Угол внешний и внутренний – Угол правильного многоугольника вычисляется по формуле. Внешний угол правильного многоугольника. Внутренний угол правильного многоугольника.

Теорема о внешнем угле треугольника — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 25 августа 2016; проверки требуют 9 правок. Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 25 августа 2016; проверки требуют 9 правок.

В геометрии внешним углом DCA плоского треугольника при данной вершине называется угол, смежный внутреннему углу ACB треугольника при этой вершине (см. рис.). Если внутренний угол при данной вершине треугольника образован двумя сторонами, выходящими из данной вершины, то внешний угол треугольника образован одной стороной, выходящей из данной вершины и продолжением другой стороны, выходящей из той же вершины.

  • Внешний угол равен разности между 180° и внутренним углом, он может принимать значения от 0 до 180° не включительно.
  • Теорема о внешнем угле треугольника
    : Внешний угол треугольника равен сумме двух оставшихся углов треугольника, не смежных с этим внешним углом. Иными словами, (см. рис.): d=a+c.{\displaystyle d=a+c.}
{\displaystyle d=a+c.} Внешним углом DCA плоского треугольника ABC при данной вершине C называется угол, смежный внутреннему углу ACB треугольника при этой вершине

Доказательство (в обозначениях рис. выше)[править | править код]

Утверждение теоремы следует из теоремы о сумме углов треугольника, равной 180°.

Пусть ABC — произвольный треугольник с внешним углом d. Так как углы b и d — смежные, то их сумма равна 180°, то есть угол d = 180° — b. По теореме о сумме углов треугольника, угол b = 180° — (a + c). Из этого следует, что углы a + c = 180 — b. Так как d также равен 180 — b, то угол d = a + c. Что и требовалось доказать.

С другой стороны, если выполняется Теорема о внешнем угле треугольника

, тогда справедливы следующая логическая цепь равенств:

d=a+c{\displaystyle d=a+c}
b+d=180∘=>{\displaystyle b+d=180^{\circ }=>}
b+a+c=180∘.{\displaystyle b+a+c=180^{\circ }.}.
{\displaystyle b+a+c=180^{\circ }.} Иллюстрация к евклидовому доказательству теоремы о внешнем угле треугольника

В евклидовом доказательстве теоремы о внешнем угле треугольника, принадлежащем Евклиду, (а также и результата о том, то сумма всех трех внутренних углов треугольника равна 180°) сначала проводится прямая, параллельна стороне AB, проходящая через вершину C, а затем, используя свойство соответственных углов при двух параллельных прямых и одной секущей и о внутренних накрест лежащих углах при двух параллельных прямых, требуемое утверждение получают как иллюстрацию (см. рис.).[1].

Теорема о внешнем угле треугольника используется тогда, когда пытаются вычислить меры неизвестных углов в геометрии, в задачах с многоугольниками, где используются треугольники.

  • Faber, Richard L. (1983), Foundations of Euclidean and Non-Euclidean Geometry, New York: Marcel Dekker, Inc., ISBN 0-8247-1748-1 
  • Greenberg, Marvin Jay (1974), Euclidean and Non-Euclidean Geometries/Development and History, San Francisco: W.H. Freeman, ISBN 0-7167-0454-4 
  • Heath, Thomas L. (англ.)русск.. The Thirteen Books of Euclid’s Elements (неопр.). — 2nd ed. [Facsimile. Original publication: Cambridge University Press, 1925]. — New York: Dover Publications, 1956.
(3 vols.): ISBN 0-486-60088-2 (vol. 1), ISBN 0-486-60089-0 (vol. 2), ISBN 0-486-60090-4 (vol. 3).
  • Henderson, David W. & Taimiņa, Daina (2005), Experiencing Geometry/Euclidean and Non-Euclidean with History (3rd ed.), Pearson/Prentice-Hall, ISBN 0-13-143748-8 
  • Venema, Gerard A. (2006), Foundations of Geometry, Upper Saddle River, NJ: Pearson Prentice Hall, ISBN 0-13-143700-3 
  • Wylie Jr., C.R. (1964), Foundations of Geometry, New York: McGraw-Hill 
  • Wheater, Carolyn C. (2007), Homework Helpers: Geometry, Franklin Lakes, NJ: Career Press, с. 88–90, ISBN 978-1-56414-936-7 

Внешний угол треугольника | Треугольники

Углы треугольника бывают внутренние и внешние. Что такое внешний угол треугольника? Как его найти?

Определение.

Внешний угол треугольника при данной вершине — это угол, смежный с внутренним углом треугольника при этой вершине.

Как построить внешний угол треугольника? Нужно продлить сторону треугольника.

На рисунке:

∠3 — внешний угол при вершине А,

∠2 — внешний угол при вершине С,

∠1 — внешний угол при вершине В.

Сколько внешних углов у треугольника?

При каждой вершине треугольника есть два внешних угла. Чтобы построить внешний угол при вершине треугольника, можно продлить любую из двух сторон, на которых лежит данная вершина. Таким образом получаем 6 внешних углов.

Внешние углы каждой пары при данной вершины равны между собой (как вертикальные):

∠1=∠4,  ∠2=∠5,  ∠3=∠6.

Поэтому, когда говорят о внешнем угле треугольника, не важно, какую из сторон треугольника продлили.

Чему равен внешний угол?

Теорема (о внешнем угле треугольника)

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

Дано: ∆АВС, ∠1 — внешний угол при вершине С.

Доказать: ∠1=∠А+∠В.

 

Доказательство:

Так как сумма углов треугольника равна 180º, ∠А+∠В+∠С=180º.

Следовательно, ∠С=180º-(∠А+∠В).

∠1 и ∠С (∠АСВ) — смежные, поэтому их сумма равна 180º, значит, ∠1=180º-∠С=180º-(180º-(∠А+∠В))=180º-180º+(∠А+∠В)=∠А+∠В.

Что и требовалось доказать.

 

Внешний угол треугольника. Сумма внешних углов

Внешний угол треугольника – это угол, смежный с любым из внутренних углов треугольника.

Внешний угол треугольника

При каждой вершине треугольника может быть построено по два равных внешних угла. Например, если продолжить все стороны треугольника

ABC, то при каждой его вершине получится по два внешних угла, которые равны между собой, как вертикальные углы:

Внешние углы треугольника

Из данного примера можно сделать вывод, что внешние углы, построенные при одной вершине, будут равны.

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов треугольника, не смежных с ним.

Внешние углы треугольника

Так как внешний угол (∠1) дополняет внутренний угол (∠4) до развёрнутого угла, то их сумма равна 180°:

∠1 + ∠4 = 180°

Сумма внутренних углов углов любого треугольника тоже равна 180°, значит:

∠2 + ∠3 + ∠4 = 180°

Из этого следует, что

∠1 + ∠4 = ∠2 + ∠3 + ∠4

Сократив обе части полученного равенства на одно и тоже число (∠4), получим:

∠1 = ∠2 + ∠3

Из этого можно сделать вывод, что внешний угол треугольника всегда больше любого внутреннего угла, не смежного с ним.

Сумма внешних углов

Сумма трёх внешних углов треугольника, построенных при разных вершинах, равна 360°

Рассмотрим треугольник ABC:

Внешние углы треугольника

Каждая пара углов (внутренний и смежный с ним внешний) в сумме равны 180°. Все шесть углов (3 внутренних и 3 внешних) вместе равны 540°:

(∠1 + ∠4) + (∠2 + ∠5) + (∠3 + ∠6) = 180° + 180° + 180° = 540°

Значит чтобы найти сумму внешних углов, надо из общей суммы вычесть сумму внутренних углов:

∠1 + ∠2 + ∠3 = 540° — (∠4 + ∠5 + ∠6) = 540° — 180° = 360°

Внешний угол — это… Что такое Внешний угол?

  • ВНЕШНИЙ УГОЛ — треугольника (многоугольника) угол, образованный одной из его сторон и продолжением смежной стороны …   Большой Энциклопедический словарь

  • внешний угол — треугольника (многоугольника), угол, образованный одной из его сторон и продолжением смежной стороны (например, BCD на рис.). * * * ВНЕШНИЙ УГОЛ ВНЕШНИЙ УГОЛ треугольника (многоугольника), угол, образованный одной из его сторон и продолжением… …   Энциклопедический словарь

  • внешний угол — išorinis kampas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. exterior angle vok. Außenwinkel, m rus. внешний угол, m pranc. angle extérieur, m …   Fizikos terminų žodynas

  • ВНЕШНИЙ УГОЛ — треугольника (многоугольника), угол, образованный одной из его сторон и продолжением смежной стороны (например, BCD на рис.) …   Естествознание. Энциклопедический словарь

  • Внешний угол — Многоугольник это геометрическая фигура, определяется как замкнутая ломаная. Существуют три различных варианта определения: Плоские замкнутые ломаные; Плоские замкнутые ломаные без самопересечений; Части плоскости, ограниченные ломаными. Вершины… …   Википедия

  • угол наклона средней линии зуба (впадины) — (βn) Острый угол между пересекающимися в данной точке средней линией зуба и образующей однотипного соосного конуса, которому принадлежит эта средняя линия зуба (впадины). Примечания 1. Различают внешний (βne), средний (βnm),… …   Справочник технического переводчика

  • угол нормального профиля зуба плоского колеса — (αn) Острый угол между касательной к нормальному профилю зуба плоского колеса в данной точке и прямой, параллельной оси плоского колеса, проходящей через эту точку. Примечания 1. Различают углы нормального профиля зуба плоского колеса:… …   Справочник технического переводчика

  • ВНЕШНИЙ — ВНЕШНИЙ, внешняя, внешнее (ант. внутренний). 1. Наружный, находящийся на виду, снаружи. Внешние признаки. Внешний вид. Внешнее сходство. || Поверхностный, неглубокий. Его доброта носит внешний характер. Внешний лоск. 2. Имеющий отношение к… …   Толковый словарь Ушакова

  • УГОЛ ПОВОРОТА — внешний угол между направлениями прямых участков жел. дор. пути при поворотах трассы. У. п. равен центральному углу, вершина к рого находится в центре круговой кривой, а стороны проходят через тангенсы. Технический железнодорожный словарь. М.:… …   Технический железнодорожный словарь

  • Угол нормального профиля зуба плоского колеса — 84. Угол нормального профиля зуба плоского колеса an Острый угол между касательной к нормальному профилю зуба плоского колеса в данной точке и прямой, параллельной оси плоского колеса, проходящей через эту точку. Примечания: 1. Различают углы… …   Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

  • Свойства внешнего угла треугольника, с примерами

    ОПРЕДЕЛЕНИЕ

    Угол, смежный с внутренним углом треугольника, называется внешним углом.

    При каждой вершине треугольника есть два внешних угла. Чтобы построить внешний угол при вершине треугольника, можно продлить любую из двух сторон, на которых лежит данная вершина.

    Свойства внешнего угла

    1. Внешний угол треугольника равен сумме внутренних углов не смежных с ним:

         

    2. Сумма внешнего и внутреннего углов при одной вершине равна :

         

    3. Сумма внешних углов треугольник взятых по одному при каждой вершине равна .
    4. Внешние углы при одной вершине треугольника равны между собой (как вертикальные):

         

    Примеры решения задач

    Понравился сайт? Расскажи друзьям!

    Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ (Справочник по математике — Планиметрия

    замнкнутая ломаная многоугольник диагонали свойства углов многоугольника внешние углы смежные углы доказательства

    Определение многоугольника

          Рассмотрим n отрезков

    [A1 A2],   [A2 A3],   …   , [An An +1](1)

    причём таких, что два любых отрезка, имеющих общий конец, не лежат на одной прямой (рис.1).

    Многоугольник замкнутая ломаная

    Рис. 1

          Определение 1. Ломаной линией с n звеньями называют фигуру L, составленную из отрезков (1), то есть фигуру, заданную равенством

    L = [A

    1 A2] U [A2 A3] U   …
    …  U [An An +1]

          В случае, когда точки A1 и An +1 совпадают, ломаную линию называют замкнутой ломаной линией (рис. 2), в противном случае её называют незамкнутой (рис.1).

    Многоугольник замкнутая ломаная

    Рис. 2

          Определение 2. Многоугольником называют часть плоскости, ограниченную замкнутой ломаной линией без самопересечений (рис. 3). Отрезки, составляющие ломаную линию (звенья), называют сторонами многоугольника. Концы отрезков называют вершинами многоугольника.

    Многоугольник замкнутая ломаная

    Рис. 3

          Определение 3. Многоугольник называют n – угольником, если он имеет n сторон.

          Таким образом, многоугольник, имеющий 3 стороны, называют треугольником, многоугольник, имеющий 4 стороны, называют четырёхугольником и т.д.

          Определение 4 . Периметром многоугольника называют сумму длин всех сторон многоугольника.

          Величину, равную половине периметра, называют полупериметром.

    Диагонали n — угольника

    ФигураРисунокОписание
    Диагональ
    многоугольника
    диагонали многоугольникаДиагональю многоугольника называют отрезок, соединяющий две несоседние вершины многоугольника
    Диагонали
    n – угольника, выходящие из одной вершины
    диагонали многоугольникаДиагонали, выходящие из одной вершины
    n – угольника, делят n – угольник на
    n – 2 треугольника
    Все диагонали
    n – угольника
    диагонали многоугольника

    Число диагоналей n – угольника равно

    диагонали многоугольника

    Диагональ многоугольника
    диагонали многоугольника

    Диагональю многоугольника называют отрезок, соединяющий две несоседние вершины многоугольника

    Диагонали n – угольника, выходящие из одной вершины
    диагонали многоугольника

    Диагонали, выходящие из одной вершины n – угольника, делят n – угольник на n – 2 треугольника

    Все диагонали n – угольника
    диагонали многоугольника

    Число диагоналей n – угольника равно

    диагонали многоугольника

    Внешний угол многоугольника

          Определение 5 . Два угла называют смежными, если они имеют общую сторону, и их сумма равна 180° (рис.1).

    Внешний угол многоугольника смежные углы

    Рис.1

          Определение 6 . Внешним углом многоугольника называют угол, смежный с внутренним углом многоугольника (рис.2).

    Внешний угол многоугольника смежные углы

    Рис.2

          Замечание. Мы рассматриваем только выпуклые многоугольникивыпуклые многоугольники.

    Свойства углов треугольника

    ФигураРисунокФормулировка теоремы
    Углы треугольникаСвойства углов треугольника

    Сумма углов треугольника равна 180°

    α + β + γ = 180°

    Посмотреть доказательство

    Внешний угол треугольникаВнешний угол треугольника

    Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов треугольника, не смежных с ним

    δ = α + β

    Посмотреть доказательство

    Свойства углов многоугольника

    Свойства углов правильного n – угольника

    Доказательства свойств углов многоугольника

          Теорема 1. В любом треугольнике сумма углов равна 180°.

          Доказательство. Проведем, например, через вершину B произвольного треугольника ABC прямую DE, параллельную прямой AC, и рассмотрим полученные углы с вершиной в точке B (рис. 3).

    Свойства углов треугольника доказательство

    Рис.3

          Углы ABD и BAC равны как внутренние накрест лежащие. По той же причине равны углы ACB и CBE. Поскольку углы ABD, ABC и CBE в сумме составляют развёрнутый угол, то и сумма углов треугольника ABC равна 180°. Теорема доказана.

          Теорема 2. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов треугольника, не смежных с ним.

          Доказательство. Проведём через вершину C прямую CE, параллельную прямой AB, и продолжим отрезок AC за точку C (рис.4).

    Свойства углов треугольника доказательствоСвойства углов треугольника доказательство

    Рис.4

          Углы ABC и BCE равны как внутренние накрест лежащие. Углы BAC и ECD равны как соответственные равны как соответственные. Поэтому внешний угол BCD равен сумме углов BAC и ABC. Теорема доказана.

          Замечание. Теорема 1 является следствием теоремы 2.

          Теорема 3. Сумма углов n – угольника равна

    Свойства углов многоугольника

          Доказательство. Выберем внутри n – угольника произвольную точку O и соединим её со всеми вершинами n – угольника (рис. 5).

    Свойства углов многоугольника

    Рис.5

          Получим n треугольников:

    OA1A2OA2A3,  …  OAnA1

          Сумма углов всех этих треугольников равна сумме всех внутренних углов n – угольника плюс сумма всех углов с вершиной в точке O. Поэтому сумма всех углов n – угольника равна

    Свойства углов многоугольника

    что и требовалось доказать.

          Теорема 4. Сумма внешних углов n – угольника, взятых по одному у каждой вершины, равна 360°.

          Доказательство. Рассмотрим рисунок 6.

    Свойства углов многоугольника

    Рис.6

          В соответствии рисунком 6 справедливы равенства

    Свойства углов многоугольника

          Теорема доказана.

    Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре Резольвента

          На сайте можно также ознакомиться с нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

    Углы многоугольника. Сумма внешних и внутренних углов

    Внутренний угол многоугольника – это угол, образованный двумя смежными сторонами многоугольника. Например, ∠ABC является внутренним углом.

    Внутренний угол выпуклого многоугольника

    Внешний угол многоугольника – это угол, образованный одной стороной многоугольника и продолжением другой стороны. Например, ∠LBC является внешним углом.

    внешний угол многоугольника

    Количество углов многоугольника всегда равно количеству его сторон. Это относится и к внутренним углам и к внешним. Несмотря на то, что для каждой вершины многоугольника можно построить два равных внешних угла, из них всегда принимается во внимание только один. Следовательно, чтобы найти количество углов любого многоугольника, надо посчитать количество его сторон.

    Сумма внутренних углов

    Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника равна произведению 180° и количеству сторон без двух.

    s = 2d(n — 2)

    где s – это сумма углов, 2d – два прямых угла (то есть 2 · 90 = 180°), а n – количество сторон.

    Если мы проведём из вершины A многоугольника ABCDEF все возможные диагонали, то разделим его на треугольники, количество которых будет на два меньше, чем сторон многоугольника:

    сумма внутренних углов многоугольника

    Следовательно, сумма углов многоугольника будет равна сумме углов всех получившихся треугольников. Так как сумма углов каждого треугольника равна 180° (2d), то сумма углов всех треугольников будет равна произведению 2d на их количество:

    s = 2d(n — 2) = 180 · 4 = 720°

    Из этой формулы следует, что сумма внутренних углов является постоянной величиной и зависит от количества сторон многоугольника.

    Сумма внешних углов

    Сумма внешних углов выпуклого многоугольника равна 360° (или 4d).

    s = 4d

    где s – это сумма внешних углов, 4d – четыре прямых угла (то есть 4 · 90 = 360°).

    Сумма внешнего и внутреннего угла при каждой вершине многоугольника равна 180° (2d), так как они являются смежными углами. Например, ∠1 и ∠2:

    Сумма внешних углов многоугольника

    Следовательно, если многоугольник имеет n сторон (и n вершин), то сумма внешних и внутренних углов при всех n вершинах будет равна 2dn. Чтобы из этой суммы 2dn получить только сумму внешних углов, надо из неё вычесть сумму внутренних углов, то есть 2d(n — 2):

    s = 2dn — 2d(n — 2) = 2dn — 2dn + 4d = 4d

    About Author


    alexxlab

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.