Угол внешний и внутренний: Сумма углов треугольника — урок. Геометрия, 7 класс.

Сумма углов треугольника — урок. Геометрия, 7 класс.

Сумма углов треугольника равна \(180°\).

 

Доказательство

 

Рассмотрим произвольный треугольник \(KLM\) и докажем, что ∡ \(K\) \(+\) ∡ \(L\) \(+\) ∡ \(M =\) 180°.

1. Через вершину \(L\) параллельно стороне \(KM\) проведём прямую \(a\).

2. При пересечении параллельных прямых \(a\) и \(KM\) секущей \(KL\), углы, которые обозначаются \(1\), будут накрест лежащими углами,  а углы, обозначенные \(2\) — это накрест лежащие углы при пересечении этих же параллельных прямых секущей \(ML\).

 

Очевидно, сумма углов \(1\), \(2\) и \(3\) равна развёрнутому углу с вершиной \(L\), т. е. 
∡ \(1\) \(+\) ∡ \(2\) \(+\) ∡ \(3 =\) 180°, или ∡ \(K\) \(+\) ∡ \(L\) \(+\) ∡ \(M =\) 180°.

 

Теорема доказана.

Следствия из теоремы о сумме углов треугольника

Следствие 1. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

 

Следствие 2.  В равнобедренном прямоугольном треугольнике каждый острый угол равен 45°.

 

Следствие 3.  В равностороннем треугольнике каждый угол равен 60°.

 

Следствие 4.  В любом треугольнике либо все углы острые, либо два угла острые, а третий — тупой или прямой.

 

Следствие 5. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

 

Доказательство

 

Из равенств ∡ \(KML\) \(+\) ∡ \(BML=\) 180° и ∡ \(K\) \(+\) ∡ \(L\) \(+\) ∡ \(KML =\) 180° получаем, что ∡ \(BML =\) ∡ \(K\) \(+\) ∡ \(L\).

Остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треугольники

Как гласит четвёртое следствие из теоремы о сумме углов треугольника, можно выделить три вида треугольников в зависимости от углов.

 

 

У треугольника \(KLM\) все углы острые.

 

 

У треугольника \(KMN\) угол \(K = 90\)°.

У прямоугольного треугольника сторона, лежащая против прямого угла, называется гипотенузой, а две остальные стороны — катетами.

 

На рисунке \(MN\) — гипотенуза, \(MK\) и \(KN\) — катеты.

 

 

У треугольника \(KLM\) один угол тупой.

Внешний угол при вершине треугольника

Очередная задача про равнобедренный треугольник:

В тре­уголь­ни­ке АВС АС=ВС. Внеш­ний угол при вер­ши­не В равен 122 градуса. Най­ди­те угол. Ответ дайте в гра­ду­сах. Можно мне все подробно?

Постараюсь объяснить как можно подробнее. Почему я сразу сказал, что задача про равнобедренный треугольник? У обычных треугольников все стороны разной длинны. Их даже так и называют — разносторонние. Берем картинку со страницы про виды треугольников, отрезаем ненужное и начинаем разукрашивать. Геометрия — это та же детская разукрашка, только проще. В задаче обычно всегда говорится, что именно и как вы должны разукрашивать. Разукрасим нашу картинку с видами треугольников по размерам сторон синенькими буквами вершин равнобедренного треугольника.

Виды треугольников
Теперь нужно разобраться, что такое внешний угол при вершине треугольника. По моему глубокому убеждению, это мусор, которым математики засоряют вам мозги. Ведь чем больше всякого мусора в учебнике, тем больше часов нужно на его изучение и тем больше сможет заработать учитель. Чем запутаннее предмет, тем легче репетиторам найти работу. Это похоже на продажу овощей на вес — чем больше в них грязи, тем больше денег заработает продавец.

И так, открываем «умную» книжку и начинаем копаться в математической грязи. В книжке написано буквально следующее:

Внешним углом треугольника при данной вершине называется угол, смежный с углом треугольника при этой вершине.

По умолчанию предполагается, что мы уже должны знать, что такое смежный угол. Не знаю, как вы, а я уже давно забыл, что это за фигня такая — «смежный угол». Ведь все нормальные люди пользуются нормальными углами. Хорошо, что к определению внешнего угла треугольника картинка прилагается, которая проясняет, как именно он выглядит.

Внешний угол
Я никогда не пойму, зачем к треугольнику лепить внешний угол, если у него уже есть обычные, внутренние, углы. Я так понимаю, что одни дураки когда-то учили других, а те тупо повторяют действия учителей. Своими мозгами пользоваться их так никто и не научил. Кстати, величайшим достижением современного образования можно считать отсутствие в учебной программе научной теории о трех китах и Земле, которая на них держится. И это только потому, что данная теория не относится к математике. А ведь если в учебной программе что-то записано, то учить это обязательно для получения хорошей оценки.

Ладно, по возмущался и хватит. Вернемся к наше задаче. Читаем внимательно: Внеш­ний угол при вер­ши­не В равен 122 градуса

. Собственно, картинка внешнего угла — это то, что доктор прописал. Обычный угол треугольника получается путем вычитания из 180 градусов внешнего угла. У равнобедренного треугольника углы при основании равны. Рисуем картинку и сразу решение.

Внешний угол при вершине
Кажется, я догадываюсь, откуда в математике могли появиться внешние углы. Когда европейцы увидели пирамиды древнего Египта, они были потрясены увиденным. Им захотелось измерить эти грандиозные сооружения. Вот только внутренний угол пирамиды измерить не представляется возможным. Можно измерить внешний угол и высчитать внутренний. Математики увидели, что делают другие, и записали в свою Математическую Библию определение внешнего угла треугольника. Вот с тех пор это Священное Писание переписывается из учебника в учебник.

Lindab. Угол внешний/внутренний 135° RVY/RVI 100/75

Металлический водосток Lindab (производитель Rainline, Швеция) изготовлена из горячеоцинкованной стали толщиной в 0,6-0,75 мм. Водосток Линдаб имеет круглое и прямоугольное сечение.

Водосточная система Lindab (Линдаб) имеет большой выбор комплектующих элементов. Водосток прост в монтаже и не требует специальных навыков.

Внешний угол желоба RVY

Внешний угол желоба,135°

 

Lindab — водосточная система, которая предлагает самое высокое качество и при этом совмещает в себе долговечность, гибкость и простоту при проведении монтажных работ. Данная система водостока Линдаб создавалась профессионалами для профессионалов и со временем она достигла своего совершенства. И это действительно так: качественные характеристики водосточной системы Lindab Rainline гарантируют десятки лет безупречного использования без ржавчины и протеканий.

Преимущества водосточной системы Lindab
  • Долговечность и гибкость
  • Широкий диапазон компонентов
  • Простота и легкость при монтаже
  • Идеальная герметизация элементов
  • Многообразие цветовой гаммы

Цветовая гамма водостоков Линдаб 

Водосточная система Lindab Rainline производится в 8 различных цветах. Смешивание и совмещение этих цветов очень простая задача. В результате Вы можете или аккуратно подчеркнуть особенности контура здания, или акцентировать внимание на тот или иной цвет.

Стальной водосток — это на века!

 

Водосточные системы Lindab это:
  • холоднокатанная горячеоцинкованная листовая сталь
  • толщина материала: 0,60 мм
  • толщина покрытия: с двух сторон пластизол 100 мкм или суперполиэстер 50мкм
  • предел прочности на разрыв: Rm (max) = 500 Н/мм2
  • удлинение при разрыве: A80 (min) = 22%
  • эксплуатационная готовность: максимальная рабочая температура = 60°C
  • высокая стойкость к ультрафиолетовому излучению

Сталь — это самый оптимальный материал для производства водосточных систем. Он легче, чем чугун; по сравнению с пластиком не подвержен температурным воздействиям (не трескается и не протекает) и в то же время требует минимальных затрат по сравнению с алюминием.

Оцинкованное покрытие

С целью обеспечения надежной защиты от коррозии стальные листы покрываются цинком из расчета 275 г/м2 . Оцинкованное покрытие обладает естественным самовосстанавливающим эффектом, любая царапина или порез автоматически заполняется ионами цинка, которые перемещаются и покрывают поврежденный участок.

 

Водосточная система Lindab Rainline — это результат долгой и кропотливой работы кровельщиков многих стран. Водосток Линдаб соответствует самым высоким европейским стандартам. 

lindab, водосточная система lindab, водостоки lindab, водосточная система линдаб, линдаб водостоки, линдаб, линдаб водосточная система, lindab водосток, линдаб водосток, lindab каталог, линдаб цена, линдаб купить, водосточная система линдаб цена, водосточная система линдаб купить

 

Внешний угол — это.

.. Что такое Внешний угол?
  • ВНЕШНИЙ УГОЛ — треугольника (многоугольника) угол, образованный одной из его сторон и продолжением смежной стороны …   Большой Энциклопедический словарь

  • внешний угол — треугольника (многоугольника), угол, образованный одной из его сторон и продолжением смежной стороны (например, BCD на рис.). * * * ВНЕШНИЙ УГОЛ ВНЕШНИЙ УГОЛ треугольника (многоугольника), угол, образованный одной из его сторон и продолжением… …   Энциклопедический словарь

  • внешний угол — išorinis kampas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. exterior angle vok. Außenwinkel, m rus. внешний угол, m pranc. angle extérieur, m …   Fizikos terminų žodynas

  • ВНЕШНИЙ УГОЛ — треугольника (многоугольника), угол, образованный одной из его сторон и продолжением смежной стороны (например, BCD на рис.) …   Естествознание. Энциклопедический словарь

  • Внешний угол — Многоугольник это геометрическая фигура, определяется как замкнутая ломаная. Существуют три различных варианта определения: Плоские замкнутые ломаные; Плоские замкнутые ломаные без самопересечений; Части плоскости, ограниченные ломаными. Вершины… …   Википедия

  • угол наклона средней линии зуба (впадины) — (βn) Острый угол между пересекающимися в данной точке средней линией зуба и образующей однотипного соосного конуса, которому принадлежит эта средняя линия зуба (впадины). Примечания 1. Различают внешний (βne), средний (βnm),… …   Справочник технического переводчика

  • угол нормального профиля зуба плоского колеса — (αn) Острый угол между касательной к нормальному профилю зуба плоского колеса в данной точке и прямой, параллельной оси плоского колеса, проходящей через эту точку. Примечания 1. Различают углы нормального профиля зуба плоского колеса:… …   Справочник технического переводчика

  • ВНЕШНИЙ — ВНЕШНИЙ, внешняя, внешнее (ант. внутренний). 1. Наружный, находящийся на виду, снаружи. Внешние признаки. Внешний вид. Внешнее сходство. || Поверхностный, неглубокий. Его доброта носит внешний характер. Внешний лоск. 2. Имеющий отношение к… …   Толковый словарь Ушакова

  • УГОЛ ПОВОРОТА

    — внешний угол между направлениями прямых участков жел. дор. пути при поворотах трассы. У. п. равен центральному углу, вершина к рого находится в центре круговой кривой, а стороны проходят через тангенсы. Технический железнодорожный словарь. М.:… …   Технический железнодорожный словарь

  • Угол нормального профиля зуба плоского колеса — 84. Угол нормального профиля зуба плоского колеса an Острый угол между касательной к нормальному профилю зуба плоского колеса в данной точке и прямой, параллельной оси плоского колеса, проходящей через эту точку. Примечания: 1. Различают углы… …   Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

  • Угол внутренний замковый (подъем) к лотку 150х70-0,7, Лидер

    Артикул:

    ЛМЗП 150х70-0,7-90-ОЦ

    Производитель:

    Страна производства:

    Россия

    Технические характеристики товара:

    Угол внутренний замковый (подъем) к лотку 150х70-0,7

    для лотка листового типа:

    Толщина стали:

    Единицы измерения:

    шт

    Комплектующие для «ЛМЗП 150х70-0,7-90-ОЦ»

    Артикул:

    КЛЗП 100-0,7-90-ОЦ

    Производитель:

    Лидер

    258 руб/шт

    Артикул:

    КЛЗП 150-0,7-90-ОЦ

    Производитель:

    Лидер

    294 руб/шт

    Популярные товары раздела «Углы, повороты»

    Артикул:

    ЛМЗУ 200х50-0,7-90-ОЦ

    Производитель:

    Лидер

    829 руб/шт

    Артикул:

    ЛМЗУ 100х50-0,7-90-ОЦ

    Производитель:

    Лидер

    717 руб/шт

    Артикул:

    ЛМЗС 100х50-0,7-90-ОЦ

    Производитель:

    Лидер

    717 руб/шт

    Артикул:

    ЛМЗУ 50х50-0,7-90-ОЦ

    Производитель:

    Лидер

    651 руб/шт

    Сумма внутренних и внешних углов (многоугольники, пятиугольники .

    ..) // Tutors.com

    Определение суммы внутренних и внешних углов

    Полигоны похожи на маленькие домики в мире двумерной геометрии. Они создают внутреннее, называемое внутренним, и внешнее, называемое экстерьером. Вы можете измерять внутренние и внешние углы. Вы также можете сложить суммы всех внутренних углов и суммы всех внешних углов правильных многоугольников. Наша формула работает с треугольниками, квадратами, пятиугольниками, шестиугольниками, четырехугольниками, восьмиугольниками и многим другим.

    1. Видео
    2. Что такое правильный многоугольник?
    3. Сумма внутренних углов многоугольника
    4. Сумма внутренних углов
  • Сумма внешних углов
  • Что такое правильный многоугольник?

    Чтобы многоугольник был правильным многоугольником, он должен удовлетворять этим четырем требованиям:

    • Быть двумерным
    • Ограждайте пространство, создавая интерьер и экстерьер
    • Использовать только линейные сегменты для сторон
    • Все стороны равны по длине и все внутренние углы равны по размеру

    Сумма внутренних углов многоугольника

    Правильные многоугольники существуют без ограничений (теоретически), но по мере того, как у вас появляется все больше и больше сторон, многоугольник все больше и больше похож на круг. Правильный многоугольник с наименьшим количеством сторон — тремя — и есть равносторонний треугольник. Правильный многоугольник с большинством сторон, обычно используемый в классах геометрии, вероятно, двенадцатигранник, или 12-угольник, с 12 сторонами и 12 внутренними углами:

    Довольно необычно, не правда ли? Но только потому, что у него есть все эти стороны и внутренние углы, не думайте, что вы не можете много разобраться в нашем двенадцатиугольнике. Предположим, например, что вы хотите знать, к чему складываются все эти внутренние углы в градусах?

    Сумма внутренних углов

    Треугольники — это просто.Их внутренние углы и складываются в 180 °. Точно так же квадрат (правильный четырехугольник) добавляет 360 °, потому что квадрат можно разделить на два треугольника.

    Слово «многоугольник» означает «много углов», хотя большинство людей, кажется, замечают стороны больше, чем углы, поэтому они создали такие слова, как «четырехугольник», что означает «четыре стороны».

    Правильный многоугольник имеет столько же внутренних углов, сколько и сторон, поэтому треугольник имеет три стороны и три внутренних угла. Квадрат? По четыре каждого.Пентагон? Пять и так далее. У нашего двенадцатиугольника 12 сторон и 12 внутренних углов.

    Формула суммы внутренних углов

    Формула для суммы внутренних углов этого многоугольника очень проста. Пусть n равно количеству сторон любого правильного многоугольника, который вы изучаете. Вот формула:

    Сумма внутренних углов = (n — 2) × 180 °

    Сумма углов в треугольнике

    Вы можете это сделать. Попробуйте сначала с нашим равносторонним треугольником:

    .

    (п — 2) × 180 °

    (3 — 2) × 180 °

    Сумма внутренних углов = 180 °

    Сумма углов квадрата

    И снова попробуйте для квадрата:

    (п — 2) × 180 °

    (4 — 2) × 180 °

    2 × 180 °

    Сумма внутренних углов = 360 °

    Как найти один внутренний угол

    Чтобы найти размер одного внутреннего угла, вы просто берете эту сумму для всех углов и делите ее на n — количество сторон или углов в правильном многоугольнике.

    Новая формула очень похожа на старую формулу:

    Один внутренний угол = (n — 2) × 180 ° n

    Опять же, проверьте это на равносторонний треугольник:

    (3 — 2) × 180 ° 3

    180 ° 3

    Один внутренний угол = 60 °

    А для квадрата:

    (4 — 2) × 180 ° 4

    2 × 180 ° 4

    360 ° 4

    Один внутренний угол = 90 °

    Эй! Оно работает! И срабатывает каждый раз . Давайте теперь займемся этим двенадцатигранником.

    Примеры внутренних углов

    Помните, как выглядит 12-сторонний двенадцатигранник? Найдем сумму внутренних углов, а также один внутренний угол:

    Найдите сумму внутренних углов двенадцатиугольника

    (п — 2) × 180 °

    (12 — 2) × 180 °

    10 × 180 °

    Сумма внутренних углов = 1800 °

    А теперь найдем один внутренний угол

    (п — 2) × 180 ° с.

    (12-2) × 180 ° 12

    10 × 180 ° 12

    1,800 ° 12

    Один внутренний угол = 150 °

    Отлично!

    Сумма внешних углов

    Каждый правильный многоугольник имеет внешних углов . Это , а не угол отражения (более 180 °), создаваемый вращением от внешней стороны одной стороны к другой. Это распространенное заблуждение. Например, в равностороннем треугольнике внешний угол равен , а не . 360 ° — 60 ° = 300 °, как если бы мы вращались с одной стороны полностью вокруг вершины к другой стороне.

    Внешние углы создаются путем расширения одной стороны правильного многоугольника за пределы формы и последующего измерения в градусах от этой удлиненной линии до следующей стороны многоугольника.

    Поскольку вы расширяете сторону многоугольника, этот внешний угол обязательно должен составлять дополнительных к внутреннему углу многоугольника. Вместе внутренние и внешние углы в сумме составляют 180 °.

    Для нашего равностороннего треугольника внешний угол любой вершины равен 120 °. Для квадрата внешний угол составляет 90 °.

    Формула внешнего угла

    Если вы предпочитаете формулу, вычтите внутренний угол из 180 °:

    Внешний угол = 180 ° — внутренний угол

    Примеры внешних углов

    Что осталось в нашей коллекции правильных многоугольников? Этот двенадцатигранник! Мы знаем, что любой внутренний угол составляет 150 °, поэтому внешний угол составляет:

    °.

    180 ° — 150 °

    Внешний угол = 30 °

    Проверка работы

    Внимательно посмотрите на три внешних угла, которые мы использовали в наших примерах:

    Треугольник = 120 °

    Квадрат = 90 °

    Додекагон = 30 °

    Приготовьтесь удивляться.Умножьте каждое из этих измерений на количество сторон правильного многоугольника:

    .
    • Треугольник = 120 ° × 3 = 360 °
    • Квадрат = 90 ° × 4 = 360 °
    • Додекагон = 30 ° × 12 = 360 °

    Каждый раз, когда вы складываете (или умножаете, что является быстрым сложением) суммы внешних углов любого правильного многоугольника, вы всегда получаете 360 °.

    Это похоже на магию, но геометрическая причина этого на самом деле проста: чтобы перемещаться вокруг этих фигур, вы делаете один полный оборот на 360 °.

    Тем не менее, эту идею легко запомнить: каким бы сложным и многогранным ни был правильный многоугольник, сумма его внешних углов всегда равна 360 ° .

    Краткое содержание урока

    После проработки всего этого теперь вы можете определить правильный многоугольник, измерить один внутренний угол любого многоугольника, а также определить и применить формулу, используемую для нахождения суммы внутренних углов правильного многоугольника. Вы также можете объяснить кому-нибудь, как найти величину внешних углов правильного многоугольника, и вы знаете сумму внешних углов каждого правильного многоугольника.

    Следующий урок:

    Соотношения и пропорции

    Теорема о внешнем угле

    — объяснение и примеры

    Итак, все мы знаем, что треугольник — это 3-сторонняя фигура с тремя внутренними углами. Но есть и другие углы вне треугольника, которые мы называем внешними углами .

    Мы знаем, что сумма всех трех внутренних углов всегда равна 180 градусам в треугольнике.

    Точно так же это свойство справедливо и для внешних углов. Кроме того, каждый внутренний угол треугольника больше нуля градусов, но меньше 180 градусов. То же самое и с внешними углами.

    В этой статье мы узнаем о:

    • Теорема внешнего угла треугольника,
    • внешних углов треугольника и
    • , как найти неизвестный внешний угол треугольника.

    Каков внешний угол треугольника?

    Внешний угол треугольника — это угол, образованный между одной стороной треугольника и продолжением его смежной стороны.

    На приведенной выше иллюстрации внутренние углы треугольника ABC равны a, b, c, а внешние углы — d, e и f.Смежные внутренние и внешние углы являются дополнительными углами.

    Другими словами, сумма каждого внутреннего угла и прилегающего к нему внешнего угла равна 180 градусам (прямая линия).

    Теорема о внешнем угле треугольника

    Теорема о внешнем угле утверждает, что мера каждого внешнего угла треугольника равна сумме противоположных и несмежных внутренних углов.

    Помните, что два несмежных внутренних угла, противоположных внешнему углу, иногда называют удаленными внутренними углами.

    Например, в треугольнике ABC выше;

    ⇒ d = b + a

    ⇒ e = a + c

    ⇒ f = b + c

    Свойства внешних углов

    • Внешний угол треугольника равен сумме двух противоположных внутренние углы.
    • Сумма внешнего угла и внутреннего угла равна 180 градусам.

    ⇒ c + d = 180 °

    ⇒ a + f = 180 °

    ⇒ b + e = 180 °

    • Сумма всех внешних углов треугольника составляет 360 °.

    Доказательство:

    ⇒ d + e + f = b + a + a + c + b + c

    ⇒ d + e + f = 2a + 2b + 2c

    = 2 (a + b + c)

    Но, согласно теореме суммы углов треугольника,

    a + b + c = 180 градусов

    Следовательно, ⇒ d + e + f = 2 (180 °)

    = 360 °

    Как найти Внешние углы треугольника?

    Правила определения внешних углов треугольника очень похожи на правила определения внутренних углов.Это потому, что везде, где есть внешний угол, есть и внутренний угол , и оба в сумме составляют 180 градусов.

    Давайте рассмотрим несколько примеров задач.

    Пример 1

    Учитывая, что для треугольника два внутренних угла 25 ° и (x + 15) ° не являются смежными с внешним углом (3x — 10) °, найдите значение x.

    Решение

    Примените теорему о внешнем угле треугольника:

    ⇒ (3x — 10) = (25) + (x + 15)

    ⇒ (3x — 10) = (25) + (x +15)

    ⇒ 3x −10 = x + 40

    ⇒ 3x — 10 = x + 40

    ⇒ 3x = x + 50

    ⇒ 3x = x + 50

    ⇒ 2x = 50

    x = 25

    Следовательно , x = 25 °

    Подставляем значение x в три уравнения.

    ⇒ (3x — 10) = 3 (25 °) — 10 °

    = (75-10) ° = 65 °

    ⇒ (x + 15) = (25 + 15) ° = 40 °

    Следовательно , углы составляют 25 °, 40 ° и 65 °.

    Пример 2

    Рассчитайте значения x и y в следующем треугольнике.

    Решение

    Из рисунка видно, что y — внутренний угол, а x — внешний угол.

    По теореме о внешнем угле треугольника.

    ⇒ x = 60 ° + 80 °

    x = 140 °

    Сумма внешнего угла и внутреннего угла равна 180 градусам (свойство внешних углов). Итак, у нас есть;

    ⇒ y + x = 180 °

    ⇒ 140 ° + y = 180 °

    вычесть 140 ° с обеих сторон.

    ⇒ y = 180 ° — 140 °

    y = 40 °

    Следовательно, значения x и y равны 140 ° и 40 ° соответственно.

    Пример 3

    Внешний угол треугольника составляет 120 °.Найдите значение x, если противоположные несмежные внутренние углы равны (4x + 40) ° и 60 °.

    Решение

    Внешний угол = сумма двух противоположных несмежных внутренних углов.

    ⇒120 ° = 4x + 40 + 60

    Упростить.

    ⇒ 120 ° = 4x + 100 °

    Вычтем 120 ° с обеих сторон.

    ⇒ 120 ° — 100 ° = 4x + 100 ° — 100 °

    ⇒ 20 ° = 4x

    Разделите обе стороны на, чтобы получить,

    x = 5 °

    Следовательно, значение x равно 5 градусам.

    Проверить ответ заменой.

    120 ° = 4x + 40 + 60

    120 ° = 4 ° (5) + 40 ° + 60 °

    120 ° = 120 ° (RHS = LHS)

    Пример 4

    Определить значение x и y на рисунке ниже.

    Решение

    Сумма внутренних углов = 180 градусов

    y + 41 ° + 92 ° = 180 °

    Упростите.

    y + 133 ° = 180 °

    вычесть 133 ° с обеих сторон.

    y = 180 ° — 133 °

    y = 47 °

    Примените теорему о внешнем угле треугольника.

    x = 41 ° + 47 °

    x = 88 °

    Следовательно, значения x и y равны 88 ° и 47 ° соответственно.

    Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок

    Microsoft Word — ICoIE107

    % PDF-1.4 % 1 0 объект >>>] / ON [36 0 R] / Order [] / RBGroups [] >> / OCGs [36 0 R 66 0 R] >> / Pages 3 0 R / Type / Catalog >> эндобдж 65 0 объект > / Шрифт >>> / Поля 70 0 R >> эндобдж 35 0 объект > поток GPL Ghostscript 9. 062019-02-15T21: 37: 22 + 01: 002018-11-30T10: 02: 05 + 07: 00PScript5.dll Версия 5.2.22019-02-15T21: 37: 22 + 01: 00uuid: d11055cd-f6a7-11e8- 0000-e26ab6f794c3uuid: eb2e8995-9a9a-4f3d-9d8f-8058dfc70f3fapplication / pdf

  • Microsoft Word — ICoIE107
  • , номер
  • конечный поток эндобдж 3 0 obj > эндобдж 4 0 obj > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 20 0 объект > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageC] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 25 0 объект > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 109 0 объект > поток HWmoF. {\ circ} $

    Задача 3

    Какова сумма внутренних углов многоугольника (пятиугольника)?

    Показать ответ
    Задача 4

    Какова сумма размеров внутренних углов многоугольника (шестиугольника)?

    Показать ответ

    Видео Учебное пособие

    по внутренним углам многоугольника

    Определение правильного многоугольника:

    Правильный многоугольник — это просто многоугольник, все стороны которого имеют одинаковую длину, а все углы имеют одинаковую величину.Вы, наверное, слышали о равностороннем треугольнике — двух наиболее известных и наиболее часто изучаемых типах правильных многоугольников.
    Примеры правильных многоугольников
    Обычный шестиугольник Обычный Пентагон Подробнее о правильных многоугольниках здесь .

    Измерение одного внутреннего угла

    Форма Формула Сумма внутренних углов
    Обычный Пентагон $$ (\ красный 3-2) \ cdot180 $$ $$ 180 ^ {\ circ} $$
    $$ \ red 4 $$ многоугольник
    (четырехугольник)
    $$ (\ красный 4-2) \ cdot 180 $$ $$ 360 ^ {\ circ} $$
    $$ \ red 6 $$ многоугольник
    (шестигранник)
    $$ (\ красный 6-2) \ cdot 180 $$ $$ 720 ^ {\ circ} $$
    А что делать, если вам нужен только 1 внутренний угол?

    Чтобы найти размер одного внутреннего угла правильного многоугольника (многоугольника со сторонами равной длины и углами одинаковой меры) с n сторонами, мы вычисляем сумму внутренних углов или $$ (\ red n-2) \ cdot 180 $$ и затем разделите эту сумму на количество сторон или $$ \ red n $$. {\ circ}

    долларов США

    Нахождение 1 внутреннего угла правильного многоугольника

    Задача 5

    Каков размер 1 внутреннего угла правильного восьмиугольника?

    Показать ответ
    Задача 6

    Вычислить размер 1 внутреннего угла правильного двенадцатиугольника (12-стороннего многоугольника)?

    Показать ответ
    Задача 7

    Вычислить размер 1 внутреннего угла правильного шестиугольника (16-стороннего многоугольника)?

    Показать ответ
    Задача вызова

    Каков размер 1 внутреннего угла пятиугольника?

    Показать ответ

    На этот вопрос нельзя ответить , потому что форма не является правильным многоугольником .Вы можете использовать эту формулу, чтобы найти единственный внутренний угол, только если многоугольник правильный!

    Рассмотрим, например, неправильный пятиугольник внизу.

    Вы можете сказать, просто взглянув на картинку, что $$ \ angle A и \ angle B $$ не совпадают.

    Мораль этой истории. Хотя вы можете использовать нашу формулу, чтобы найти сумму внутренних углов любого многоугольника (правильного или неправильного), вы можете , а не , использовать формулу этой страницы для измерения единственного угла — кроме случаев, когда многоугольник правильный .

    Как насчет меры внешнего угла?
    Внешние углы многоугольника

    Формула суммы внешних углов:
    Сумма размеров внешних углов многоугольника, по одному в каждой вершине, равна 360 °.

    Измерение единственного внешнего угла

    Формула для нахождения 1 угла правильного выпуклого многоугольника с n сторонами =


    $$ \ angle1 + \ angle2 + \ angle3 = 360 ° $$


    $$ \ угол1 + \ угол2 + \ угол3 + \ угол4 = 360 ° $$


    $$ \ угол1 + \ угол2 + \ угол3 + \ угол4 + \ угол5 = 360 ° $$

    Практика Задачи
    Задача 8

    Вычислить размер 1 внешнего угла правильного пятиугольника?

    Показать ответ
    Задача 9

    Каков размер 1 внешнего угла правильного десятиугольника (10-сторонний многоугольник)?

    Показать ответ
    Задача 10

    Каков размер 1 внешнего угла правильного двенадцатиугольника (12-стороннего многоугольника)?

    Показать ответ
    Задача вызова

    Каков размер 1 внешнего угла пятиугольника?

    Показать ответ

    На этот вопрос нельзя ответить , потому что форма не является правильным многоугольником . Хотя вы знаете, что сумма внешних углов равна 360, вы можете использовать формулу, чтобы найти единственный внешний угол, только если многоугольник правильный!

    Рассмотрим, например, пятиугольник, изображенный ниже. Хотя мы знаем, что все внешние углы в сумме составляют 360 °, мы можем увидеть, просто посмотрев, что каждый $$ \ angle A \ text {and} и \ angle B $$ не совпадают ..

    Определить количество сторон от углов

    Можно определить, сколько сторон имеет многоугольник, исходя из того, сколько градусов составляет его внешний или внутренний угол.

    Задача 11

    Если каждый внешний угол составляет 10 °, сколько сторон у этого многоугольника?

    Показать ответ
    Задача 12

    Если каждый внешний угол равен 20 °, сколько сторон у этого многоугольника?

    Показать ответ
    Задача 13

    Если каждый внешний угол составляет 15 °, сколько сторон у этого многоугольника?

    Показать ответ
    Задача вызова

    Если каждый внешний угол составляет 80 °, сколько сторон у этого многоугольника?

    Показать ответ На этот вопрос нет решения.

    Когда вы используете формулу для нахождения единственного внешнего угла для определения количества сторон, вы получаете десятичную дробь (4.5), что невозможно. Подумайте об этом: как у многоугольника могло быть 4,5 стороны? У четырехугольника 4 стороны. У пятиугольника 5 сторон.

    Удаленные внутренние углы: определение и примеры — видео и стенограмма урока

    Примеры использования удаленных внутренних углов

    Прежде чем мы рассмотрим некоторые примеры, давайте рассмотрим, что мы знаем о треугольниках.Как мы уже говорили, три внутренних угла треугольника в сумме составляют 180 °. Вы также можете вспомнить, что, удлиняя линию треугольника, вы не только создаете внешний угол, но и прямую линию. Прямая линия также имеет размер 180 °, это означает, что сумма внешнего угла и прилегающего угла (угла, следующего за внешним углом) равна 180 °. Зная эти два факта, вам будет очень легко найти неизвестные углы в следующих примерах.

    Пример # 1

    Давайте поможем Рэйчел найти неизвестный угол y на следующей диаграмме:

    Во-первых, давайте определим внутренние и внешние углы. Внешний угол будет 45 °, а внутренние углы — 30 °, 135 ° и угол y . Мы можем использовать удаленные внутренние углы для определения неизвестного угла y , поскольку мы знаем, что верно следующее:

    45 ° = 30 ° + угол y

    Следовательно,

    угол y = 15 °

    Мы можем проверить этот ответ, поскольку знаем, что сумма трех внутренних углов в треугольнике должна составлять 180 °. Следовательно:

    30 ° + 135 ° + 15 ° = 180 °

    Пример № 2

    Давайте поможем Рэйчел проработать другой пример, в котором нам неизвестен внешний угол.

    Опять же, давайте начнем с определения внешнего угла и удаленных внутренних углов. Угол a — это внешний угол, а углы 60 ° и 45 ° — это удаленные внутренние углы, поскольку они не имеют общего угла с внешним углом. Используя удаленные внутренние углы, мы знаем, что:

    угол a = 60 ° + 45 °

    угол a = 105 °

    Мы можем проверить, правильно ли это, поскольку мы знаем, что прямая линия имеет размер 180 ° . Следовательно:

    75 ° + угол a = 180 °

    Подставляя вместо угла a , получаем:

    75 ° + 105 ° = 180 °

    Следовательно, 105 ° должно быть мерой внешней стороны. угол.

    Example # 3

    Давайте поможем Рэйчел разобраться с примером, в котором ей нужно найти неизвестный угол a .

    Давайте сначала определим удаленные внутренние углы и внешний угол.Внешний угол составляет 107 °, а удаленные внутренние углы — 51 ° и угол a . Используя удаленные внутренние углы, мы знаем, что:

    107 ° = угол a + 51 °

    угол a = 56 °

    Давайте проверим наш ответ. Мы знаем, что другой внутренний угол должен составлять 73 ° (180 ° — 107 °), поскольку он образует прямую линию с углом 107 °. Сумма всех трех внутренних углов в треугольнике должна составлять 180 °, поэтому замена угла на дает:

    56 ° + 51 ° + 73 ° = 180 °

    Резюме урока

    Давайте на секунду посмотрим, что мы узнали здесь…

    Треугольник содержит три внутренних или внутренних угла , которые в сумме составляют 180 градусов. Если мы продолжим любую из сторон треугольника, он образует внешний или внешний угол с треугольником. Удаленные внутренние углы — это углы, не имеющие общей вершины или угла треугольника с внешним углом. Размер внешнего угла равен сумме двух удаленных внутренних углов.

    углов многоугольников | GMAT бесплатно

    Внутренние и внешние углы многоугольника

    В многоугольнике внутренний или внутренний угол образован двумя смежными сторонами.Внешний или внешний угол — это угол, образованный продолжением одной стороны многоугольника, как на рисунке выше. Как вы можете видеть на рисунке, внутренний угол и внешний угол конкретной вершины лежат на одной линии, поэтому они должны составлять 180 градусов.

    Сумма внутренних углов многоугольника

    Сумма внутренних углов многоугольника

    , где n — количество углов. Например, для треугольника n = 3, поэтому сумма внутренних углов равна

    .

    В четырехугольниках, включая квадраты, прямоугольники, другие параллелограммы, трапеции и неправильные четырехугольники, количество углов равно 4, поэтому сумма внутренних углов равна

    .

    Как насчет двенадцатиугольника? Независимо от того, правильная она или неправильная, сумма ее внутренних углов будет

    .

    Так как суммы углов треугольников и прямоугольников легко запомнить, вы можете использовать их для вызова формулы 180 ( n — 2) градусов.Все, что вам нужно запомнить, это то, что для треугольника у нас есть 180 градусов, для четырехугольника у нас есть 360 градусов, и что каждая сторона за пределами четырех представляет собой ту же разницу, еще 180 градусов.

    Разрезание многоугольника на треугольники

    Многоугольники с более чем тремя сторонами можно разрезать на треугольники, соединив вершины линиями. Как вы можете видеть на этом рисунке, есть много способов разрезать шестиугольник на треугольники:

    Способы разрезания шестиугольника на треугольники

    Когда вам нужно иметь дело с какой-либо сложной формой или набором фигур в вопросе о геометрии GMAT, вам нужно попытаться рассмотреть эту форму с точки зрения составных частей. В конце концов, на GMAT очень много понятий, которые являются «честной игрой», поэтому некоторые вопросы будут сложнее, если объединить эти концепции неожиданным образом. Если вам нужно иметь дело с углами многоугольника, у вас есть указанное выше правило, 180 ( n -2) градусов, с которым можно работать, и если вы можете найти треугольники на фигуре, вы можете использовать тот факт, что углы треугольников суммировать до 180 градусов и, возможно, один или несколько других фактов о треугольниках, о которых говорилось выше.

    Изучив рисунок выше, вы можете увидеть, что он иллюстрирует, почему правило 180 ( n — 2) градусов верно.Как видите, все возможные способы разрезания шестиугольника на треугольники содержат четыре треугольника. Вы также можете убедить себя, что в данном случае это всегда 4 треугольника, потому что количество вершин равно 6, так что многоугольник всегда можно разрезать на ( n — 2) треугольника. Также обратите внимание, что все внутренние углы этих треугольников суммируются с внутренними углами треугольника, поэтому полные 180 градусов углов каждого треугольника входят в общую сумму, которая, следовательно, составляет 180 ( n -2) градусов. Эти наблюдения могут быть полезны для запоминания и понимания правила 180 ( n — 2) градусов. Кроме того, когда вы сталкиваетесь со сложным вопросом о многоугольниках и углах, обратите внимание на треугольники.

    Что такое внешний угол? : Математика снастей

    Во вчерашнем посте я написал о том, как мы можем найти внутренний угол в правильных многоугольниках и как сумма всех внутренних углов имеет шаблон 180, 360, 540, 720. Эти шаблоны не так уж сложно запомнить, но узор еще проще для внешнего ракурса.

    Что такое внешний угол?

    На самом деле, проще понять, что происходит, если посмотреть на внешние углы.

    Важно знать, каков внешний угол. Это НЕ угол вокруг внешней стороны

    Это угол между каждой линией … если она была длиннее … и линией гнезда вокруг формы в этом направлении.

    Полезно представить, что вы ходите по фигуре. Внешний угол — это угол, на который вы поворачиваете свое тело на каждом углу.Затем, как только вы обойдете всю форму . .. и будете готовы начать снова … вы развернулись на 360 °

    Таким образом, размер каждого внешнего угла = 360 ° / Количество углов.

    Количество углов, конечно же, такое же, как и количество сторон.

    Дополнительную информацию о внешних углах см. Здесь

    Сравнение формул углов

    Это более легкая формула, чем та, которую мы видели для внутренних углов, но мне всегда становится любопытно в таких ситуациях.У нас есть две формулы … работают ли они вместе?

    Допустим, у данного правильного многоугольника S сторон (а также S углов, A внутренних углов и S внешних углов). Пусть A будет размером * каждого внутреннего угла, а X будет размером * каждого внешнего угла.

    * Все они будут одинаковыми, потому что это правильный многоугольник. Этот внезапный переход на язык алгебры связан с тем, что мы не знаем, сколько сторон у нашего многоугольника — мы смотрим на все многоугольники одновременно.

    X = 360 / S (сегодняшняя формула)
    A = (S-2) x 180 / S (вчерашняя формула размера каждого угла)

    Кроме того, X = 180 — A: два угла образуют прямую линию.

    About Author


    alexxlab

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *