Расчет трехшарнирной арки: Порядок расчета трехшарнирной арки | ПроСопромат.ру – Расчет трехшарнирной арки | ПроСопромат.ру

Порядок расчета трехшарнирной арки | ПроСопромат.ру

Трехшарнирная арка

Трехшарнирная арка

  1. Определение опорных реакций в арке.

Арку решают совместно с балкой. То, что относится к арке, обозначается просто, а то, что к балке – с индексом «0».

Балку берут того же пролета и той же нагрузки. А в балке возникают только вертикальные реакции.

Определим вертикальные реакции для арки:

2018-12-27_18-51-25

Для балки результат такой же. Вертикальные реакции и в балке, и в арке одинаковые.

2018-12-27_18-52-05

Чтобы определить горизонтальные

реакции, проецируем все силы на ось Х.2018-12-27_18-52-45

Чтобы найти распор, воспользуемся известным свойством шарнира С.

Составим уравнение

2018-12-27_18-53-32

Теперь сносим сечение С на балку (шарнир сносить нельзя, балка будет мгновенно изменяема). Ищем момент относительно сечения С.

2018-12-27_18-54-32  Это  момент в  балке в сечении С под шарниром.

Сравним с формулой НА. Тогда:

2018-12-27_20-25-34

Т.о. распор (и усилие в затяжке при ее наличии) обратно пропорционален стреле подъема арки.

  1. Определение внутренних силовых факторов в арке.

Делаем в арке сечение 1-1 и определяем в нем М1. Если в балке менялось расстояние по горизонтали, то в арке меняется и по вертикали – по оси у.

2018-12-27_20-26-46

Спускаем сечение 1-1 на балку и определяем момент в этой точке.

2018-12-27_20-27-30

Сравниваем формулы и получаем формулу для определения изгибающего момента М в арке:

2018-12-27_20-28-05

В арке изгибающий момент меньше, чем в балке —  арка экономичнее по материалу.

Формула для определения продольной силы N:

2018-12-27_20-28-55

Формула для определения поперечной силы Q:

2018-12-27_20-29-37

Для расчета арок требуется знать уравнение криволинейной оси арки. Оно зависит от ее очертания. Уравнения криволинейных осей арок смотреть — здесь.

 

Расчет трехшарнирной арки | ПроСопромат.ру

Задача. В трехшарнирной арке параболического очертания определить внутренние силовые факторы в точках, взятых через 2 м по линии пролета.

2019-01-01_18-48-26

1. По уравнению, которое выражает геометрические очертания оси арки, вычисляем ординаты (уi) точек, а также соответствующие этим ординатам острые углы (αi) – это углы между нормалями к сечениям арки и горизонталью, а также тригонометрические функции этих углов – sinαi, cosαi.

Очертание арки параболическое, смотрим уравнение для оси арки — здесь.

Уравнение для параболы:

2019-01-01_18-51-09

Рассчитываем ординаты для всех точек.

Начало прямоугольной системы координат положим в

т.А (левая опора), тогда хА=0, уА=0

2019-01-01_18-52-22

По найденным ординатам строим арку в масштабе.

Теперь определим углы и их тригонометрические функции.

Формула для параболы:

2019-01-01_18-53-37

Для точек А и В:

2019-01-01_18-56-03

Представим арку в виде простой балки и определим балочные опорные реакции (с индексом «0»).

2019-01-01_18-56-58

Распор Н определим из уравнения относительно т. С, используя свойство шарнира.

2019-01-01_18-57-57

Далее спроецируем все силы на ось Х.

2019-01-01_18-58-38

Таким образом, реакции арки:

2019-01-01_18-59-04

Для того, чтобы проверить правильность найденных реакций составим уравнение:

2019-01-01_18-59-51

  1. Определение
    поперечной силы
    Q по формуле:

2019-01-01_19-01-04

К примеру, для т. А:

2019-01-01_19-02-04

Определим балочные поперечные силы во всех сечениях:

2019-01-01_19-02-40

Тогда арочные поперечные силы:

2019-01-01_19-03-34

3.Определение изгибающих моментов в арке по формуле:

2019-01-01_19-04-17

Определим

балочные изгибающие моменты:

2019-01-01_19-06-09

Тогда арочные изгибающие моменты:

2019-01-01_19-06-59

4.Определение продольных сил в арке по формуле:

2019-01-01_19-08-10

Строим эпюры внутренних силовых факторов.

Эпюры внутренних силовых факторов в арке

Эпюры внутренних силовых факторов в арке

 

Расчет трехшарнирной арки | ПроСопромат.ру

Для сплошной трехшарнирной арки  требуется аналитически определить моменты, поперечные и нормальные силы в   сечениях К1 и К

2 от действия постоянной нагрузки.Арка очерчена по окружности. Дано:

2015-01-11 14-53-00 Скриншот экрана

 2015-01-11 14-51-16 Скриншот экрана

Решение:

1) Определение реакций в трехшарнирной арке

Вертикальные реакции в арке определяются так же, как в балке. 

2015-01-11 14-54-30 Скриншот экрана

Горизонтальные реакции HA, HB  (распор) определяются как сумма моментов вокруг шарнира С правой и левой части арки, где   

f – стрела подъема арки.

2015-01-11 14-56-12 Скриншот экрана

2) Определение усилий в арке

При очертании арки по окружности находим необходимые геометрические размеры арки:

— радиус кривизны арки: 2015-01-11 14-57-37 Скриншот экрана

— ординаты сечений К1 и К2

2015-01-11 14-58-37 Скриншот экрана

— синус и косинус угла наклона касательной в сечениях  К1 и К2:

2015-01-11 15-00-11 Скриншот экрана

а) рассматриваем сечение К1

2015-01-11 15-02-49 Скриншот экрана

б) рассматриваем сечение К2

2015-01-11 15-04-39 Скриншот экрана

 

 

Запись опубликована автором admin в рубрике Строительная механика.

Расчет трехшарнирных систем — Лекции и примеры решения задач технической механики

Рассмотрим общий порядок расчета внутренних силовых факторов в трехшарнирных системах.

Решение традиционно начинается с расчета реакций в опорах.

Определение опорных реакций

При действии внешней нагрузки (сосредоточенных сил Рi, и распределенных нагрузок qi) на трехшарнирные системы, в каждой из опор возникают по две реакции: вертикальные — VA (YA), VB (YB) и горизонтальные (распор) – НA(XA), НB(XВ) (рисунок 3.27).

Определение опорных реакций в таких системах производится с помощью составления уравнений равновесия.

Рисунок 3.27 – Трехшарнирная арка

Наряду с тремя основными уравнениями статики для всей системы:

необходимо записать четвертое уравнение, выражающее условие равенства нулю изгибающего момента Мс в замковом шарнире «С»:

Определение опорных реакций таким способом довольно затруднительно, так как в ряде случаев приходится решать систему из четырех линейных уравнений.

При действии на трехшарнирную конструкцию только обычной вертикальной нагрузки, определение опорных реакций несколько упрощается.

Рассмотрим определение опорных реакций при действии только вертикальной нагрузки на примере трехшарнирной арки.

Арка с опорными шарнирами, расположенными на одном уровне

Рисунок 3.28 – Пример расчета трехшарнирной арки

Для определения опорных реакций VA, VB, НA, НB в арке составим упомянутые выше уравнения равновесия:

Получаем, что выражение для опорной реакции VB в арке совпадает с аналогичным выражением в балке на двух шарнирных опорах того же пролета загруженной той же вертикальной нагрузкой.

Воспользуемся нулевым индексом для обозначения величин, характеризующих эту простую балку.

2) Опорную реакцию VA можно определить из условия ∑Yi= 0
или ∑МB=0;

∑МB= 0; VA× L − ∑Рi ×
bi =0; VA = (Рi × bi) / L = VAo

Делаем такой же вывод: определение VB аналогично определению VB°.

∑хi = 0; НA− НB= 0; НA= НB = Н.

При действии лишь вертикальной нагрузки Рi, горизонтальные опорные реакции (распор) равны между собой.

3) Для определения величины распора Н от действия внешней нагрузки составим четвертое уравнение:

Построим для приведенной схемы простой балки эпюру М, на которой величина момента под шарниром «С» равна:

Мc0=VA× L/2 −∑Рi × (L/2−ai) − H×f = 0

Следовательно, последнее уравнение равновесия, выраженное через момент М, будет иметь вид: Мc0 −H×f = 0, H = Мc0/ f.

Таким образом: величина распора арки (рамы) при действии вертикальной нагрузки равна балочному моменту в сечении под замковым шарниром «С», уменьшенному в f раз.

Полученная формула справедлива при действии вертикальных сосредоточенных сил и распределенных нагрузок, как в арках, так и в трехшарнирных рамах.

Если трехшарнирная система имеет приподнятую затяжку, то претерпевает изменение только знаменатель:

H = Мc0/ (f-t),

где t — расстояние от оси затяжки до линии, соединяющей опорные шарниры (рисунок 3.29)

Рисунок 3.29 – Трехшарнирная рама с затяжкой

Расчет внутренних усилий

Определим величину и направление внутренних силовых факторов в трехшарнирной арке при действии вертикальной нагрузки

Для составления выражений внутренних усилий в трехшарнирной арке рассмотрим равновесие ее отсеченной части, расположенной слева от сечения.

а) Выражение для изгибающего момента Мк

Рисунок 3.30 – Отсеченная левая часть арки

τ − ось, касательная к очертанию арки в точке «К»;

σ- ось, перпендикулярная к оси в точке «К»;

М, Q, N — внутренние усилия, направленные согласно соответствующим правилам знаков.

Составим уравнение равновесия для отсеченной части относительно точки «К»:

∑Мк = 0; VA × xк−∑ Рi × (xк − ai) − H × yк − Мк= 0.

Выделяя из этого уравнения Мк и учитывая, что:

VA × xк−∑ Рi × (xк − ai) = Мкo,

получим:

Мк= Мкo − H × yк

Анализируя это выражение можно заметить, что арочные системы рациональнее балочных, вследствие некоторого уменьшения величины балочного момента М за счет возникающего распора Н.

б) Выражение для поперечной силы Qк

Для отсеченной части составим сумму проекций всех сил на ось:

∑ σi = 0: −Qк + (VA−∑ Рi) × Соs αк− Н × Sinαк = 0;

Выделяя Qк, с учетом того, что VA − Рi = Qко, окончательно получим:

Qк = Qко × Соs αк − Н × Sinαк.

в) Выражение для продольной силы Nк

Для отсеченной части составим сумму проекций всех сил на ось:

∑ τi= Nк + Н × Соs αк + (VA−∑ Рi) × Sinαк= 0;

Выделяя Nк, с учетом того, что VA − Рi = Qко, окончательно получим:

Nк = − Qко × Sinαк − Н × Соs αк.

Рациональное очертание для трехшарнирной арки

Рациональным очертанием оси арки является такое, при котором момент в любом ее сечении равен нулю.

Так в предыдущем пункте, при действии вертикальной нагрузки, нами было получено следующее выражение для момента: Мк= Мкo − H × yк

Положив это выражение равным нулю и выделяя выражение для ординаты yк, будем иметь:

yк = Мкo / Н = Мкo × f / Мco

Анализ полученной формулы показывает:

− уравнение рациональной оси арки определяется видом нагрузки;

− при вертикальной нагрузке ось арки будет рациональной, если ее очертание меняется по закону изменения балочного момента.

Рассмотрим пример по определению рационального очертания арки, загруженной по длине равномерно распределенной нагрузкой.

Для произвольного сечения «К» с координатами yк, xк имеем: yк = Мкo / Н

Рассматривая равновесие по моментам левой отсеченной части, получим: М (x) = q × L × x/ 2 − q × x2/ 2

Рисунок 3.31 – Определение рационального очертания оси арки

Таким образом, рациональной осью для арки, загруженной равномерно распределенной нагрузкой по всему пролету является квадратная парабола.

Это объясняется тем, что постоянная нагрузка на арку и ее собственный вес составляют большую долю от общей нагрузки.

Как известно, эти виды нагрузок близки к равномерно распределенным.


Приложение 1. Пример расчета трехшарнирной клееной арки кругового очертания.

Конструирование арок.

Конструктивное решение: трехшарнирная клеедеревянная арка кругового очертания постоянного прямоугольного сечения без затяжки. Пролет — 15м. Высота — 4.85м. Материал — древесина 2 сорта. Шаг арок – 3м. Район строительства — Тюмень.

Определение геометрических размеров (рис. 1).

Начало прямоугольных координат принимается в центре левого опорного узла арки.

Определяем радиус арки:

r = (l2+4f2)/(8f)=(152+4*4.852)/(8*4.85)=8.22 м.

Длина дуги арки:

S=

Центральный угол дуги полуарки:

sin=l/(2r)=15/(2*8.22)=0.9, этому соответствует =660; cos=0.41;

Рис. 1. К расчету круговой арки.

Сбор нагрузок.

Собственный вес арки:

==11.27 кг/м2,

где gн – нормативная нагрузка от покрытия, кровли и утеплителя;

рн – нормативная снеговая нагрузка;

ксв – коэффициент собственного веса (для арок принимается равным 4-5)

Табличный сбор нагрузок без учета криволинейности элемента.

Таблица 1

Наименование нагрузок

Нормативная, кг/м2

Коэффициент надежности по нагрузке f

Расчетная, кг/м2

Кровля (металлочерепица)

5

1,2

5,25

Покрытие (рабочий досчатый настил t=35мм.)

15

1,1

16,5

Покрытие (досчатый настил t=25мм.)

10,5

1,1

11,55

Утеплитель δ=100мм, 2 слоя пароизоляции

20

1,2

24

Арка

11,27

1,1

12,40

Итого

q=61,77

q=69,70

Снег по [2] п. 5.2, табл. 4

126

180

Всего

qн =187,77

qр =249,70

Расчетная нагрузка с учетом разницы между длиной дуги арки и ее проекцией (S/l).

Постоянная =(5.25+16.50+11.55+24)*S/l=57.30*18.7/15=71.43 кг/м2

Временная р=с*р*2=0,4*180*2,25=162 кг/м2,

где с=l/(8f) – коэффициент снегозадержания для криволинейных покрытий.

Расчетная нагрузка на 1 п.м. арки:

Постоянная g=(71.43+12.40)*3.00=251.49 кг/м.

Временная р=162*3.00=486.00 кг/м.

Ветровая нагрузка не учитывается, т.к. разгружает конструкцию.

Вычисления усилий приводятся только в основных расчетных сечениях. Полупролет арки делитсяна четыре равных части, образующих пять сечений от x=0 до x=7,5 м. Согласно прил.3 п.2 [2] определяем координаты (х,у) дополнительного сечения арки, соответствующее φ=50. Координаты сечений, углы наклона касательных к оси полуарки в этих сечениях определяются по формулам:

у=

где Д=r-f=8.22-4.85=3.37м.

=arcsin((l/2-x)/r).

Геометрические величины оси левой полуарки.

Таблица 2

Координаты

0

0’

1

2

3

4

Х,м

0

1,203

1,875

3,75

5,625

7,5

У,м

0

1,914

2,624

3,945

4,633

4,85

φ

66

50

43

27

13

0

Статический расчет.

Сочетания нагрузок (рис.1 прил.2 методических указаний):

1. Постоянная + снег по всему пролету (по треугольно распределенной форме)

(см рис1а.)

2. Постоянная + снег слева (по треугольно распределенной форме) (см рис1б)

3. Постоянная + снег справа (по треугольно распределенной форме) (см рис1в)

а) от равномерно распределенной нагрузки по всему пролету (постоянной):

Определяем опорные реакции:

VА=VВ=ql/2=251.49*15/2=1886.18 кг.

Н=ql2/8f=251.49*152/8*4.85=1458.38 кг.

Определяем усилия:

Мх=VА=Бx-qx2/2-Hy;

Qx=(VA=Б-qx)cos-Hsin;

Nx=(VA=Б-qx)sin+Hcos;

б) От распределенной по треугольнику нагрузке на полупролете слева р=486.00 кг/м.

VА=5рl’/24=5*486.00*12.594/24=1275.14 кг.

VВ=рl’/24=486.00*12.594/24=255.03 кг.

Н=l’2*p/(48f)=12.2942*486.00/(48*4.85)=331.12 кг.,

где l’=l-2х=15.000-2*1.203=12.594 м.

На участке 0≤х≥l/2: На участке l/2≤х≥l:

Мх= VАx-px2/2+px3/(3l’)-Hy; Мх= VБ (l’-x) -Hy;

Qx=(VA-px+px2/l’)cos-Hsin; Qx=-VБcos+Hsin

Nx=(VA-px+px2/l’)sin+Hcos; Nx=-VБsin-Hcos;

Примечание:

1) при определении усилий Мх Qx Nx значения координаты (y) в сечениях принимаем согласно табл.2, значения координаты хn-1.203,

где хn–координата х в n сечении.

  1. при определении усилий в опорных шарнирах принимаем х=1.203 ; р=0

в) От распределенной по треугольнику нагрузке на полупролете справа р=486.00 кг/м.

Расчет выполняется аналогично п.б), при этом

VА=рl’/24=486.00*12.594/24=255.03 кг.

Vв=5рl’/24=5*486.00*12.594/24=1275.14 кг.

Н=l’2*p/(48f)=12.2942*486.00/(48*4.85)=331.12 кг.

г) Усилия от распределенной по треугольнику нагрузке на всем пролете определяются путем суммирования усилий от снеговых нагрузок на левом и правом полупролетах арки.

Вертикальная опорная реакция арки V определяется из условия равенства нулю изгибающего момента в противоположном опорном шарнире. Горизонтальная опорная реак­ция Н, численно равная распору арки без затяжки, определяется из условия равенства нулю изгибающего момента в коньковом шарнире.

Усилия в арке определяются методами строительной механики в основных расчетных сечениях. Промежуточные вычисления опускаются.

Результаты их сводятся в таблицу 3.

Эпюры усилий от сочетания нагрузок М, Q, N приведены в прил. 2 рис.2. методических указаний.

Усилия в сечениях арки

Таблица 3

Сечение

Усилия

от постоян-ной нагрузки

От снеговой по треугольно распределенной форме.

треугольной распределенной

Расчетные

на левом полупролете

на правом полупролете

на всем пролете

1

2

3

4

5

6

7

М (кг м)

0

0

0

0

0

0

0

0

-704.24

-633.76

-633.76

-1267.52

-1337.96

-1971.76

1

-732.27

-117.80

-697.48

-815.28

-850.07

-1547.55

2

-448.42

577.66

-656.71

-79.05

129.24

-527.47

3

-125.56

465.21

-406.34

58.87

339.65

-66.69

4

0

0

0

0

0

0

5

-125.56

-406.34

465.21

58.87

-531.90

-66.69

6

-448.42

-656.71

577.66

-79.05

-1105.13

-527.47

7

-732.27

-697.48

-117.80

-815.28

-1429.75

-1547.55

8’

-704.24

-633.76

-633.76

-1267.52

-1337.96

-1971.76

8

0

0

0

0

0

0

Q (кг)

0

-565.12

216.15

198.76

414.91

-348.97

-150.21

0’

-99.24

565.99

89.72

655.71

466.75

556.47

1

39.99

480.65

39.31

519.96

520.64

559.95

2

178.21

105.96

-76.91

29.05

284.17

207.26

3

131.40

-190.79

-174.01

-364.80

-59.39

-233.40

4

0

255.03

255.03

255.03

255.03

255.03

5

131.40

-174.01

-190.79

-364.80

-42.61

-233.40

6

178.21

-76.91

105.96

29.05

101.30

207.26

7

39.99

39.31

480.65

519.96

79.30

559.95

8’

-99.24

89.72

565.99

655.71

-9.52

556.47

8

-565.12

198.76

216.15

414.91

-366.36

-150.21

N (кг)

0

2316.29

1299.58

-367.66

931.92

3615.87

3248.21

0’

2150.56

1189.65

-408.20

781.45

3340.21

2932.01

1

2031.37

900.96

-416.10

484.86

2932.33

2516.23

2

1727.58

425.62

-410.81

14.81

2153.20

1742.39

3

1527.08

295.78

-380.00

-84.22

1822.86

1442.86

4

1458.38

331.12

331.12

331.12

1127.26

1127.26

5

1527.08

-380.00

295.78

-84.22

1147.08

1442.86

6

1727.58

-410.81

425.62

14.81

1316.77

1742.39

7

2031.37

-416.10

900.96

484.86

1615.27

2516.23

8’

2150.56

-408.20

1189.65

781.45

1742.36

2932.01

8

2316.29

-367.66

1299.58

931.92

1948.63

3248.21

Подбор сечения арок.

Подбор сечения производим по максимальным усилиям:

Мmax=-1971.76 кг м., N соотв.=2932.01кг.

Оптимальная высота поперечного сечения арки находится:

hопт=(1/30-1/40)l=(0.5-0.375) м.

Требуемая высота сечения арки находится из условия устойчивости

в плоскости кривизны:

= ,

где =120 – предельная гибкость, принимаемая по[1]табл.14;

l0=0,58S — расчетная длина элемента;

i =0.29h — радиус сечения элемента.

Отсюда hтр =

Ширину сечения арки принимаем b=0.1м. по сортаменту пиломатериалов, рекомендуемых для клееных конструкций. [5] прил. 1

Толщину досок принимаем, а=2.5 см, а после острожки с двух сторон, а=2.1 см.

Поперечное сечение принимаем прямоугольным , постоянной высоты и ширины. Компонуем из 17 досок сечением 10х2.1 см, тогда высота сечения h=17*2.1=35.7=36 см.

Принятое сечение b x h=10×36 см.

Проверка нормальных напряжений при сжатии с изгибом.

Расчетное сопротивление древесины при сжатии с учетом коэффициентов условий работы при высоте сечения mб=1 и толщине слоев mсл=1.05 [1], табл. 7, 8 Rc=130*1*1.05=136.5 кг/см2.

Проверку следует производить по формуле:

G=,

Fрасч = b x h =10×36 =360 cм2

Wрасч = bh2/6 =10×362/6 =2160 см3

МД==1-N/RcFбр; =

(при гибкости элемента 70.)

 = 1-N2/(ARcFбр) = 1-2932.01*103.882/(3000*136.5*360) = 0.79

МД = 197176/0.79 = 249590 кг см

G=

Вывод: прочность сечения достаточна. Запас по прочности 9.4 %

Проверка скалывающих напряжений.

Проверку производим по Qmах=559.95 кг.

Rск=130 кг/см2 (табл.3 [2])

Статический момент и момент инерции сечения арки:

S = bh2/8 =10*362/8=1620 cм3;

J = bh3/12 =10*363/12=38880 см4.

Максимальное напряжение скалывания: =

Проверка устойчивости плоской формы деформирования.

Проверяем сечение на устойчивость из плоскости при:

Мmax=-1971.76 кг м., N соотв.=2932.01кг

Проверку следует производить по формуле:

G= 1,

где М — коэффициент, определяемый по формуле:

м=140,

где lp=S/2=1870/2=935cм — расстояние между опорными сечениями элемента;

kф =1.13 — коэффициент, зависящий от формы эпюры изгибающих моментов на участке lp,

определяемый [1] по табл.2 прил.4.

м = 140*102*1.13/935*36 = 0.47.

Гибкость полуарки из ее плоскости у и коэффициент продольного изгиба :

у = lp/i=935/(0.29*10) = 322.4

 = A/у2=3000/322.42 = 0.029

Т.к на участке lp из плоскости деформирования имеются закрепления в виде прогонов, коэффициент м следует умножать на коэффициент kpм и коэффициент следует умножать на коэффициент kpN по формулам:

kpM = 0.142lp/h+1.76h/lp+1.4p = 0.142*935/36+1.76*36/935+1.4*1.152 = 5.37

kpN = 0.75+0.06(lp/h)2+0.6plp/h = 0.75+0.06*(935/36)2+0.6*1.152*935/36 = 59.18

Проверка: ,

Вывод: следовательно, устойчивость плоской формы деформирования обеспечена.

Расчет узлов арки.

Опорный узел.

Опорный узел решается с помощью стального башмака из опорного листа и двусторонних фасонок с отверстиями для болтов. Он крепится к поверхности опоры нормальной к оси полуарки. Расчет узла производится на действие максимальных продольной N=3248.21 кг и поперечной Q=366.36 кг/м сил.

Проверка торца полуарки на смятие продольной силой.

Опирание в узлах выполняется неполным сечением высотой hб ≥ 0.4h= 0.4*36 = 14.4 см.

Принимаем hб =15 см.

Площадь смятия А= bhб =10*15=150 см2.

Угол смятия =00.

Расчетное сопротивление смятию вдоль волокон древесины Rc=130 кг/см2.

Напряжение ==

Определение числа болтов крепления конца полуарки к фасонкам.

Принимаются болты d=2 см. Они воспринимают поперечную силу и работают симметрично при ширине сечения b=c=10см, при двух швах nш =2 и угле смятия =900. Коэффициент К=0.55.

Несущая способность болта в одном шве:

по изгибу болта: Ти=250d2=250*22*=741 кг

по смятию древесины: Тс=50сdK=50*10*2*0.55=550 кг = Т

Требуемое число болтов: n=.

Принимаем 2 болта d=20 мм.

Определение толщины опорного листа:

Лист работает на изгиб от давления торца полуарки и реактивного давления фундамента. Длина торца l1=b=10см. Длина листа l2=15см. Расчетная ширина сечения b=1см.Давление торца q1= Gcм=21.65 кг/см.

Давление фундамента q2=q1l1/l2=21.65*10/15=14.43 кг/см.

Изгибающий момент М=(q2l22-q1l12)/8=(14.43*152-21.65*102)/8=135.22 кг см.

Расчетное сопрoтивление стали R =2450 кг/см2.

Требуемый момент сопротивления Wтр = М/ R=135.22/2450=0.055 cм3.

Требуемая толщина листа тр ==

Принимаем толщину листа =6 мм.

Коньковый узел.

Узел выполнен лобовым упором полуарок одну в другую с перекрытием стыка двумя деревянными накладками сечением 14х5 см.

Накладки в коньковом узле рассчитывают на поперечную силу при не симметричном загружении арки Q=255.03 кг. Накладки работают на поперечный изгиб.

Изгибающий момент накладки.

Ми = Qe1/2=255.03*18/2 = 2295.27 кг см.,

где е1=S1=18 см. – расстояние между стальными нагелями d=12 мм.

S1≥7d=7*1.2=8.4 см, поскольку стык работает на растяжение, нагели располагаем в два ряда,

е1 = 2*S1 =18 см.

S2≥3,5d=3,5*1.2=4,2 см принимаем 6 см.

S3≥3d=3*1.2=3,6 см принимаем 4 см.

Проверка торца полуарки на смятие продольной силой.

Проверяем по максимальному усилию, действующему в коньке, при неблагоприятном нагружении N=1127.26 кг.

Проверка:

=N/Fсм≤ Rсм

Rсм =30 кг/см2

Fсм =14*5=70 см2

=1127.26/70=16.10 кг/см2 ≤30 кг/см2 – условие выполнено.

В коньковом узле количество нагелей по конструктивным требованиям должно быть не менее 3. В нашем случае принимаем 3 стальных нагеля и проверяем их несущую способность.

Усилия, действующие на нагеля:

R1=Q/(1-e1/e2)=255.03/(1-18/54)=382.55 кг

R2=Q/(e2/e1-1)=255.03/(54/18-1)=127.52 кг

Несущая способность нагеля из условия изгиба нагеля на один условный срез:

T=(180d2+2a2)≤Тс= nT

T = (180*1.22+2*102) ≤ 2*(250*1.22 )*

459.2 ≤ 602 кг.

Расчетную несущую способность нагелей при направлении передаваемого нагелем усилия под углом к волокнам следует умножать на величину при расчете нагелей на изгиб, угол следует принимать равным большему из углов смятия нагелем элементов, прилегающих к рассматриваемому шву, в нашем случае =900, и k=0,7.

Расчетная несущая способность соединения:

Т=250d2 =250*1.22 =360 кг.

Tc= nT=2*360*=602.4 кг.

Усилие, воспринимаемое двумя нагелями в ближайшем к коньковому узлу ряду:

N1=2Tc=2*602.4=1204.8 > R1 =382.55 – несущая способность обеспечена.

а)

б)

в)

Рис.1 Схема сочетаний постоянных и снеговых нагрузок, действующих на арку.

1.11. Расчет трехшарнирной арки (задача № 3)

Для трехшарнирной арки с очертанием оси по квадратной па­раболе (рис. 1.25, а) необходимо:

1. Определение вертикальных опорных реакций и распора;

2. Определение внутренних усилий М, QK и NK в сечении KK от нагрузок P и q, аналитически;

3. Построить линии влияния изгибающего момента М, попе­речной силы QK и продольной силы NK для сечения KK;

4. Вычислить величины М, QK и NK по линиям влияния от заданной нагрузки P и q и сравнить их со значениями, определен­ными аналитически (п.2 задания).

Решение

1. Определение вертикальных опорных реакций и распора

Предварительно необходимо начертить строго в масштабе рас­четную схему оси арки, ординаты которой должны быть вычислены по ее уравнению:

.

В нашем случае:

при zK = 2 м,   yK = м;

при z = 4 м, ,   y = м;

при z = 6 м, ,   y = м; и т.д.

Вертикальные опорные реакции VA, VB и горизонтальные опор­ные реакции (распор) HA и HB вычисляем из уравнений равовесия системы. В данном примере имеем:

кН;

, кН;

, кН;

S z = 0,   HA — HB = 0,     HA = HB = 14 кН.

Для проверки правильности определения опорных реакций сос­тавим следующие неиспользованные уравнения равновесия систе­мы:

,

22 — 2×8 — 40 + 34 = 0,     56 — 56 = 0,     0 = 0;

,

-34×8 + 14×8 + 40×4 = 0,     -272 + 112 + 160 = 0,     0 = 0.

Уравнения тождественно удовлетворяются. Следовательно, вер­тикальные опорные реакции и распор определены верно.

2. Определение внутренних усилий мk , qk и nk возникающих в сечении k-k от нагрузок q и p, аналитически

Внутренние усилия М, QK и N, возникающие в заданном сечении от нагрузок q и P, вычисляем по формулам (1.18), (1.22), (1.23) соответственно:

,

, (1.24)

,

где ,— изгибающий момент и поперечная сила в сеч. KK двухопорной балки с пролетом, равным пролету трехшарнирной арки и загруженным той же нагрузкой; yК — ордината оси трех­шарнирной арки в сечении KK; jК — угол наклона касательной к оси трехшарнирной арки в сечении KK.

При этом правило знаков для М и Q принимаем такое же, что и в балках, а для продольной силы N в арочных системах поло­жительным принято считать сжатие.

В рассматриваемом примере:

;

;

м.

Подставим найденные значения , , cosj, sinj и yK в формулы, получим величины внутренних усилий, возникающих в сечении KK от нагрузок q и P:

кН×м;

кН;

кН.

3. Построение линий влияния мk , qk и nk

В рассматриваемом примере все линии влияния строим спосо­бом нулевых точек.

Линии влияния внутренних усилий MK, QK и NK могут быть получены сложением известных линий влияния балочных момен­тов и балочных поперечных сил, а также линии влияния распораН, умноженных на соответствующие коэффициенты выра­жений (1.18), (1.22), (1.23), что приводит к простым правилам по­строения линий влияния внутренних усилий в арках.

Ввиду того, что все слагаемые в этих формулах представлены кусочно-линейными функциями, определим абсциссы тех точек, в кторых ординаты линий влияний влияний равны нулю. Эти точки называются нулевыми.

Очевидно, что к их числу относятся опорные точки шарнирной арки. Далее предположим, что при действии единичного груза Р = = 1 в точке, принадлежащей арке с абсциссой zOM (см. рис. 1.25, а), вектор равнодействующих всех внешних сил, действующих в части системы, расположенной левее точки K, проходит через эту точку, тогда, очевидно, что изгибающий момент в сечении K в этом слу­чае будет равен нулю. Для определения величины zOM, воспользуясь геометрическими соображениями (рис. 1.25, а), имеем:

,

откуда:

.

Далее предположим, что, если единичная сила Р = 1 будет рас­положена в точке, принадлежащей арке, с абсциссой zOQ, а вектор равнодействующей всех внешних сил, действующих левее сечения K, параллелен касательной оси арки, проходящей через точку K, то поперечная сила в этом сечении будет равна нулю. Из рис. 1.25, а, имеем:

,

откуда:

.

Для определения нулевой точки линии влияния NK , нужно оп­ределить абсциссу точки приложения единичной силы Р = 1, при котором нормальная внутренняя сила в сечении K равна нулю. Следовательно, нам необходимо определить такую точку приложе­ния единичной силы Р = 1, при котором общий вектор равнодейст­вующей всех сил, расположенных левее сечения K, имеет направле­ние параллельное нормали оси арки, проведенной через сечение K (рис. 1.25, а). Таким образом:

,

откуда:

.

3.1. Построение линий влияния MK . Линию влияния изгибающего момента MK для сечения KK строим в следующем порядке:

1. Определяем положение нулевой точки О линии влияния MK на ее оси абсцисс. Для этого проводим на схеме трехшарнирной арки прямые АK и ВC и точку пересечения их (О) сносим по вертикали на ось абсцисс линии влияния (точка О на рис. 1.25, б).

Расстояние этой точки от левой опоры находим по формуле

м,

где .

2. Зная положение нулевой точки О, проводим прямую линию, соединяя точку О с концом ординаты h = zK = 2 м, отложенной вверх от оси абсцисс по вертикали, проходящей через опору А

3. На проведенную прямую МО и ее продолжение сносим по вертикалям сечение KK и средний шарнир С (точки К и С’). Отре­зок прямой КС’ является средней прямой линии влияния.

4. Соединяя точку К с нулевой ординатой под опорой А, а точку С’ с нулевой ординатой под опорой В, получаем левую (АК) и правую (C’В) прямые линии влияния M.

Построенная таким образом линия влияния MK показана на рис. 1.25, б.

3.2. Построение линии влияния QK . Эту линию влияния строим также способом нулевых точек в следующем порядке:

1. Определяем положение нулевой точки линии влияния QK . Для этого проводим из точки А прямую, параллельную касательной к оси трехшарнирной арки в сечении KK, до пересечения с пря­мой, соединяющей точки В и С (рис. 1.25, а), а затем точку их пе­ресечения О1 проектируем на ось абсцисс линии влияния (рис. 1.25, в). Полученная точка О1 и является нулевой точкой линии влияния QK . Расстояние ее от левой опоры определяем по формуле

м.

2. Откладываем на левой опорной вертикали положительную ординату h = cos jK  = 0.555 (отрезок AD) и проводим прямую DO1.

3. Через нулевую ординату под опорой А (точка А) проводим прямую АN, параллельную DO1.

4. На параллельные прямые AN и DO1 проектируем сеч. KK (точки Е и F) и получаем левую прямую AF линии влияния. Если прямая DO1 не пересекается с вертикалью, проходящей через сред­ний шарнир С, продолжаем прямую DO1 до пересечения с этой вертикалью и получаем точку C¢¢. Соединив точку C¢¢ c нулем под опорой В (точка В), получим правую прямую (C¢¢В) линии влияния QK . Прямая линия, соединяющая точки Е и C¢¢, является средней прямой линии влияния QK , а прямая EF носит название соедини­тельной прямой линии влияния QK .

3.3. Поcтpоение линии влияния NK . Линию влияния NK  cтpоим также cпоcобом нyлевых точек в cледyющем поpядке.

1. Hyлевyю точкy О2 линии влияния NK  находим как пpоекцию на оcь абcциcc линии влияния точки пеpеcечения пpямой, пpове­денной из точки А пеpпендикyляpно каcательной к оcи аpки в cечении KK (АО2), c пpямой, пpоведенной чеpез пpавyю опоpнyю точкy В и cpедний шаpниp C (pиc. 1.25, аг).

Hа pиc. 1.25, г нyлевая точка О2 pаcположена за пpеделами дан­ного чеpтежа. Раccтояние этой точки от левой опоpы опpеделяем по фоpмyле

м,

где l = 16 м;

2. Откладываем ввеpх на левой опоpной веpтикали оpдинатy h = sinjK = 0.832 (отpезок АL). Cоединив точкy L c нyлевой точкой

O2 пpямой линией и пpодолжив ее (еcли это необходимо) до пеpе­cечения c веpтикалью, пpоходящей чеpез cpедний шаpниp (т. C»’), полyчаем пpямyю LC»’O2. В нашем пpимеpе точка О2 находитcя пpавее опоpы А на pаccтоянии 48 м от нее и поэтомy на чеpтеже не показана (рис. 1.25, г).

3. Чеpез нyль опоpной веpтикали (точка А) пpоводим линию, паpаллельнyю пpямой LC»’O2.

4. Hа эти паpаллельные пpямые пpоектиpyем cечение KK (точки T и S). Полyченная пpямая AS ноcит название левой пpя­мой, TS — cоединительной пpямой, а отpезок пpямой TC»’ — cpед­ней пpямой линии влияния NK .

5. Cоединив точкy C»’ c нyлем под пpавой опоpой, полyчаем пpавyю пpямyю (пpямая C»’В) линии влияния NK .

Статический расчет трехшарнирной арки

Трехшарнирная арка представляет собой статически опре­делимую распорную систему, состоящую из двух полуарок, со­единенных между собой и поверхностью земли шарнирами. Опорные шарниры А и В обычно называют пятовыми, а средний С — ключевым (рис. 16).

Характерной особенностью распорных систем является на­личие горизонтальных составляющих опорных реакций (распо­ры) при действии вертикальной нагрузки.

Трехшарнирные арки могут иметь опорные шарниры на одном и разных уровнях. Одна из шарнирно-неподвижных пято­вых опор может быть заменена шарнирно-подвижной с верти­кальным опорным стержнем. В этом случае для обеспечения гео­метрической неизменяемости вводится затяжка-стержень, кото­рый воспринимает распор (рис. 17).

Для трехшарнирной арки с опорами в одном уровне харак­терными величинами являются длина пролета l (расстояние меж­ду опорами А и В), размеры левой и правой полуарок l1 и l2, стре­ла подъема f.

Рис. 16

Рис. 17

Сечение k определяется координатами хk, уk, а также углом наклона касательной к оси арки φk. В сечениях трехшарнирной арки возникают изгибающие моменты, перерезывающие и про­дольные усилия. Изгибающий момент считается положительным, если растягивается нижнее волокно арки.

Положительно опреде­ленная поперечная сила поворачивает часть конструкции, на ко­торую действует, по часовой стрелке. Положительная продольная сила растягивает ось арки.

Аналитический расчет трехшарнирной арки включает в се­бя определение опорных реакций VA, VB, H, определение внутрен­них усилий Mk, Qk, Nk в произвольном сечении, построение эпюр Mk, Qk, Nk. Опорные реакции и внутренние усилия в арке опреде­ляются из соотношений:

Здесь через V°A, Q°B, M°k, Q°k обозначены соответствующие величины для однопролетной балки, лежащей на шарнирных опорах, перекрывающий пролет l и загруженных такой же попе­речной нагрузкой, что и арка.

Если сечениеК расположено справа от шарнира С, то в формулах (6) нужно перед слагаемым с множителе SIN(X) поменять знак на противоположный.

На рис. 18 представлена расчетная схема трехшарнирной арки.

Кинематический анализ арки выполняется аналогично со­ответствующему разделу п. 1.1. Арка составлена из двух дисков АС и BC и имеет в своей структуре один шарнир C и четыре связи (шарнирно-неподвижные опоры A и B). Таким образом:

W = 3D – 3Ш — C0 = 3∙2 — 2∙1- 4 = 0.

Далее, два упомянутых диска AC и BC соединены между со­бой и с основанием тремя шарнирами A, B, C, которые не лежат на одной прямой.

Рис. 18

Определяем опорные реакции в арке:

(равновесие левой полуарки)

(равновесие правой полуарки)

Результаты последующего расчета оформлены в табл. 2.

Таблица 2

N

Коор­динаты [М]

φk

sin φk

cos φk

[kH∙м]

[kH]

Mk

[kН∙м]

Qk

[kH]

Nk

[kH]

хк

yк

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

А

0

0

63,43

0,8944

0,4472

0

65

0

-2,236

-73,788

а

1

2

63,43

0,8944

0,4472

60

55

-10

-6,708

-64,844

b

2

4

63,43

0,8944

0,4472

110

45

-30

-11,18

-56,08

B+

2

4

26,57

0,4472

0,8944

110

45

-30

24.596

-51,428

c

4

5

26,57

0,4472

0,8944

180

25

5

6,708

-42,4841

С

6

6

26,57

0,4472

0,8944

210

5

0

-11,18

-33,54

C+

6

6

-26,57

-0,4472

0,8944

210

5

0

20,124

-29,068

d

8

5

-26,57

-0,4472

0,8944

220

5

45

20,124

-29,068

-45

-24,596

-51,428

e

10

4

-26,57

-0,4472

0,8944

130

-45

-10

-24,596

-51,428

e+

10

4

-63,43

-0,8944

0,4472

130

-45

-10

11,18

-55,90

g

11

2

-63,43

-0,8944

0,4472

85

-45

15

11,18

-55,90

В

12

0

-63,43

-0,8944

0,4472

40

-45

40

11,18

-55,90

Рис. 19

Сечения назначены в середине и на концах каждого из стержней, образующих ось арки (см. обозначения на рис. 18). На рис. 19 (а, б) представлены эпюры и для соответствую­щей балки, перекрывающей данный пролет и несущей заданную поперечную нагрузку. На рис. 18(в, г, д) представлены эпюры внутренних усилий Mk, Qk, Nk в исходной трехшарнирной арке, которые построены в отрезках прямых линий. Точность в очерта­ниях эпюр зависит от количества назначенных сечений. Скачки на эпюрах Qk и Nk при переходе через сечения в, с и е объясняют­ся резким изменением значений тригонометрических функций угла φk.

Обращаем внимание на существенное уменьшение значе­ний ординаты арочных эпюр Мk и Qk по сравнению с балочными и .

Подберем поперечные сечения арки и балки из условия прочности.

Двутавровый профиль №50 по ГОСТ 8239-72: Wx=1589 см3; F=100 см2; 1х=39727см4.

Для арки необходима проверка условия прочности с уче­том действия продольной силы:

Превышение над значением [σ]=160 МПа составляет 7,19%.

Поэтому, для арки назначаем следующий номер профиля — 24а, для которого Wx=317 см3; F=37,5 см2; Ix=3800 см4.

Сравним вес запроектированных конструкций:

Q6 = 7,85 — 100∙12∙10-3 =9,42 kH

QA = 7,85∙37,5∙4∙ 4,47∙10-3 = 5,26 kH

Таким образом, вес арки составляет 55,9% от веса балки.

About Author


alexxlab

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *