытие временного характера и нагрузку от перегородок на 1 квадратный метр перекрытия. Также учитывается расстояние между балками, измеренное в метрах. Для примера вычисления максимальной нагрузки на деревянную балку примем усредненные значения, согласно которым вес перекрытия составляет 60 кг/м², временная нагрузка на перекрытие равна 250 кг/м², перегородки будут весить 75 кг/м². Вес самой балки очень просто вычислить, зная ее объем и плотность. Предположим, что используется деревянная балка сечением 0,15х0,2 м. В этом случае ее вес будет составлять 18 кг/пог.м. Также для примера примем расстояние между брусьями перекрытия равным 600 мм. В этом случае нужный нам коэффициент составит 0,6.3/48*E*J, где:

F – сила давления на брус.

Также обращаем внимание на то, что значение модуля упругости, используемое в расчетах, может различаться для разных видов древесины. Влияние оказывают не только порода дерева, но и вид бруса. Поэтому цельная балка из дерева, клееный брус или оцилиндрованное бревно будут иметь разные модули упругости, а значит, и разные значения максимального прогиба.

Вы можете преследовать разные цели, совершая расчет балок на прогиб. Если вы хотите узнать пределы деформации элементов конструкции, то по завершении расчета стрелки прогиба вы можете остановиться. Если же ваша цель – установить уровень соответствия найденных показателей строительным нормам, то их нужно сравнить с данными, которые размещены в специальных документах нормативного характера.

Двутавровая балка

Обратите внимание на то, что балки из двутавра применяются несколько реже в силу их формы. Однако также не стоит забывать, что такой элемент конструкции выдерживает гораздо большие нагрузки, чем уголок или швеллер, альтернативой которых может стать двутавровая балка.

Расчет прогиба двутавровой балки стоит производить в том случае, если вы собираетесь использовать ее в качестве мощного элемента конструкции.

Также обращаем ваше внимание на то, что не для всех типов балок из двутавра можно производить расчет прогиба. В каких же случаях разрешено рассчитать прогиб двутавровой балки? Всего таких случаев 6, которые соответствуют шести типам двутавровых балок. Эти типы следующие:

  • Балка однопролетного типа с равномерно распределенной нагрузкой.
  • Консоль с жесткой заделкой на одном конце и равномерно распределенной нагрузкой.
  • Балка из одного пролета с консолью с одной стороны, к которой прикладывается равномерно распределенная нагрузка.
  • Однопролетная балка с шарнирным типом опирания с сосредоточенной силой.
  • Однопролетная шарнирно опертая балка с двумя сосредоточенными силами.
  • Консоль с жесткой заделкой и сосредоточенной силой.

Металлические балки

Расчет максимального прогиба одинаковый, будь это стальная балка или же элемент из другого материала. Главное — помнить о тех величинах, которые специфические и постоянные, как к примеру модуль упругости материала. При работе с металлическими балками, важно помнить, что они могут быть изготовлены из стали или же из двутавра. Прогиб металлической балки, изготовленной из стали, вычисляется с учетом, что константа Е в данном случае составляет 2·105Мпа. Все остальные элементы, вроде момента инерции, вычисляются по алгоритмам, описанным выше.

Расчет максимального прогиба для балки с двумя опорами

В качестве примера рассмотрим схему, в которой балка находится на двух опорах, а к ней прикладывается сосредоточенная сила в произвольной точке. До момента прикладывания силы балка представляла собой прямую линию, однако под воздействием силы изменила свой вид и вследствие деформации стала кривой.

Предположим, что плоскость ХУ является плоскостью симметрии балки на двух опорах. Все нагрузки действуют на балку в этой плоскости. В этом случае фактом будет то, что кривая, полученная в результате действия силы, также будет находиться в этой плоскости. Данная кривая получила название упругой линии балки или же линии прогибов балки. Алгебраически решить упругую линию балки и рассчитать прогиб балки, формула которого будет постоянной для балок с двумя опорами, можно следующим образом.

Прогиб на расстоянии z от левой опоры балки при 0 ≤ z ≤ a

F(z)=(P*a2*b2)/(6E*J*l)*(2*z/a+z/b-z3/a2*b)

Прогиб балки на двух опорах на расстоянии z от левой опоры при а ≤ z ≤l

f(z)=(-P*a2*b2)/(6E*J*l)*(2*(l-z)/b+(l-z)/a-(l-z)3/a+b2), где Р – прикладываемая сила, Е – модуль упругости материала, J – осевой момент инерции.

В случае балки с двумя опорами момент инерции вычисляется следующим образом:

J=b1h13/12, где b1 и h1 – значения ширины и высоты сечения используемой балки соответственно.

Заключение

В заключение можно сделать вывод о том, что самстоятельно вычислить величину максимального прогиба балки разных типов достаточно просто. Как было показано в этой статье, главное — знать некоторые характеристики, которые зависят от материала и его геометрических характеристик, а также провести вычисления по нескольким формулам, в которых каждый параметр имеет свое объяснение и не берется из ниоткуда.

Прогиб балки зависимость от нагрузки

Вал червячного колеса и канатоведущего шкива или барабана устанавливается, как правило, на двух подшипниках. Статически неопределимая установка на трех подшипниках ведет обычно к усиленному усталостному износу средней шейки вала, грозящему изломом вала, особенно в том случае, когда машина устанавливается на балках, меняющих свой прогиб в зависимости от нагрузки кабины.  [c.55]
Если wib превышает указанные ориентировочные пределы, то пластина одновременно работает и на изгиб, и как мембрана. Значимость этих факторов становится одного порядка, причем с ростом прогибов роль растяжения срединной поверхности возрастает. Такая пластина называется гибкой. Например, железобетонные плиты обычно бывают жесткими пластинами, а тонкие стальные листы в зависимости от нагрузки могут работать и как жесткие, и как гибкие. Здесь есть аналогия со стержнем, который, будучи достаточно тонким при закрепленных концах, работает как балка, а при больших прогибах начинает работать как нить на растяжение (см. 3.5, рис. 3.7).  [c.147]

Динамический, когда прогибы балки представляются формами ее собственных колебаний (рисунок 7.2). Если в статическом способе необходимо строить функции Xf x) в зависимости от нагрузки и реакций балки, то в динамическом способе достаточно менять только значения собственных частот, что весьма удобно. Однако, применения функции X x по этому способу возможно только с применением персональных компьютеров. Функции (индекс 1 у этих функций в дальнейшем опущен) для различных условий  [c.394]

На основании теоремы о взаимности перемещений рассматриваем полученное уравнение как уравнение линии влияния прогибов, значения которых в зависимости от заданной нагрузки получим как сумму произведений величин действующих сил р. и q. на соответствующие им ординаты линий влияния, определенных приведенным выше уравнением. Балка на упругих опорах, нагруженная такой произвольной вертикальной нагрузкой, показана на рис. 30.  [c.71]

Наибольшие прогибы балки, отнесенные к величине пролета, а также наибольшие углы поворота балки характеризуют ее жесткость под заданной нагрузкой. В зависимости от условий работы деталей производят проверку их на жесткость сопоставлением возникающих перемещений с их допускаемыми значениями.  [c.86]

Величина наибольшего прогиба может служить мерилом того, насколько искажается форма конструкции при действии внешних сил. Обычно с целью сохранения соединений частей балки от расшатывания и уменьшения колебаний под действием подвижной нагрузки ограничивают величину наибольшего прогиба балки под нагрузкой. Так для стальных балок в зависимости от назначения их ставят  [c.277]

Если ставить задачу вычисления прогиба 5 в зависимости от внешней нагрузки Q, то при традиционном подходе балку разбивают на и продольных и т поперечных элементов (рис. 2.8.4,а) и решают задачу размерности п т. При использовании многоуровневой схематизации эту задачу решают в два этапа.  [c.127]


Для целей обсуждения решений члены уравнений (2.4) или ( .4а) можно разбить на два типа зависящие от ш и не завися-пще от W. Первый тип содержит первый и третий члены уравнения (2.4) и некоторую часть нагрузки р, котора изменяется в зависимости от w подобно распределенным реакциям, которые действуют на балку, лежащую на упругом основании, или инерционным силам в задачах поперечных колебаний, которые пропорциональны второй производной от W по времени. Второй тип содержит ту часть нагрузки р, которая представляет собой поперечные нагрузки, приложенные таким образом, чтобы их ве личина могла считаться независимой от прогиба.  [c.66]

Второй эксперимент проводился на балке гораздо большей длины, с шириной 0,92 дюйма, высотой 0,36 дюйма и расстоянием между опорами 24 дюйма. Балка была испытана вначале в состоянии, когда материал ее был столь мягок, что легко поддавался напильнику , дав линейную зависимость между нагрузкой и прогибами, показанную иа рис. 3.23 (точки). Балка затем была закалена до твердости, при которой напильник не оставлял следов ни на какой из ее частей и такие же нагрузки вызывали прогибы, которые не отличались заметно от прогибов в мягком состоянии . После этого степень закаленности была понижена отжигом путем нагрева до однородно соломенного цвета и балка была вновь испытана та же линейность наблюдалась даже при большей нагрузке (см. рис. 3.23, треугольники).  [c.285]

Прежде всего заметим, что при вычислении прогибов и углов поворота сечений балки изгибающий момент от единичного усилия М (1) представляет собой функцию, линейную но участкам балки. А Mz P) в зависимости от характера нагрузки может быть нелинейной функцией с угловыми точками и разрывами. Поэтому для балок постоянной жесткости вычисление интегралов Мора сводится к вычислению по участкам балки интегралов вида  [c.239]

На рис. 12.45 а показан график изменения прогиба в средней точке балки v l/2) в зависимости от продольной силы S при двух постоянных значениях поперечной нагрузки Р = Pi и Р =  [c.411]

На рис. 12.45 б даны зависимости прогиба в центре балки от поперечной нагрузки при постоянных значениях продольной силы S = S ж S = S2 S2 > S ). Пунктиром показан график для случая поперечного изгиба ( = 0). Видно, что с увеличением продольной нагрузки возрастает податливость (падает жесткость) балки на поперечную нагрузку.  [c.412]

На рис. 48, а показана простая тонкостенная конструкция открытого профиля, находящаяся под действием кососимметричной нагрузки Р, что характерно для автомобильных конструкций. Жесткость и прочность этой конструкции в основном определяют изгибом боковых панелей, которые находятся в условиях плоского напряженного состояния (рис. 48,6). На рис. 49, а приведена консольная балка толщиной t, к свободному концу А которой приложена сила Р. Нагружение балки в этом случае аналогично нагружению боковой панели рассматриваемой конструкции. Балка моделировалась элементами четырех типов [11], На рис. 50, а представлены результаты численного эксперимента по определению прогиба свободного конца балки уа в зависимости от числа степеней свободы при идеализации балки треугольными элементами с постоянной деформацией (кривая 1) и линейной деформацией (кривая 2). Треугольный элемент с постоянными деформациями, что равнозначно постоянству напряжений, построен на описании поля перемещений полным линейным полиномом. Этот элемент часто называют С5Г-элементом [11], или симплекс-элементом [20]. Представление поля перемещений элемента полным квадратичным полиномом приводит к линейным распределениям деформаций или напряжений. Такой элемент обычно называют 57 -элемен-том [11], или комплекс-элементом [20]. Как видно из рис. 50, а, характеристики сходимости для треугольных элементов не очень  [c.76]

Пользование этим уравнением оказывается затруднительным, так как прогиб, определяемый им, выражается через эллиптические интегралы, причем зависимость прогиба от нагрузки оказывается нелинейной. Однако если прогиб балки невелик, то и угол поворота сечения также невелик, т. е. величину В — т можно считать малой, имеющей тот же порядок малости, что и прогиб ш. Поэтому величиной и> в уравнении (5.61) можно пренебречь по сравнению с единицей, и уравнение оси изогнутой балки примет вид  [c.193]


Измерение нагрузки (силы) по деформации или прогибу пружинящего элемента. Динамометрический пружинящий элемент в зависимости от условий измерений и нагрузки выполняется в виде кольца, стержня, столбика (соответствующей конструкции) или балки.  [c.318]

Таким образом, для отыскания перемещения 8 (прогиба или угла поворота) любого сечения балки, вне зависимости от того, приложена или не приложена в этом сечении соответствующая сила, необходимо найти выражение для изгибающего момента М от заданной нагрузки и момента Ж от соответствующей единичной нагрузки,  [c.416]

Диаграмма деформации образца, как балки на двух опорах, т. е. зависимость прогиба [ от нагрузки Р показана на рис. 306 кривой а при упругих деформациях и кривой б при наличии небольших пластических деформаций в средней части пролета.  [c.444]

Сравнение вертикальных прогибов образцов с напряжениями в балке показывает, что, несмотря на появление в стенках балок напряжений, равных или даже несколько больших предела пропорциональности материала, вызванных волнообразованием стенки на ранних этапах нагружений, линейный характер кривой, выражающей зависимость вертикальных прогибов от нагрузки, почти не нарушался. Это объясняется, во-первых, тем, что указанные напряжения распространяются в очень небольшой области, главным образом в центре панели, вдоль или по-242  [c.242]

Изгибающий момент УИ, поперечная сила Q, прогиб у и угол поворота у продольной балки на расстоянии х от опоры в зависимости от концевых значений (начальных параметров) тех же величин Мо, Оо, /о и (/д и действующей нагрузки определяются следующими соотношениями  [c.759]

Пример 2. Определим зависимость от времени максимального прогиба, возникшего в результате ползучести материала равномерно нагретой балки на двух опорах, нагруженной равномерно распределенной нагрузкой интенсивности д, МН/м (рис. 13.7).  [c.314]

Ниже приведены формулы для вычисления прогибов и изгибающих моментов в одно- и многопролетных балках, загруженных равномерно распределенной статической д и динамической р нагрузками. Коэффициенты динамичности принимают по приведенным выше формулам и графикам в зависимости от закона изменения динамической нагрузки во времени. Максимальные изгибающий момент и прогиб  [c.16]

Генеральными размерами балки называют ее расчетный пролет let и высоту сечения- h (рис. 37). Действительный или конструктивный размер балки I назначают с учетом размеров опорных площадок, размер которых зависит от несущей способности их материала. Расстояние в свету 1о между опорными узлами зависит от условий эксплуатации сооружения и назначается в процессе проектирования. Оптимальное значение высоты балки зависит от расчетного пролета, нагрузки, марки стали, назначения балки и т. д. и лежит в пределах = (1/10—1/15). Минимальные значения высоты сечения балки при эскизном проектировании можно принимать по табл. 22 при / расчетная нагрузки) в зависимости от временного сопротивления стали и относительных прогибов балок к пролету.  [c.61]

Пример 3. Методом единичной нагрузки определим прогиб б на незакрепленном конце консольной балки, изображенной на рис. 11.31, Кривая нелинейной зависимости напряжения от деформации для материала балки приведена на рис. 11.31, с.  [c.523]

Из этих зависимостей получается простое правило, уже упомянутое выше, которое состоит в том, что вязкая балка под постоянной (не зависящей от времени) нагрузкой р прогибается с постоянной скоростью IV, пропорциональной прогибам хю балки из упругого материала, изгибаемой той же самой нагрузкой при тех же граничных условиях. Это правило оказывается справедливым и для вязко-упругой балки, нагруженной только постоянными нагрузками, если эти нагрузки прикладывались к балке одновременно. В этом случае балка будет прогибаться с посгоянны-ми скоростями 1Ь, пропорциональными начальным упругим прогибам ау.  [c.334]

Закон Гука справедлив не только для материала, но и для всей балки в целом прогибы и углы поворота прямо пропорциональны нагрузкам. Это — следствие линейной зависимости изгибающего момента от нагрузок, а кривизны — от изгибающего момента. Для балки, защемлённой концом и нагружённой сплошной нагрузкой q и сосредоточенной силой Р на свободном конце, изгибающий момент в сечении на расстоянии х от защемления выражается линейной по отношению к нагрузкам формулой  [c.372]

При помощи приведенных на фиг. 4—]г, грасриков можно определить величину мо.мепта, соответствз ющего допустимому для балки прогибу, после чего, установив зависимость момента от нагрузки, найти величину допускаемой нагрузки.  [c.273]

Следовательно, для отыскания перемещения б (прогиба или угла поворота) любого сечения балки, вне зависимости от того, приложена или не приложена в этом сечении соответствующая сила, необходимо найти выражение для изгибающего момента М (j ) от заданной нагрузки (будем его обозначать просто М) и момента УИ от со-отБегствующей единичной нагрузки, приложенной в сечении, где I. i jM перемещение б тогда это перемещение выразится форлгулой  [c.327]


Номер профиля ходового пути, обусловливающий толщину ездовой полки, определяют по максимальной расчетной нагрузке на каретку в зависимости от несущей способности ездовой полки пути. Следовательно, для каждого заданного профиля пути можно установить предельные нагрузки на каретку по прочности ездовой полки (см. ниже). При выбранном профиле расчет ходового пути сводится к определению максимального допускаемого расстояния между креплениями различных участков пути конвейера, т. е. свободного пролета балки пути. Пролет балки пути определяют из расчета на прочность от поперечного и местного изгиба, деформацию прогиба и устойчивость. При расчете на прочность следует учитывать, что при работе конвейера возможен значительный износ ездовых поверхностей путевой балки. Для надежной работы конвейера требуется повышенная жесткость ходового пути, особенно на участках, примыкающих к поворотным устройствам. Поэтому для балок из стали СтЗ рекомендуется принимать допускаемое напряжение на изгиб (поперечный и местный) Оп.д 1200 кгс/см , допускаемый прогиб fmax = 1/500 длины пролета коэффициент запаса по устойчивости % = 1,7 -h 2,0. Для стали 14Г2 можно принять Оп.д = 1400 к,гс/см .  [c.101]

На рис. 5.9, б показан специальный тавровый профиль Кливленд трэмрэйл , прокатываемый по ГОСТ 19240—73, имеющий массу около 9,4 кг/м. При ширине плоскости дорожек качения И мм и колесах тележки диаметром 125 мм допускаемая нагрузка на ось этого рельса составляет 10 кН, чему соответствует грузоподъемность четырехосной тележки 4 т брутто. Подвеска рельса осуществляется путем зажима его головки. При прокатке рельса из стали марки 16Г2АФ или 35Г2 и норме прогиба 1 400 пролета допустимое расстояние между точками подвешивания рельса (тягами) для электрифицированных дорог в зависимости от грузоподъемности, числа осей, размеров и числа работающих на трассе шарнирных тележек приведено в табл. 5.5. Радиус кривых для данного рельса при работе на трассе шарнирных тележек рекомендуется принимать не менее 1,8 м и только при работе в стесненных условиях 1,2 м. Профиль, изображенный на рис. 5.9, в, спроектированный институтом ВНИИПТмаш, отличается от профиля на рис. 5.9, б, наклоном плоскостей дорожек качения рельса (1 8) и более мощной нижней полкой. Наклон плоскостей дорожек качения позволяет стыковать этот рельс с рельсом из двутавровой балки № 16 по ГОСТ 8239—72, способствует уменьшению виляния колесной пары при ее движении и не является препятствием для устройства ходовой передачи при реализации тягового усилия от нижнего прижимного тягового колеса с резиновым ободом или линейного электродвигателя.  [c.96]

Однако большинство графиков, выражающих зависимости боковых прогибов стенок от нагрузки, имеют ясно выраженные перело гы, указывающие на переход данной стенки при определенной нагрузке в качественно новое состояние. В дальнейшем нагрузка, отвечающая этому состоянию балки, принималась за цритцческую (Pip) по условию. местной устойчивости стенки.  [c.238]

Конструкция пола рассчитываемого вагона (полувагона с плоским полом, образуемым крышками люков) позволяет считать, что нагрузки Ql, Qj и Qj поровну распределяются между хребтовой балкой и боковыми стенками. Уравновеп1Иваются указанные нагрузки соо г-ветствующими реакциями пятников. Вертикальную динамическую нагрузку определяют в зависимости от статического прогиба рессорного подвешивания (см. стр. 714), и в данном случае она составляет 45% от нагрузки брутто. В расчёте эту нагрузку учитывают только при определении напряжений.  [c.751]

Д ю п е и Пьер Шарль Франсуа (Dupin Pierre harles Fr., 1784—1873)— французский геометр, член Парижской Академии наук (с 1818 г.). По образованию морской инженер. Уже в возрасте шестнадцати лет Дюпен вывел уравнение циклоиды (циклоида Дюпена). Дюпену принадлежит ряд важных результатов в области ди( еренциальной геометрии (введение понятия индикатрисы, носящей его имя доказательство того факта, что поверхности ортогональных систем пересекаются вдоль общих линий кривизн). Наряду с геометрией Дюпен выполнял исследования и по механике твердых деформируемых тел (исследование изгиба деревянных балок и обнаружение прн этом нелинейного участка зависимости перемещений от нагрузки, пропорциональность величины, обратной прогибу, ширине балки и кубу высоты ее поперечного сечения и др.). Все этн результаты. поЛучены до выхода в свет книги Навье по сопротивлению материалов.  [c.20]

На рис. 8.24 показаны схемы нагружения главной балки, обычно принимаемые при определении прогибов мостов кранов с четырех-и восьмиколесными тележками. Как видно из рисунка, несмотря на различие в нагрузках на правые и левые ходовые колеса, последние располагаются симметрично относительно середины пролета. Прогибы, как и изгибающие моменты, удобно определять в зависимости от равнодействующей подвижных нагрузок. При четырехколесной тележке, когда Р=Р1+Р2, прогиб балки в середине пролета  [c.257]

Шюле предположил, что при изгибе плоские сечения остаются плоскими и что константы а и от в уравнении (2.36) различны для растяжения и сжатия, как на это указывали результаты опытов Баха. Он попытался вывести формулу для прогиба в середине пролета свободно опертой чугунной балки Сравнение, проведенное Шюле, показало близость полученного по этой формуле значения для прогиба в середине пролета, как функции нагрузки, к его экспериментальным данным, что заставило его поверить, что он сделал важный первый шаг к развитию удовлетворительно подтверждаемой экспериментом общей теории изгиба, базирующейся на том, что, как он должен был знать, представляло собой нелинейную зависимость напряжения от деформации, предложенную Яковом Бернулли в 1695 г.  [c.165]

Нелинейности в поведении конструкции обусловлены главным образомодной из двух причин. Наиболее очевидной причиной является нелинейная зависимость напряжения от деформации для материала конструкции в этом случае конструкция будет характеризоваться как физически нелинейная. Другой случай относится к такой нелинейности, которая обусловлена геометрией деформированной конструкции. Подобная ситуация возникает независимо от того, чем вызваны прогибы приложенными нагрузками или реакциями. Примером служит стержень, нагруженный внецентренно приложенной продольной силой (разд. 10.1), даже очень малые прогибы которого оказывают существенное влияние на возникающие в нем изгибающие моменты. Другим примером является балка с большими прогибами, рассмотренная в разд. 6.12. В обоих этих примерах предполагается, что материал балки подчиняется закону Гука, но из-за геометрии деформированной конструкции оказывается, что прогибы и результирующие напряжений связаны нелинейными соотношениями с приложенными нагрузками. Это примеры так назы ваемой геометрической нелинейности.  [c.482]


Не удается найти страницу | Autodesk Knowledge Network

(* {{l10n_strings.REQUIRED_FIELD}})

{{l10n_strings.CREATE_NEW_COLLECTION}}*

{{l10n_strings.ADD_COLLECTION_DESCRIPTION}}

{{l10n_strings.COLLECTION_DESCRIPTION}} {{addToCollection.description.length}}/500 {{l10n_strings.TAGS}} {{$item}} {{l10n_strings.PRODUCTS}} {{l10n_strings.DRAG_TEXT}}  

{{l10n_strings.DRAG_TEXT_HELP}}

{{l10n_strings.LANGUAGE}} {{$select.selected.display}}

{{article.content_lang.display}}

{{l10n_strings.AUTHOR}}  

{{l10n_strings.AUTHOR_TOOLTIP_TEXT}}

{{$select.selected.display}} {{l10n_strings.CREATE_AND_ADD_TO_COLLECTION_MODAL_BUTTON}} {{l10n_strings.CREATE_A_COLLECTION_ERROR}}

Расчет на прочность и прогиб балки при ударе в Excel

Опубликовано 12 Янв 2014
Рубрика: Механика | 4 комментария

Расчет на прочность при ударе в обычной работе инженера-конструктора встречается не очень часто. Поэтому возникновение такой задачи может поставить в тупик своей неожиданностью. Расчеты при ударных, то есть динамических нагрузках очень сложны и часто производятся…

…по эмпирическим – полученным из практических опытов — методикам и формулам. В этой статье мы рассмотрим расчет по приближенной теоретической формуле, которая, однако, позволяет быстро, просто, понятно и с достаточной для многих случаев жизни точностью учесть динамическую составляющую нагрузки!

Выполним расчет на прочность и определим прогиб балки при воздействии ударной нагрузки на примере консоли.

Общий подход к статическим расчетам на прочность при изгибе подробно изложен в статье «Расчет балки на изгиб – «вручную»!», где приведены уравнения общего вида, позволяющие произвести расчет на прочность балки с любыми опорами и при любых нагрузках.

Расчеты выполним в программе MS Excel. Вместо MS Excel можно воспользоваться программой OOo Calc из свободно распространяемого пакета Open Office.

С правилами форматирования ячеек листа Excel, которые применены в статьях этого блога, можно ознакомиться на странице «О блоге».

Расчет консольной балки при ударе.

Расчет на прочность, который мы будем выполнять, является приблизительным.

Во-первых, предполагаем, что вся потенциальная энергия груза, падающего с некоторой высоты, переходит в кинетическую энергию, которая при соприкосновении груза с балкой полностью переходит в потенциальную энергию деформации. В реальности часть энергии превращается в тепло.

Во-вторых, мы не будем учитывать в расчете массу балки. То есть прогиб балки под действием собственного веса примем равным нулю! (Чем меньше вес балки относительно веса груза, тем точнее результаты, полученные по рассматриваемой методике расчета!)

В-третьих, прогиб балки при ударе будем определять как прогиб от статического воздействия груза с весом больше реального веса груза на величину, определяемую коэффициентом динамичности. То есть силу при ударе найдем как сумму веса и силы инерции груза при торможении.

В-четвертых, считаем, что груз не отскакивает при ударе, а перемещается на величину динамического прогиба вместе с балкой. То есть удар абсолютно неупругий!

В-пятых, учтем ограничение, что ошибка расчета не превысит 8…12% только в случае, если рассчитанный коэффициент динамичности будет не более 12!

На рисунке, расположенном ниже, изображена  расчетная схема.

Составим в Excel программу и в качестве примера выполним расчет на прочность и определим прогиб балки круглого сечения.

Исходные данные:

1. Вес груза G в Н записываем

в ячейку D3: 50

2. Высоту падения груза h в мм заносим

в ячейку D4: 400

3. Длину консольной балки L в мм вписываем

в ячейку D5: 2500

4. Осевой момент инерции поперечного сечения балки Ix в мм4 вычисляем для диаметра d=36 мм

в ячейке D6: =ПИ()*36^4/64 =82448

Ix=π*d4/64

5.3/32 =4580

Wx=π*d3/32

6. Допустимые напряжения материала балки (Ст3 сп5) при изгибе [σи] в Н/мм2 записываем

в ячейку D8: 235

7. Модуль упругости материала балки E в Н/мм2 вписываем

в ячейку D9: 215000

Результаты расчетов:

8. Максимальный изгибающий момент при статическом воздействии груза Mстx в Н*мм определяем

в ячейке D11: =D3*D5 =125000

Mстx=G*L

9. Максимальное напряжение при статическом воздействии груза σст в Н/мм2 вычисляем

в ячейке D12: =D11/D7 =27

σст=Mстx /Wx

10.0,5 =8,45

Kд=1+(1+2*h/Vстy)0,5

12. Максимальное напряжение при динамическом воздействии груза σд в Н/мм2 вычисляем

в ячейке D15: =D12*D14 =231

σд=σст*Kд

13. Прогиб балки в точке удара при динамическом воздействии груза y в мм определяем

в ячейке D16: =D13*D14 =124,1

y=Vстy*Kд

14. Коэффициент запаса прочности k вычисляем

в ячейке D17: =D8/D15 =1,02

k=[σи]д

Заключение.

Созданный расчет в Excel можно использовать для расчета на прочность при ударе консольных балок любого сечения. Для этого в исходных данных необходимо предварительно рассчитать  осевые моменты инерции и сопротивления соответствующего сечения.

Для балок с другими вариантами опор следует найти прогиб и напряжение от статического воздействия груза по соответствующим схеме опор формулам, затем по приведенной в п.11 формуле рассчитать коэффициент динамичности и определить прогиб балки в точке удара и максимальное напряжение в опасном сечении при ударе.

Опасное сечение – это сечение, в котором напряжение максимально и, соответственно, в котором начнется изгиб при достижении напряжением предельного значения. Определяется это сечение индивидуально для конкретных схем из эпюр и расчетов.

Коэффициент динамичности зависит – как следует из формулы – от высоты падения груза и величины прогиба при статическом приложении нагрузки. Чем больше высота падения, тем больше коэффициент динамичности. Это понятно, но почему этот коэффициент возрастает при уменьшении статического прогиба? Дело в том, что, чем меньше статический прогиб, тем жестче балка и тем быстрее остановится падающий груз после касания. Чем меньше время и путь торможения груза, тем больше ускорение (точнее торможение – ускорение с отрицательным знаком), а значит больше и сила инерции, которая по второму закону Ньютона, как известно, равна произведению массы тела на ускорение! Спрыгнуть на батут с высоты четырех метров можно легко, а вот на бетонный пол – чревато последствиями…

Подписывайтесь на анонсы статей в окне, расположенном в конце каждой статьи или в окне вверху страницы.

Не забывайте подтверждать подписку кликом по ссылке в письме, которое тут же придет к вам на указанную почту (может прийти в папку «Спам»)!!!

Оставляйте ваши комментарии, уважаемые читатели! Ваш опыт и мнение будут интересны и полезны коллегам!!!

Прошу уважающих труд автора  скачивать файл после подписки на анонсы статей!

Ссылка на скачивание файла: raschet-na-prochnost-i-progib-balki-pri-udare (xls 20,0KB).

Другие статьи автора блога

На главную

Статьи с близкой тематикой

Отзывы

Прогиб балки: как рассчитать

Существует множество ситуаций, когда линейная направляющая или исполнительный механизм поддерживаются не полностью по всей длине. В этих случаях прогиб (из-за собственного веса компонента и из-за приложенных нагрузок и усилий) может повлиять на ходовые качества подшипников и вызвать плохую работу в виде преждевременного износа и заедания.

Изделия, которые могут монтироваться только с концевыми опорами, такие как линейные валы или приводные узлы, или в консольной ориентации, например, телескопические подшипники, обычно имеют характеристики максимально допустимого отклонения.Важно проверить приложение и убедиться, что это максимальное отклонение не превышено. К счастью, большинство линейных направляющих и приводов можно смоделировать в виде балок, а их отклонение можно рассчитать с помощью обычных уравнений отклонения балки.

Вопросы материалов и конструкции

При расчете прогиба необходимо знать свойства направляющей или привода и условия приложенной нагрузки. С точки зрения направляющей или привода важными критериями являются модуль упругости и плоский момент инерции компонента.Модуль упругости является мерой жесткости материала, и обычно его можно найти в каталоге продукции. Момент инерции описывает сопротивление объекта изгибу и иногда предоставляется производителем компонента. Если момент инерции не указан, его можно разумно аппроксимировать, используя уравнение момента инерции для сплошного или полого цилиндра (для линейного круглого вала) или прямоугольника (телескопический подшипник или линейный привод).


Модуль упругости, также известный как модуль Юнга или модуль упругости при растяжении, может быть определен как отношение напряжения (силы на единицу площади) на оси к деформации (отношение деформации по длине) вдоль этой оси.

Плоский момент инерции (также называемый вторым моментом площади или моментом инерции площади) определяет, как точки площади распределяются относительно произвольной плоскости и, следовательно, ее сопротивление изгибу.


С точки зрения применения и конструкции критериями, влияющими на прогиб балки, являются тип опоры на концах направляющей или привода, приложенная нагрузка и неподдерживаемая длина. Когда компонент является консольным, его можно смоделировать как фиксированную балку, а когда он поддерживается с обоих концов, его обычно можно смоделировать как просто поддерживаемую балку.Для консольных балок максимальный прогиб будет иметь место, когда нагрузка будет находиться на свободном конце балки, а для свободно опертых балок максимальный прогиб произойдет, когда нагрузка будет находиться в центре балки.

 При определении полного прогиба имейте в виду, что будут две нагрузки, вызывающие прогиб: вес самой направляющей или привода и приложенная нагрузка. Собственный вес компонента почти всегда можно смоделировать как равномерно распределенную нагрузку, а приложенную нагрузку оценить как точечную нагрузку в месте максимального прогиба (на свободном конце консольной балки или в центре свободно опертой балки). обычно обеспечивает наихудший сценарий полного отклонения.

Прогиб консольных балок

Телескопические подшипники часто бывают консольными, а некоторые декартовы конфигурации роботов приводят к консольному приводу по оси Y или Z. В этом случае вес балки, достаточно равномерный по ее длине, вызывает максимальный прогиб на конце балки.

Изображение предоставлено: wikipedia.org

Это отклонение рассчитывается как:

Где:

q = усилие на единицу длины (Н/м, фунт-сила/дюйм)

L = длина без опоры (м, дюймы)

E = модуль упругости (Н/м 2 , фунт-сила/дюйм 2 )

I = плоский момент инерции (м 4 , в 4 )

Чтобы сгенерировать наихудший сценарий прогиба, мы рассматриваем приложенную нагрузку как точечную нагрузку (F) на конце балки, и результирующий прогиб можно рассчитать как:  

Сложение прогиба из-за равномерной нагрузки и прогиба из-за приложенной (точечной) нагрузки дает общий прогиб на конце балки:

Прогиб свободно опертых балок

Линейные валы и приводы часто закрепляются на концах, оставляя их длину без опоры, как у свободно поддерживаемой балки.Равномерная нагрузка на балку (собственный вес вала или привода) вызовет максимальное отклонение в центре балки, которое можно рассчитать как:

Поскольку это просто поддерживаемая балка, прикладываемая нагрузка может быть смоделирована как точечная нагрузка в центре балки для наихудшего сценария.

Изображение предоставлено: wikipedia.org

Прогиб из-за приложенной нагрузки в этом состоянии рассчитывается как:

Общее отклонение в центре балки:

Прогиб валов с двумя подшипниками

Когда на свободно опертой балке используются два подшипника, как это обычно бывает с направляющими круглого вала, приложенная нагрузка распределяется между двумя подшипниками, и максимальный прогиб происходит в двух местах: в месте расположения каждого подшипника , когда подшипниковый узел (иногда называемый кареткой или столом) находится в середине вала.

Изображение предоставлено: Thomson Linear

Расчет отклонения балки для этого условия:

Опять же, мы должны добавить отклонение из-за собственного веса балки плюс отклонение из-за приложенной нагрузки, чтобы получить общее отклонение:


Существуют дополнительные сценарии монтажа и нагрузки, которые могут встречаться в некоторых приложениях, например, в приводе с фиксированной опорой на обоих концах. Но, как и в приведенных выше примерах, их можно оценить с помощью стандартных уравнений отклонения балки.Полный список сценариев поддержки балки и уравнений прогиба см. на этой странице Корнельского университета.

Автор изображения: wikipedia.org

Отклонение пучка – обзор

7.3.4 Модель пучка Тимошенко для многостенной углеродной нанотрубки

Механический отклик многооболочечной решетчатой ​​структуры МУНТ включает сдвиговую деформацию в дополнение к изгибу, растяжению или сжатию. Поэтому теоретические модели МУНТ должны включать возможность описания деформации сдвига удлиненных структур.Сплошные модели, способные описывать внутренний сдвиг в балочных конструкциях, представлены так называемой балочной теорией Тимошенко (Тимошенко, Гир, 1961). Модель пучка Тимошенко более сложна, чем обсуждавшаяся ранее модель пучка Эйлера, которую можно использовать для МУНТ малого диаметра с высоким аспектным отношением. Толстые МУНТ большого диаметра имеют большое количество внутренних стенок, которые могут срезаться при деформации. Поэтому необходимо использовать модель балки Тимошенко, чтобы описать возможную сдвиговую деформацию таких МУНТ.В этой модели прогиб w толстой балочной структуры МУНТ можно аппроксимировать формулой балки Тимошенко (Тимошенко и Гир, 1961): ,

, где F — приложенная изгибающая сила, I — момент инерции, I=2πhNTR3, G NT — модуль сдвига, а A NT 9012 — площадь поперечного сечения полой цилиндрической конструкции, где ANT=2πRNThNT, f s — геометрический коэффициент (10/9, для цилиндра).Модуль изгиба, ENTb, может быть аппроксимирован модулем Юнга, E NT , когда межтрубный сдвиг мал по отношению к размеру углеродного кольца, a .

Модуль сдвига, G NT , и модуль Юнга, E NT , МУНТ и их эффективная толщина, h NT , могут быть оценены и Гир, 1961):

(7.11)ωi=βi2LNT2RNTEIρπ[(1+hNT2RNT)2−(1−hNT2RNT)2]−1/2

и фононы решетки в МУНТ, например, поперечные колебания в свободно-свободном полом цилиндре (Тимошенко, Гир, 1961). ):

(7.12) ωt, n = πnlntentρnt

и круговой хиральный сдвиг или скручивание:

(7.13) ωc, n = πnlntgntρnt,

, где ω T, N — частота n th-гармоника поперечных фононов, ρ NT плотность около 1.3 г/см 3 , ω c,n – частота n -й гармоники закручивающих фононов киральной решетки, n= 1, 12, 9000. Обратите внимание, что для линейного упругого изотропного материала: ωt,n/ωc,n=2(1+ν) и ωt,n/ωc,n=E/G. Для линейно-упругого изотропного материала модуль сдвига G равен G=E/2(1+ν), где ν — коэффициент Пуассона. Частота колебаний свободно защемленной балки (Тимошенко, Гере, 1961) составляет

(7.14)ωL,n=βn2EIκL4,

, где βn2 – коэффициент n -й гармоники, а κ – объемный модуль.

Теория балки Тимошенко 1 может быть использована для анализа бокового прогиба МУНТ под действием осевого напряжения и бокового давления (Тимошенко и Гир, 1961; Шамес и Дым, 1985; Чжан и др., 2006; Ру, 2000). , 2001), с поправочными коэффициентами на сдвиг K i , для i -й решетчатой ​​оболочки

(7.15)Ki=6(1+ν)[(7+6ν)+(20+12ν)(1−12hNTRNT)2]−1

Обратите внимание, что отношение эффективного модуля изгиба ENTb в формуле (7.10) а модуль Юнга таков, что

ENTbENT∝[(1+12hNTRNT)4−(1−12hNTRNT)4].

В соответствии с балочной моделью Тимошенко для МУНТ с шарнирным концом критическое осевое напряжение σ x определяется выражением

π2n2LNT2)−1,

, где T s — параметр поперечного сдвига: 1 — для приближения сдвига Тимошенко и 0 — для балочной модели Эйлера без сдвига; k — жесткость внешней оболочки, такая, что боковое давление p описывается выражением p=−k ( w · n ), с вектором нормали N , а прогнозируемое боковое отклонение луча, W = ( W x , y y ) 🙁

1 W
· N ) =w r , т.е.е., нормальное радиальное отклонение. Модель оболочки Тимошенко представляет собой двумерное обобщение теории балки Тимошенко с учетом приближения поперечного сдвига.

Прогиб балки – Дополнение по сопротивлению материалов для энергетики

Прогиб

Цели обучения

По завершении этой главы вы сможете вычислить:

  • Радиус кривизны отклоненной балки с использованием теоретических соотношений
  • Максимальный прогиб свободно опертой балки
  • Максимальное отклонение различных балок с использованием метода формул и приложений к учебнику

Упругие свойства материалов количественно определяются через их модуль упругости.Все материалы в той или иной степени эластичны, например сталь Е ≈ 210 ГПа, чугун Е ≈ 160 ГПа, алюминий Е ≈ 70 ГПа, бетон Е ≈ 40 ГПа. В реальных ситуациях балки, подверженные внешним нагрузкам, будут прогибаться пропорционально изгибающему моменту и обратно пропорционально их жесткости. Общая жесткость балки может быть выражена как E×I c , где E можно рассматривать как жесткость материала, а I c как жесткость поперечного сечения или геометрическую жесткость.

Радиус кривизны

Ознакомьтесь с выводом прогиба балки, подробно описанным в главе 10 учебника. В практических ситуациях деформация балки очень мала по сравнению с ее длиной, и в результате радиус кривизны относительно велик.

Этот радиус кривизны можно рассчитать с помощью

где:

  • E — модуль упругости (сопротивление, обусловленное свойствами материала)
  • I c — момент инерции относительно центральной оси (сопротивление из-за геометрии сечения)
  • M — изгибающий момент в интересующем сечении

Если балка нагружена таким образом, что изгибающий момент постоянен в сечении балки (горизонтальная линия на диаграмме BM), то отклонение представляет собой дугу окружности, а радиус кривизны постоянен.

Найдите минутку и проанализируйте приведенную выше формулу… увеличение жесткости балки (E×I c ) уменьшит прогиб (большое R), в то время как больший изгибающий момент приводит к меньшему радиусу кривизны (большему прогибу/провисанию).

Прогиб балки

Рассмотрим свободно опертую балку, как показано на рисунке выше. Как только радиус кривизны найден, максимальное отклонение (в середине пролета) можно легко рассчитать геометрически следующим образом:

Метод формулы для простых случаев

Формула радиуса кривизны действительна только для случаев, когда изгибающий момент постоянен.В других случаях для определения отклонения балки используются геометрические методы или методы, основанные на интегрировании. Результаты этих расчетов, представленные в алгебраической форме, приведены в инженерном справочнике формул. Наиболее распространенные случаи обобщены в Приложении F к учебнику

.

При использовании готовых формул необходимо сначала согласовать геометрию балки и нагрузку с одним из заданных случаев. Если вы имеете дело с более сложной нагрузкой, такой как точечные нагрузки, накладываемые на распределенную нагрузку, вы можете проанализировать две нагрузки по отдельности, а для общего прогиба просто добавить составляющие.

Назначенные проблемы

Для каждой задачи определите максимальное отклонение с помощью уравнений балки и сравните со значением, найденным с помощью радиуса кривизны.

# Дело: Загрузка и размеры Форма и материал
Проблема 1  
  • P = 50 кН
  • а = 2 м; б = 3,5 м
  • Ш 200×59
  • AISI 1040, холоднокатаный
Проблема 2  
  • P = 5000 фунтов.
  • а = 2 фута
  • Д = 10 футов
  • Труба 6″ Ш. 40
  • SS 304, холоднокатаный
Проблема 3  
  • ширина = 250 фунтов/фут
  • Д = 35 футов
  • Ш 12×30
  • Алюминий 6061-T6
Проблема 4  
  • w = 4400 Н/м
  • а = 4 м; б = 8 м
  •  Труба Ду 102, Ш 80
  • AISI 1020, холоднокатаный

Проблема 5: Порекомендуйте одно улучшение в этой главе.

 

Прогиб балок

Расс Эллиотт

Благодарности : Существует ряд стандартных работ, посвященных принципам отклонения балки. Особенно хорошее изложение, на котором основаны приведенные здесь уравнения, содержится в Mechanics of Materials (Fourth SI edition) , by JM Gere and SP Timoshenko, Stanley Thornes, ISBN 0 7487 3998 X. Следует сделать ссылку на эта работа для вывода уравнений.

Введение

Прогиб пружинной балки зависит от ее длины, формы поперечного сечения, материала, места приложения отклоняющей силы и способа поддержки балки.

Уравнения, приведенные здесь, относятся к однородным линейно-упругим материалам, когда вращение балки мало.

В следующих примерах рассматриваются только нагрузки, действующие в одной точке или в отдельных точках – точка приложения силы F на схемах предназначена для обозначения модели локомотива (или буксы транспортного средства), способной двигаться вертикально в направляющей и противодействующей силе пружинной балки, прикрепленной к главной раме локомотива или транспортного средства или переносимой ими.Доля общей массы, действующей на каждую ось локомотива или транспортного средства, будет зависеть от положения его центра тяжести по отношению к оси (или точкам крепления уравновешивающих балок на шасси, где они используются).

Заявка на модели локомотивных валов

Как видно из уравнений, толщина материала ( h или d ) очень важна, и, следовательно, дополнительные размеры в диапазоне доступных гитарных струн делают их очень привлекательными для использования в качестве пружинные балки.Существует также значительная разница в отклонении балки при заданной силе в зависимости от того, как она поддерживается и фиксируется, а также от того, поддерживается ли она только одним концом или обоими концами.

Предлагается, чтобы проектирование основывалось на заданном отклонении рогового блока, а затем определялось, какая длина, толщина и форма балки наиболее подходят для конкретной силы, воспринимаемой каждой осью.

Для локомотивов, вес которых составляет от 4 до 6 граммов на тонну прототипа, массы, которые должны поддерживаться каждым отдельным крашневым блоком локомотива, вероятно, попадают в диапазон от 30 до 60 граммов (соответствует загрузке прототипа от 14 до 20 тонн на тонну). оси).

Выбор значения отклонения

Для оптимальной 4-миллиметровой мелкой колеи рекомендуемое значение прогиба гребня, δ , при конечной нагрузке локомотива составляет 0,5 мм.

Вышеупомянутая рекомендация, как известно, является чрезмерно упрощенным и, возможно, неверным предположением о том, каким должно быть расчетное значение прогиба, и вызвала серьезные споры. Приветствуется любой опыт применения этой рекомендации к реальной практике моделирования шасси — цель этой статьи — начать обсуждение, а не завершить его.Нажмите здесь для первоначального изучения вопросов по этому вопросу.

Момент инерции,

I
Момент инерции прямоугольного сечения

I = чб 3 ∕ 12

где h — размер в плоскости изгиба, т.е. в оси, в которой приложен изгибающий момент


Момент инерции круглого сечения

I = π r 4 ∕ 4 = π d 4 ∕ 64

, где r и d — радиус и диаметр соответственно

Все приведенные ниже уравнения содержат I , момент инерции балки, который является константой, определяемой формой и толщиной поперечного сечения балки.Момент инерции не зависит от длины или материала балки. Здесь рассматриваются только прямоугольные и круглые сплошные сечения.

Пояснение к схемам отклонения и обозначениям

На схемах показаны два типа опор, неподвижные и простые. На неподвижной опоре балка удерживается жестко, а угловой прогиб в точке крепления равен нулю. На простой опоре балка может скользить по опоре и вращаться в зависимости от силы, приложенной к балке.

л = длина балки
a = промежуточная длина луча
δ = прогиб балки
F = сила (то есть доля веса локона, сопротивляемой Axlebox)
E = модуль Юнга
I = момент инерции балки

Уравнения и диаграммы прогиба

Примечание к диаграммам и уравнениям .Приведенные здесь диаграммы были перевернуты по сравнению с их обычным представлением в учебнике, чтобы отразить их применение для моделей локомотивов и букс транспортных средств. Однако, в то время как уравнения для отклонения были сохранены в соответствии с их представлением в учебнике, нормальные знаки (+ или -, чтобы указать отклонения по вертикальной оси 90 516 y 90 517 от базовой линии балки) были проигнорированы, как нас здесь интересует. только с абсолютным значением прогиба луча.

Торцевая нагрузка на консольную балку с одной фиксированной опорой

δ = FL 3 ∕ 3 EI

Это уравнение следует также использовать для отклонения балансира, вращающегося вокруг фиксированной оси и опирающегося на два рожковых блока по обе стороны от оси поворота.

Двойные нагрузки на балку с двумя простыми опорами
(примеры применения этой конфигурации)

Применение этого было бы для двух блоков рога, прижимающихся к одной балке. Отклонение на расстоянии на расстоянии A от соседней поддержки:

δ = FA 2 (3 L — 4 A ) / 6 Ei

Висячая нагрузка на балку, ограниченную двумя простыми опорами

    δ = Fa 2 ( L + a ) ∕ 3 EI

Промежуточная/центральная нагрузка на балку с одной неподвижной и одной простой опорой

Отклонение на расстоянии A из фиксированной поддержки:

Δ = FA 3 ( L A ) 2 (4 л A ) ∕ 12 EIL 3

Для нагрузки в центре балки, заменив a = L ∕ 2 в приведенном выше уравнении, прогиб будет:

    δ = 3.5 Флорида 3 ∕ 384 EI

Центральная нагрузка на балку с двумя фиксированными опорами

δ = δ = FL 3 /192 EI 7 EI

с нагрузкой в ​​центре, прогиб на расстоянии A от фиксированной поддержки
(где

5
A меньше больше или равно L  ∕ 2 ):

    δ = Fa 2 (3 L – 4 a ) ∕ 48 EI 3 3 3

Промежуточная нагрузка на балку с двумя фиксированными опорами

Отклонение на расстоянии A из фиксированной поддержки:

δ = 2 FA 3 ( L A ) 2 /3 EI (2 a + L ) 2

Значения модуля Юнга,

E
Бериллиевая медь 124 ГПа 1
Латунь, твердый сплав 70/30 117.2 ГПа
Латунь, не указанная от 96 до 110 ГПа
Нейзильбер 132,5 ГПа (127 ГПа 1 )
Бронза фосфористая, 5%, твердая 131,8 ГПа
Фосфористая бронза (92%Cu/8%Sn или CuSn8)   111 ГПа 1
Сталь мягкая или инструментальная 212 ГПа
Сталь мягкая, низкоуглеродистая 210 ГПа
Сталь мягкая (закаленная) 201.4 ГПа
Сталь, нержавеющая сталь 215,2 ГПа (190 ГПа 1 )
Сталь инструментальная (закаленная) 203,2 ГПа

Следует отметить, что это теоретические значения.

Типичное значение для стальной гитарной струны может быть принято равным 205 ГПа.

Существуют различия в значениях, указанных для фосфористой бронзы: может показаться, что они будут зависеть от того, относится ли материал к типу «пружинного отпуска» или «дополнительного отпуска» фосфористой бронзы 92% Cu/8% Sn. обычно используется в переключателях snap-over.

1    Шигли, Проектирование машиностроения, 1980, McGraw Hill

Примечания по единицам измерения и размерам

1 Па = 1 Н·м -2 = 10 -6 Н·мм -2 = 10 -6 кг·м·с -2 ·мм -2 = 1 г· мм -1 · с -2

Чтобы получить силу F в вышеприведенных уравнениях массу надо умножить на гравитационную постоянную г (9.81 м·с -2 , или нам удобнее 9810 мм·с -2 )

Размеры модуля Юнга E составляют ML -1 T -2
Размеры силы F составляют L 2 ML -1 T -2 = MLT -2
Размеры момента инерции I L 4

© Расс Эллиотт

впервые опубликовано 19 апреля 2000 г.;
небольшая редакционная редакция, август 2001 г.;
скорректировано уравнение для промежуточной нагрузки на балку с двумя неподвижными опорами и повторно выражено уравнение прогиба для промежуточной/центральной нагрузки на балку с одной неподвижной и одной простой опорой, январь 2005 г.; Схема
для свисающей нагрузки на балку, ограниченную двумя простыми опорами, пересмотренная, 8 октября 2009 г .;
исправлено уравнение промежуточной нагрузки на балку с двумя неподвижными опорами, 30 декабря 2010 г.

(Прогиб — TotalConstructionHelp)

Балки и перемычки на самом деле просто балки.

Балка – это конструктивный элемент, обычно располагаемый горизонтально и способный выдерживать нагрузки, в первую очередь за счет сопротивления изгибу. Изгибающая сила индуцированных в материале балки в результате нагрузок, включающих ее собственный вес (вес балки) и дополнительные нагрузки (другие нагрузки, называемые динамическими нагрузками). и неподвижные грузы, такие как люди и мебель). Эти нагрузки производят то, что называются изгибающими моментами в балке, а также могут иметь изгибающие моменты в каждой поддерживаемый конец, когда концы закреплены на торцевых опорах.Фиксированный означает, что они прикреплены таким образом, что часть нагрузки на балку приходится на переносятся на торцевые соединения (такие как стены или колонны).

Балки бывают разных размеров и форм. Они, как правило, либо однородны или композитный. Однородный пучок — это пучок из одного материала, например, дерево или сталь. Композит – это материал, изготовленный из разных материалов, таких как как, бетонная балка со стальной арматурой.

Некоторые типы балок:

Нагрузка на балку и опоры:

Все это может показаться чрезмерным, но это не так.

Некоторые эксперты говорят, что инженерия состоит на 80% из логики и на 20% из приложений. Некоторые могут обсудить это. но здесь мы предоставим вам основную инженерную информацию и приложения, которые вы не всегда можете найти доступными.

Пока балки нагружены по-разному. Свободно опертая балка представляет собой обычно используемый луч (как показано выше).

Ниже вам будет показано, как все это работает и как выбрать балку (деревянную или сталь).

Мы также коснемся выбора бетонной балки в разделе Балка.



Простая опорная равномерно распределенная балка с уравнениями и решениями:





В приведенном выше примере есть шаги, необходимые для выбора и проектирования дерева. Луч. Если вы хотите выбрать и спроектировать стальную балку, шаги будут такими: такой же.Есть несколько вещей, которые меняются, например, напряжение на изгиб в Материал, момент инерции, модуль упругости и сечение Модуль. Все остальные уравнения были бы такими же, если бы у вас было то же самое. нагрузка (W) и пролет (L).

Обычные этапы проектирования балки:

  1. Решите, какой материал вы хотите использовать (дерево или сталь). мы не проектируем Бетонные балки в разделе сайта.
    1. Если загрузка будет Тяжелой, вы можете использовать Сталь, так как она иметь возможность воспринимать большую нагрузку на тот же пролет.
    2. Если пролет короткий, вероятно, лучше использовать дерево.
    3. Полевые условия иногда диктуют, что лучше использовать.
  2. Определите, какие нагрузки будут воздействовать на балку.
    1. Нагрузка обычно берется из СНиП. Кодекс содержит список каковы минимальные нагрузки для большинства видов использования. В жилых помещениях Кодекс обычно требует, чтобы для чего использовалось минимум 40 фунтов на квадратный фут. называется жилыми помещениями. Будьте осторожны, потому что Код имеет гораздо большую загрузку Требования к балконам и лестницам. Дается ссылка на СНиП в разделе строительных норм и правил данного веб-сайта.
    2. Иногда бывают условия загрузки, которые больше, чем указано в Кодексе. Имейте в виду, что Кодекс предусматривает минимальные требования, и вы можете превысить минимум.
  3. Проверьте пролет (длину) и то, что будет поддерживать балку на каждом конце.
    1. Пролет — это расстояние между одной опорой и другой опорой на каждом конце. Луча.
  4. Как только у вас будет вся вышеуказанная информация, вы начнете Actual Beam. Дизайн.
    1. Уравнение Общая нагрузка = W x L предназначено для определения общей нагрузки на балку.
    2. Получив общую нагрузку на балку, ее нужно разделить на 2, чтобы определить нагрузка, которая передается на каждый конец балки, которая переносится либо на стена или колонна.Это важно, так как вам нужно убедиться, что стена или колонна может нести нагрузки.
    3. Получите Момент, должен быть получен Максимальный Момент, по этой причине Моменты в других точках вдоль Луча не учитывались. Мы хотим, чтобы Beam быть разработан для максимальной безопасности. Для свободно опертой балки с Равномерно распределенная нагрузка M = WL 2 /8.
    4. Пока у нас есть Загрузка и Момент для Балки. Теперь нам нужно знать если луч будет деревянным или стальным. Если Луч – это Дерево, то, в зависимости для типа древесины типичное fb (напряжение при изгибе) может варьироваться от 1000 фунтов на квадратный дюйм (фунт на квадратный дюйм) до 1200 psi. Как правило, консервативное значение будет около 1000 фунтов на квадратный дюйм, если вы используете пихту или болиголов, это также можно получить из Строительного кодекса, для различных пород древесины.Точно так же, если вы намерены для использования стали, тогда значение Fy = 36000 Steel будет равно fb = 24000 фунтов на квадратный дюйм (где, fb = 0,66 x Fy). Как видно, Сталь стоит 24000, а Дерево 1000, что указывает на то, что сталь примерно в 24 раза прочнее дерева при изгибе. Что также указывало на то, что стальная балка будет меньше деревянной. Так если у вас ограниченное пространство, стальная балка может быть лучшим выбором.
    5. Теперь нам нужно вычислить Sx (модуль сечения), требуемый кодом. Этот делается с помощью уравнения Sx = M / fb. У нас есть М (Момент) из нашего вычисления. Просто примените расчеты. Этот расчет и есть требуется и должно быть минимально допустимым. Вы можете выбрать деревянную балку из Таблицы сечений древесины, которая доступна в большинстве руководств по дереву или из наш веб-сайт, или вы таким же образом выбираете стальную балку.Естественно, вы можете выбрать деревянный элемент, а затем рассчитать модуль сечения для этого Член, как показано в примере. Модуль сечения должен быть равен или больше чем вычисленный модуль сечения.
    6. Остался последний шаг — найти отклонение луча, вызванное загрузка. Когда вы нагружаете балку, она изгибается вниз, и это вертикальное смещение вниз называется прогибом и измеряется в дюймов (или мм).Как видно из примера, мы вычислили Максимум Прогиб в центре балки. В примере максимальное отклонение разрешено контролируется Кодексом. Различные допустимые отклонения показаны на пример. Чтобы вычислить отклонение, нам нужна дополнительная информация, который равен E (модулю упругости) материала и I (моменту упругости). Инерция) для выбранного элемента. (См. раздел «Расчет момента инерции»). на этом веб-сайте)
      Модуль упругости (E) древесины колеблется в пределах 11

      , для этих Например, было использовано значение 119000.Если используется сталь, то значение E будет около 2

      00, как показано в примерах.
      Момент инерции (I) будет либо рассчитан, либо выбран из таблиц. предоставлено или вычислено. (См. раздел «Расчет момента инерции»)
      Допустимый прогиб: опорные полы и потолки L/360, опорные Крыши с уклоном менее 3 из 12 L/240 и несущие крыши больше чем 3 в 12 наклон L/180.L = пролеты, например: 12 футов, умножить 12 футов на 12 дюймов = 144 дюйма, разделенных на 360, 240 или 180, в зависимости от того, что применимо.

    7. Наконец, сравните расчетное отклонение с допустимым отклонением. Если Расчетное отклонение больше, чем допустимое отклонение, то вы должны выберите элемент балки большего размера и выполните повторный расчет.


Простая балка с сосредоточенной нагрузкой на опорной точке с уравнениями и решениями:



Прогиб балки

Балка – конструктивный элемент, способный выдерживать большие нагрузки при изгибе.В случае малых прогибов форму балки можно описать линейным дифференциальным уравнением четвертого порядка.

Рассмотрим вывод этого уравнения. Для изгибающейся балки угол \(d\theta\) возникает между двумя соседними сечениями, отстоящими друг от друга на расстоянии \(dx\) (рис. \(1\)).

Рис. 1.

Деформация \(\varepsilon\) в каждой точке пропорциональна координате \(y,\), отсчитываемой от нейтральной линии. Длина нейтральной линии неизменна.

Из геометрии рисунка \(1\) следует, что

\[\varepsilon = \frac{y}{R},\]

где \(R\) — радиус кривизны балки.2}}}{2} = 0.4}}} = д.\]

Данное уравнение при соответствующих граничных условиях определяет прогиб нагруженной балки.

См. решенные проблемы на стр. 2.

Моделирование отклонения балки

ВВЕДЕНИЕ:
Это симулятор/калькулятор отклонений балки с использованием теории балки Эйлера-Бернулли.
Раздел INPUT содержит общие элементы управления для моделирования.
Раздел BEAM EDITOR содержит элементы управления для проектирования балки.
Раздел УРАВНЕНИЯ содержит уравнения, используемые для создания диаграмм.


Элементы управления:

  • — Тип балки: Это выпадающее меню изменяет сценарий для моделирования/расчета.
  • — Кнопки масштабирования: Обе кнопки регулируют уровни масштабирования диаграммы, чтобы графики были видны.
  • — «диаграмма» Масштаб: Изменяет уровень масштабирования связанной диаграммы.
  • — Нагрузка ( F ) (кН): Изменяет значение точечных нагрузок.
  • — Распределенная нагрузка ( с ) (кН/м): Изменяет значение распределенных нагрузок.
  • — Момент ( M 0 ) (кНм): Изменяет значение моментов.
  • — Положение нагрузки ( и ) (м): Изменяет положение различных грузов.
  • — Длина балки ( L ) (м): Изменяет длину луча.
  • — Момент инерции ( I ) (мм 4 ): Изменяет момент инерции балки относительно нейтральной оси.
  • — Модуль Юнга ( E ) (ГПа): Изменяет модуль Юнга балки.

About Author


alexxlab

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.